1、125 （10 分） （2017吉林）如图，在 RtABC 中，ACB=90，A=45，AB=4cm点 P从点 A出发，以 2cm/s的速度沿边 AB向终点B运动过点 P作 PQAB 交折线 ACB于点 Q，D 为 PQ中点，以 DQ为边向右侧作正方形 DEFQ设正方形 DEFQ与ABC 重叠部分图形的面积是y（cm 2） ，点 P的运动时间为 x（s） （1）当点 Q在边 AC上时，正方形 DEFQ的边长为 cm（用含 x的代数式表示） ；（2）当点 P不与点 B重合时，求点 F落在边 BC上时 x的值；（3）当 0x2 时，求 y关于 x的函数解析式；（4）直接写出边 BC的中点落在正方形
2、 DEFQ内部时 x的取值范围【考点】LO：四边形综合题【分析】 （1）国际已知条件得到AQP=45，求得 PQ=AP=2x，由于 D为 PQ中点，于是得到 DQ=x；（2）如图，延长 FE交 AB于 G，由题意得 AP=2x，由于 D为 PQ中点，得到 DQ=x，求得 GP=2x，列方程于是得到结论；（3）如图，当 0x 时，根据正方形的面积公式得到 y=x2；如图542，当 x1 时，过 C作 CHAB 于 H，交 FQ于 K，则 CH=AB=2，根54据正方形和三角形面积公式得到 y=x 2+20x8；如图，当 1x2时，PQ=42x，根据三角形的面积公式得到结论；（4）当 Q与 C重合
3、时，E 为 BC的中点，得到 x=1，当 Q为 BC的中点时，BQ=，得到 x=，于是得到结论【解答】解：（1）ACB=90，A=45，PQAB，AQP=45，PQ=AP=2x，D 为 PQ中点，DQ=x，故答案为：x；（2）如图，延长 FE交 AB于 G，由题意得 AP=2x，D 为 PQ中点，DQ=x，GP=2x，2x+x+2x=4，x=；（3）如图，当 0x 时，y=S 正方形 DEFQ=DQ2=x2，y=x 2；54如图，当 x1 时，过 C作 CHAB 于 H，交 FQ于 K，则54CH=AB=2，PQ=AP=2x，CK=22x，MQ=2CK=44x，FM=x（44x）=5x4，3y
4、=S 正方形 DEFQS MNF =DQ2FM 2，y=x 2（5x4） 2=x 2+20x8，y=x 2+20x8；如图，当 1x2 时，PQ=42x，DQ=2x，y=S DEQ =DQ2，y=（2x） 2，y=x 22x+2；（4）当 Q与 C重合时，E 为 BC的中点，即 2x=2，x=1，当 Q为 BC的中点时，BQ=，PB=1，AP=3，2x=3，x=，边 BC的中点落在正方形 DEFQ内部时 x的取值范围为：1x 23【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，图形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键25 （10 分） （2016吉林）如图，在等腰直角三角形 ABC中，
5、BAC=90，AC=8 cm，ADBC 于点 D，点 P从点 A出发，沿 AC 方向以 cm/s的速度运动到点 C停止，在运动过程中，过点 P作 PQAB交 BC于点 Q，以线段 PQ为边作等腰直角三角形 PQM，且PQM=90（点 M，C 位于 PQ异侧） 设点 P的运动时间为 x（s） ，PQM 与ADC重叠部分的面积为 y（cm 2）4（1）当点 M落在 AB上时，x= ；（2）当点 M落在 AD上时，x= ；（3）求 y关于 x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围【考点】三角形综合题菁优网版权所有【分析】 （1）当点 M落在 AB上时，四边形 AMQP是正方形，此时点 D与点 Q重
6、合，由此即可解决问题（2）如图 1中，当点 M落在 AD上时，作 PEQC 于 E，先证明DQ=QE=EC，由 PEAD，得 = = ，由此即可解决问题（3）分三种情形当 0x4 时，如图 2中，设 PM、PQ 分别交 AD于点 E、F，则重叠部分为PEF，当 4x 时，如图 3中，设PM、MQ 分别交 AD于 E、G，则重叠部分为四边形 PEGQ当 x8时，如图 4中，则重合部分为PMQ，分别计算即可解决问题【解答】解：（1）当点 M落在 AB上时，四边形 AMQP是正方形，此时点 D与点 Q重合，AP=CP=4 ，所以 x= =4故答案为 4（2）如图 1中，当点 M落在 AD上时，作 P
7、EQC 于 E5MQP，PQE，PEC 都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PCDQ=QE=EC，PEAD， = = ，AC=8 ，PA= ，x= = 故答案为 （3）当 0x4 时，如图 2中，设 PM、PQ 分别交 AD于点 E、F，则重叠部分为PEF，AP= x，EF=PE=x，y=S PEF = PEEF= x2当 4x 时，如图 3中，设 PM、MQ 分别交 AD于 E、G，则重叠部分为四边形PEGQPQ=PC=8 x，PM=162x，ME=PMPE=163x，y=S PMQ S MEG = （8 x） 2 （163x） 2= x2+32x64当 x8 时，如图 4中，则重合部分为PMQ
8、，y=S PMQ = PQ2= （8 x） 2=x216x+646综上所述 y= 【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、分段函数、三角形面积等知识，解题的关键是正确画出图象，学会分类讨论，属于中考压轴题25 （10 分） （2015吉林）两个三角板 ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点 B与点 D重合，边 AB与边 DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内） 其中，C=DEF=90，ABC=F=30，AC=DE=6cm现固定三角板 DEF，将三角板 ABC沿射线 DE方向平移，当点 C落在边 EF上时停止运动设三角板平移的距离为 x（cm） ，两个三角板重叠部
9、分的面积为 y（cm 2） （1）当点 C落在边 EF上时，x= cm；（2）求 y关于 x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；（3）设边 BC的中点为点 M，边 DF的中点为点 N直接写出在三角板平移过程中，点 M与点 N之间距离的最小值7考点： 几何变换综合题版权所有分析： （1）根据锐角三角函数，可得 BG的长，根据线段的和差，可得 GE的长，根据矩形的性质，可得答案；（2）分类讨论：当 0t6 时，根据三角形的面积公式，可得答案；当 6t12 时，当 12t15 时，根据面积的和差，可得答案；（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得 M在线段 NG上，根据三角形的中位线
10、，可得 NG的长，根据锐角三角函数，可得 MG的长，根据线段的和差，可得答案解答： 解：（1）如图 1所示：作 CGAB 于 G点 ，在 RtABC 中，由 AC=6，ABC=30，得BC= =6 在 RtBCG 中，BG=BCcos30=9四边形 CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，故答案为：15；（2）当 0x6 时，如图 2所示 ，GDB=60，GBD=30，DB=x，得8DG= x，BG= x，重叠部分的面积为 y= DGBG= x x= x2当 6x12 时，如图 3所示 ，BD=x，DG= x，BG= x，BE=x6，EH= （x6） 重叠部分的面积为 y=S
11、BDG S BEH = DGBG BEEH，即 y= x x （x6） （x6）化简，得 y= x2+2 x6 ；当 12x15 时，如图 4所示 ，AC=6，BC=6 ，BD=x，BE=（x6） ，EG= （x6） ，重叠部分的面积为 y=SABC S BEG = ACBC BEEG，即 y= 66 （x6） （x6） ，化简，得 y=18 （x 212x+36）= x2+2 x+12 ；9综上所述：y= ；（3）如图 5所示作 NGDE 于 G点 ，点 M在 NG上时 MN最短，NG是DEF 的中位线，NG= EF= MB= CB=3 ，B=30，MG= MB= ，MN 最小 =3 = 点
12、评： 本题考查了几何变换综合题， （1）利用了锐角三角函数，矩形的性质；（2）利用面积的和差，分类讨论时解题关键，以防遗漏；（3）利用了垂线段最短的性质，三角形的中位线定理，锐角三角函数25 （10 分） （2014吉林）如图，菱形 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC=6cm，BD=8cm，动点 P，Q 分别从点 B，D 同时出发，运动速度均为 1cm/s，点 P沿 BCD 运动，到点 D停止，点 Q沿 DOB 运动，到点 O停止 1s后继续运动，到 B停止，连接 AP，AQ，PQ设10APQ的面积为 y（cm 2） （这里规定：线段是面积 0的几何图形） ，点 P的运动时
13、间为 x（s） （1）填空：AB= cm，AB 与 CD之间的距离为 cm；（2）当 4x10 时，求 y与 x之间的函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程中，使 PQ与菱形 ABCD一边平行的所有x的值考点：四边形综合题菁优网版权所有分析：（1）根据勾股定理即可求得 AB，根据面积公式求得 AB与 CD之间的距离（2）当 4x10 时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏解：11当 4x5 时，如答图 11 所示，此时点 Q与点 O重合，点P在线段 BC上；当 5x9 时，如答图 12 所示，此时点 Q在线段 OB上，点P在线段 CD上；当 9x10 时，如答图 13 所示，此时点
14、Q与点 B重合，点P在线段 CD上（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：若 PQCD，如答图 21 所示；若 PQBC，如答图 22 所示解答：解：（1）菱形 ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，ACBD，AB= = =5，设 AB与 CD间的距离为 h，ABC 的面积 S= ABh，又ABC 的面积 S= S 菱形 ABCD= ACBD= 68=12， ABh=12，h= = 12（2）设CBD=CDB=，则易得：sin= ，cos= 当 4x5 时，如答图 11 所示，此时点 Q与点 O重合，点P在线段 BC上PB=x，PC=BCPB=5x过点 P作 PHAC 于点 H，则 PH=
15、PCcos= （5x） y=S APQ = QAPH= 3 （5x）= x+6；当 5x9 时，如答图 12 所示，此时点 Q在线段 OB上，点P在线段 CD上PC=x5，PD=CDPC=5（x5）=10x过点 P作 PHBD 于点 H，则 PH=PDsin= （10x） y=S APQ =S 菱形 ABCDS ABQ S 四边形 BCPQS APD=S 菱形 ABCDS ABQ （S BCD S PQD ）S APD= ACBD BQOA（ BDOC QDPH） PDh= 68 （9x）3 83 （x1） （10x） （10x）= x2+ x ；13当 9x10 时，如答图 13 所示，此时
16、点 Q与点 B重合，点P在线段 CD上y=SAPQ = ABh= 5 =12综上所述，当 4x10 时，y 与 x之间的函数解析式为：y= （3）有两种情况：若 PQCD，如答图 21 所示此时 BP=QD=x，则 BQ=8xPQCD， ，即 ，x= ；若 PQBC，如答图 22 所示14此时 PD=10x，QD=x1PQBC， ，即 ，x= 综上所述，满足条件的 x的值为 或 点评：本题是运动型综合题，考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、相似等多个知识点，重点考查了分类讨论的数学思想本题第（2） （3）问均需分类讨论，这是解题的难点；另外，试题计算量较大，注意认真计算25.（2013吉林）
17、如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8.点D、E、F 分别是边 AB、BC、AC 的中点，连接 DE、DF，动点 P，Q 分别从点 A、B 同时出发，运动速度均为 1/s，点 P沿 A至 F至 D的方向运动到点 D停止；点 Q沿 B至 C的方向运动，当点 P停止运动时，点 Q也停止运动.在运动过程中，过点 Q作 BC的垂线交 AB于点 M，以点15P，M，Q 为顶点作平行四边形 PMQN.设平行四边形边形 PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为 y（ 2） （这里规定线段是面积为 0有几何图形），点 P运动的时间为 x（s）（1）当点 P运动到点 F时，CQ= ；（2）在点
18、 P从点 F运动到点 D的过程中，某一时刻，点 P落在 MQ上，求此时 BQ的长度；（3）当点 P在线段 FD上运动时，求 y与 x之间的函数关系式. QPNMFEDCBAFEDCBA（第 25 题）（备用题）161725（2012吉林）如图，在ABC 中，A=90，AB=2cm，AC=4cm动点 P从点 A出发，沿 AB方向以 1cm/s的速度向点 B运动，动点 Q从点B同时出发，沿 BA方向以 1cm/s的速度向点 A运动当点 P到达点 B时，P，Q 两点同时停止运动，以 AP为一边向上作正方形 APDE，过点 Q作 QFBC，交 AC于点 F设点 P的运动时间为 ts，正方形和梯形重合部
19、分的面积为 Scm2（1）当 t= s 时，点 P与点 Q重合；（2）当 t= s 时，点 D在 QF上；（3）当点 P在 Q，B 两点之间（不包括 Q，B 两点）时，求 S与 t之间的函数关系式考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。714585 专题：动点型。18分析：（1）当点 P与点 Q重合时，此时 AP=BQ=t，且 AP+BQ=AC=2，由此列一元一次方程求出 t的值；（2）当点 D在 QF上时，如答图 1所示，此时 AP=BQ=t由相似三角形比例线段关系可得 PQ= t，从而由关系式 AP+PQ+BQ=AC=2，列一元一次方程求出 t的值；（3）当点
20、P在 Q，B 两点之间（不包括 Q，B 两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：当 1t 时，如答图 3所示，此时重合部分为梯形 PDGQ先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出 S；当 t2 时，如答图 4所示，此时重合部分为一个多边形面积 S由关系式“S=S 正方形 APDES AQF S DMN ”求出19 解：（1）当点 P与点 Q重合时，AP=BQ=t，且 AP+BQ=AC=2，t+t=2，解得 t=1s，故填空答案：1（2）当点 D在 QF上时，如答图 1所示，此时 AP=BQ=tQFBC，APDE 为正方形，PQDABC，DP：PQ=AC：AB=2，则 PQ= DP= AP= t
21、由 AP+PQ+BQ=AC=2，得 t+ t+t=2，解得：t= ，故填空答案： （3）当 P、Q 重合时，由（1）知，此时 t=1；当 D点在 BC上时，如答图 2所示，此时 AP=BQ=t，BP= t，求得 t=s，进一步分析可知此时点 E与点 F重合；当点 P到达 B点时，此时 t=2因此当 P点在 Q，B 两点之间（不包括 Q，B 两点）时，其运动过程可分析如下：当 1t 时，如答图 3所示，此时重合部分为梯形 PDGQ20此时 AP=BQ=t，AQ=2t，PQ=APAQ=2t2；易知ABCAQFEGF，可得 AF=2AQ，EF=2EGEF=AFAE=2（2t）t=43t，EG= EF
22、=2 t，DG=DEEG=t（2 t）= t2S=S 梯形 PDGQ= （PQ+DG）PD= （2t2）+（ t2）t= t22t；当 t2 时，如答图 4所示，此时重合部分为一个多边形此时 AP=BQ=t，AQ=PB=2t，易知ABCAQFPBMDNM，可得 AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，AF=42t，PM=42t又 DM=DPPM=t（42t）=3t4，DN= （3t4） S=S 正方形 APDES AQF S DMN =AP2 AQAF DNDM=t2 （2t） （42t） （3t4）（3t4）= t2+10t8综上所述，当点 P在 Q，B 两点之间（不包括 Q，B 两点）时，S 与t之间的函数关系式为：21点评：本题是运动型综合题，涉及到动点与动线问题第（1） （2）问均涉及动点问题，列方程即可求出 t的值；第（3）问涉及动线问题，是本题难点所在，首先要正确分析动线运动过程，然后再正确计算其对应的面积 S本题难度较大，需要同学们具备良好的空间想象能力和较强的逻辑推理能力
