1、47第 八 章 多 元 函 数(A)1、证明： 1(4，3，1)， 2(7，1，2)， 3(5，2， 3)为顶点的三角形是等腰三角形.2、在 y 轴上求与点 A(1， -3，7)和 B(5，7，-5)等距离的点.3、在 XOY 平面上求一点，使它与点 A(1，-1，2)，B(3，1，4)，C(-2，-2，2)三点距离相等.4、分别写出点 (3，-1，4) ，关于 xoy 平面，关于 yoz 平面，关于 oz 轴，关于坐标零点 O(0，0，0) 对称点的坐标 .5、作出下列平面图形：（1）x+ y+ z =1 （2 ）x+ y+ z =0 （3）x+ y =1 （4）z =16、作出下列空间曲面
2、的图形：（1）x 2+y2=1 （2）y = x2 （3）(x -1)2+y2=1 （4）x 2+y2+(z-1)2=1 （5） z7、求下列二次函数的定义域 D，并描绘出 D 的区域图形：（1） （2）z =ln(1-x 2) 2xz（3） （4）f(x,y ) )-ln(42y y（5） （6）),xxfxuarcsin（7） 12yu8、设函数 求 f(1,1)的值.23)(yxxf，9、若 f (x) ).( ,02f求4810、若 f (x，y ) ).,1( ,2xyfy求11、若 ., ,2ff 求12、若 .),( ,),(2yxfyxxy求13、求下列二次函数的极限.（1）
3、（2）20)(3sinlmyxy 20arcsinlm21yxyx（3） （4）eyxcosli0 204liyyx（5） （6） yx1sinl0yx1sinlm014* 求下列二次函数的极限.（1） （2）20-limyxy20liyxy15* 证明极限 不存在.yx0li16* 证明极限 不存在.yx0li17* 判断函数 , 在(0，0)处是否连续.0 ,)( 22yxyxf，18、 设函数 , 求 .0)( 22yxyxf， )0,(),(yxff19、 , 求 .efzxyarctn)1-(sin),()1,(),(yxff20、求下列函数的一阶偏导数：（1） （2）24yxz y
4、xz49（3） （4） （ 5）2yxz)sin(yxzyxz2cos（6） （7） （8）tany )ln(2（9） （10） （11）xyzrctxz-1arctnxyzl（12） （13）221zyuzyu)(（14） （15）zxzx=21、计算下列函数在给定点处的偏导数.（1） 求 , yxz-)21(xz),(yz（2） 求 , 2e0x0,y（3） 求 , zarctn)1(z)1(，（4） 求 , )l(yxx,yZ22、求下列函数的二阶偏导数：（1） （2）z2 yxzarcsin（3） （4）)(cosyx2ye23、证明下列各题：（1）若 , 则 .)(bafzyzax（
5、2）若 , 且 , 则 .)ln(yx2nn1（3）若 , 则 .2lz02yzx（4）若 , 则 .)tanln(tazyxu 2sin 2si sinzuyxu24、求下列函数的金微分50（1） （2）21lnyxz yxzln（3） （4）)si(2 zu+=（5）z =x cosy （6） )si(y25、 （1）求函数 ,当 时的全增量和全微分.xz20,1.,2xy（2）求函数 时的全增量和全微分.1,5.,5y26、利用全微分求下述函数在给定点的近似值：（1） (6.9 , 2.06) )3-ln(yx（2） (1.05 ,0.9, 3.01)42z27、设圆锥体的底半径 R 由
6、 30cm 增加到 30.1cm，高 H 由 60cm 减少到 59.5cm,试求圆锥体体积变化的近似值.28、一扇形的中心角为 60，半径为 20cm，如果中心角增加 1，为使扇形面积保持不变，应将扇形半径减少多少（计算到小数点后三位）？29、求下列复合函数的一阶导数（全导数）.（1） tyxeytez2,cos,（2） 3)-arsin(x（3） tezttzyxu 3-,cs,（4） xxyex o2,in,)(2 30、求下列复合函数的一阶偏导数.（1） tstsz i,co,23（2） xyyxuearnln2（3） testxz,),arct(（4） 2yyex31、求下列复合函数
7、的一阶偏导数.51（1） （2）),(2xyefz )(2yxfz（3） （4）),(zfuu32、求下列复合函数的拐定的偏导数.（1） （2）yxzbyaxfz2,),( zyxuzyxf 322,)(（3） 2,),(f33、求下列方程所确定的隐函数 的一阶导数.)(xy=（1） （2）xcosx+ycosx =102yex（3） （4）y= yy2)sin(34、求下列方程所确定的隐函数 的一阶偏导数.xz,（1） （2）023yxz zxz)si(3（3） （4）ln 0in2y-zeyx35、求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数.（1） （2）yxzz23,1 ,0ln2dtezxy
8、yxz236、求下列函数的极值.（1） （2）246,yxfexfx2,2（3） （4）xy8, 3323yyy37、下列函数在给定条件下的条件极值.（1） 1,2, 2yyxf（2） 63)(zxz38、求曲面 上离原点最近的点.01239、求表面积为 12的无盖长方形水箱的最大容积.5240、求坐标原点到曲线 的最近距离。013yx41、某养殖场饲养的种鱼，若甲种鱼放养 x（万尾）乙种鱼放养 y（万尾） ，收获时两种鱼的收获量分别为 求使产鱼总,24,0量最大的放养数.43、设生产某种产品必须投入两种要素， 分别为两要素的投入量，Q 为产21,x业量，若生产函数 其中 为正常数，且 ，假设
9、两种要2xQ1素的价格分别为 ，试问，当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使1,p得投入总费用最小？44、画出积分区域，并计算下列二重积分.（1） .Ddxy1,0,2（2） 是由直线 x=0，y=0，y=x -1 所围成的闭区域.,（3） 是顶点分别为（0，0） （2，4）和（6，0）的三角形闭区域.Dxdye,（4） 是由 所确定的闭区域.x,1yx（5） 是由抛物线 所围成的闭区域.Ddy,)(2 223,yx（6） 是由直线 和曲线 所围成的闭区域.x,sin,y345、通过交换积分次序计算下列二次积分.（1） （2） dyex230 xdysin10（3） （4）51lny 2
10、13six（5） （6） 052xde 6co0yd46、利用极坐标计算下列二重积分.53（1） 是由 所围成且 x 0Ddxy ,2 0,12yx（2） 为D ,sin2224,（3） D yxyxdxy0,41: ,arct 2（4） ,1 ,)1ln(247、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分，并计算积分值.（1） （2）2022)(xdyd10212)(xdyd（3） （4）01232)(x x02148、利用二重积分计算下列曲线所围成的区域的面积.（1） 2xy与 （2） 2yx与 2x（3） （4）3,y 45,sin,i 49、利用二重积分，计算下列曲面所围成的主体体积.（1） 0,132zxzyx（2） 22, xy（3） ,6zz（4） 122cbyax
