1、绝对值中的数学思想方法例析“绝对值”是初中数学中的一个重要内容，对于初学者来说是一个难点，其中蕴含着丰富的数学思想方法，应当引起足够的重视本文将就其中蕴含的数学思想方法进行归纳总结，供同学们参考一、数形结合思想绝对值的图形意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离.即若a 是有理数，则| a |就是数轴上表示“a”的点与原点“0”的距离，如，数轴上到原点的长度为 6 的点有两个，即6，这个长度 6 就是 6 和6 的绝对值，体现了数形结合的数学思想。例 1.（2005 年太原中考题）数 a 在数轴上对应的点如图所示，化简 的结果是（ ）1aA.a+1 B.-a+1 C.a-1
2、D.-a-1解析：根据数轴可知 a-1 ，即 a+10，所以 =-（a+1）=-a-1，选 D.1a例 2.绝对值大于 3 且小于 5 的整数是 .解析：在数轴上，绝对值大于 3 的整数所表示的点，离开原点的距离大于 3，应位于表示-3 的点的左侧或表示 3 的点的右侧；绝对值小于 5 的整数所表示的点，到原点的距离小于5，位于表示-5 与 5 的两个点之间.如下图.因此，符合条件的整数有两个：-4 和 4.点评：数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.离原点越近，绝对值越小；离原点越远，绝对值越大.“数无形时少直观，形无数时难入微” ，利用数形结合思想解题，可以化难为易，化繁
3、为简.二.分类讨论思想绝对值的数学意义：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；0 的绝对值等于 0.即 当 a 0 时， =a；当 a=0 时， =0；当 a0 时， =-a.在处理一些含有字母的绝对值问题时，往往需要对字母的取值情况进行分类讨论(当然分类时一定要作做到不重复，不遗漏) 。例 3.（2005 年海淀中考题） ，则 的值为02)1(nmnmA.-1 B.-3 C.3 D.不确定解析： 、 都应该是正数或零，当它们都是正数时，相加不等于零；当2)1(mn它们一个是零，一个是正数时，相加也不等于零；只有两个同时为零，相加才等于零，由此可得：m=1，n=-2，所以
4、 =-1，选 A.例 4.（2005 年梅州中考题）设 a 是实数，则|a| a 的值（ ）A.可以是负数 B.不可能是负数-5 -4 -3 -2 -1 543210a -1 0 1C.必是正数 D.可以是正数也可以是负数解析：本题可分 ， ， 三种情况讨论，选 B.0a0a点评：本题考查绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。值得注意的是：零的绝对值是零包括两层意思：其一，零的绝对值是它本身；其二零的绝对值是它的相反数。处理绝对值问题的关键是去绝对值符号，要去绝对值号通常需分正数、负数、零三种情况讨论。例 5.如果 a，b，c 均为非零有理数，那么
5、的所有可能值是什么？cba解析：根据 a，b，c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号。 当 a，b，c 同时为正整数时，原式= 3当 a，b，c 同时为负数时，原式 cba当 a，b，c 有两个正数，一个负数时，原式=1.当 a，b，c 有两个负数，一个正数时，原式=-1.原式的所有可能值为 3，-3，1，-1。点评：当问题中包含多种可能情况时，必须按可能出现的所有情况来分类讨论.分类讨论要做到不重不漏.三、特殊化的思想有些数学题目，直接解原题时感到难以入手，可以先考察它的某些简单特例，而后达到解决原题的目的，这种思考问题的过程，称为“特殊化”方法。在处理与字母有关的绝对值问题时常用这种
6、方法.例 6.（2006 年佛山中考题）如图，数轴上的两个点 A、B 所表示的数分别是 a、b，在a+b、a-b、ab、 中是正数的个数有 个。ab解析：本题可根据 a、b 在数轴上的位置，显然， ， ，依据有理数运算法则可确定正数的个数。但这种方法比较麻烦，0b我们不妨设 a=1，b=-2，通过运算可知正数有 2 个。例 7.（2005 年潍坊中考题）已知数 在数b、轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A B ; 0abaC D0b解析：根据数轴可知 b-1， 0a1，所以不妨设 a= ， ，代入计算可知选 C.12b点评：这种特殊化的数学思想多用于解填空题，选择题.OBA xx01ab1
