1、求解运用公式设 P 为椭圆上的任意一点，角 F1F2P= ， F2F1P=， F1PF2=，则有离心率 e=sin(+) / (sin+sin)，焦点三角形面积 S=b2*tan(/2)。证明方法一设 F1P=m ， F2P=n ， 2a=m+n，由射影定理得 2c=mcos+ncos，e=c/a=2c/2a=mcos+ncos / (m+n)，由正弦定理 e=sincos+sincos/ (sin+sin)=sin(+)/ (sin + sin）。证明方法二对于焦点 F1PF2，设 PF1=m,PF2=n则 m+n=2a在F1PF2 中 ,由余弦定理:(F1F2)2=m2+n2-2mncos
2、即 4c2=(m+n)2-2mn-2mncos=4a2-2mn(1+cos)所以 mn(1+cos)=2a2-2c2=2b2所以 mn=2b2/(1+cos)例题F1，F2 是椭圆 x2/a2+y2/b2=1(ab0)的焦点，PQ 是过 F1 的一条弦，求三角形PQF2 面积的最大值【解】SPQF2=SQF1F2+SQF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1|QF1F2 与 QF1F2 底边均为 F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = (1+1/k2)(y1+y2)2 - 4y1y2 】请你看下面的
3、一个具体例题，会对你有所启发的。设点 F1 是 x2/3+y2/2=1 的左焦点，弦 AB 过椭圆的右焦点，求三角形 F1AB 的面积的最大值。【解】a2=3,b2=2,c2=3-2=1c=1 F1F2=2c=2假设 A 在 x 上方，B 在下方直线过(1,0)设直线是 x-1=m(y-0)x=my+1代入 2x2+3y2=6(2m2+3)y2+4my-4=0y1+y2=-4m/(2m2+3),y1y2=-4/(2m2+3)F1AB=F1F2A+F1F2B 他们底边都是 F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小（即 |y1|+|y2|最小 1）AB 在 x 轴两侧,一正一负 |y1|+|y2|
4、=|y1-y2| (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16m2/(2m2+3)2+16/(2m2+3) |y1-y2|=4m2+(2m2+3)/(2m2+3)=43*(m2+1)/(2m2+3)令(m2+1)=p2m2+3=2p2+1 且 p=1 则 p/(2p2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数)p=(1/2)=2/2 时最小这里 p=1p=1,2p+1/p 最小=3此时 p/(2p2+1)最大=1/3|y1-y2|最大=43*1/3最大值 =2*43/32=43/3在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形” 为载体的问题本文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析
