1、资料一 ：导数.知识点1导数的概念例 1已知曲线 y= 上的一点 P(0, 0)，求过点 P3x的切线方程解析：如图，按切线的定义，当 x 0 时，割线 PQ 的极限位置是 y 轴（此时斜率不存在），因此过 P 点的切线方程是 x=0.例 2求曲线 yx 2 在点(2，4)处的切线方程解析： y=x 2, y=(x0 x)2x 022x 0 x( x)2 =4 x( x)2 k .0limli(4x 曲线 yx 2 在点(2，4)处切线方程为 y44(x2)即 4xy40.例 3物体的运动方程是 S1tt 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在 t5 秒时的瞬时速度及物体在一段时间
2、5， 5 t内相应的平均速度解析： S=1+t+t 2, S=1+(t+ t)+(t+ t)2(1+t +t2)=2t t+ t+( t)2, , 即 , ,t()v(1v即在5 ，5 t的一段时间内平均速度为 ( t11)米秒 v(t)=S 00limli(21)ttt即 v(5)25111. 物体在 t5 秒时的瞬时速度是 11 米秒例 4利用导数的定义求函数 y= 在 x=1 处的导数。解析： y= , = ,11xxy1()x = .0limx0li 2()x例 5已知函数 f(x)= , 求函数 f(x)在点 x0 处的导数21sin0x解析：由已知 f(x)=0，即 f(x)在 x
3、=0 处有定义， y=f(0+ x)f (0)=,21()sinx= , = =0, 即 f (0)0.yx1sinx0limy01lisinxx 函数 f(x)在 x0 处导数为 0.例 6已知函数 f(x)= , 判断 f(x)在 x1 处是否可导？2)11x解析：f(1)=1, ,200 0()limli lim(1)2xx xyx , ,001()12lili2xxy00lilixxy 函数 y=f(x)在 x 1 处不可导例 7已知函数 y2x 3 3，求 y.解析： y=2x 3+3, y=2(x+ x)3+3(2x 3+3)=6x2 x+6x( x)2+2( x)3, =6x2+
4、6x x+2( x)2, y= =6x2. 0lim例 8已知曲线 y2x 3 3 上一点 P，P 点横坐标为 x1，求点 P 处的切线方程和法线方程解析： x=1, y=5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例 7 的结论知函数的导数为 y=6x2, y 6, 曲线在 P 点处的切线方程为 y56(x1)1|x即 6xy10, 又曲线在 P 点处法线的斜率为 ，61 曲线在 P 点处法线方程为 y5 ( x1)，即 6yx 310.例 9抛物线 yx 2 在哪一点处切线平行于直线 y4x5？解析： y= = ,0limx20()lix令 2x4 x =2, y4, 即在点 P(2，4) 处
5、切线平行于直线 y4x5.例 10设 mt0，f(x )在 x0 处可导，求下列极限值(1) ； (2) .0()lixf00()(limxxfft解析：要将所求极限值转化为导数 f (x0)定义中的极限形式。(1) = ,00()(limxfxf 00()li ()xfmfx（其中m x 0）(2) = .00()(limxxfft000()(1lim()xxfftfxt（其中 ）1t例 11设函数 f(x)在 x1 处连续，且 ，求 f (1).1()li2xf解析： f( x)在 x1 处连续， f(1).m而又 2=0.1111()()lim(lili()li0xxxxff f(1)=
6、0. f (1)= （将 x 换成 x1）01()()lili2x xfff即 f (1)2.例 12已知抛物线 yax 2+bx+c (a0) ，通过点(1 ，1)，且在点(2 ，1)处与直线 yx3 相切，求 a，b ，c 的值解析：由 y = ,0limx220)()()lixbxcaxbcaxb由函数在点(2，1) 处与直线 yx3 相切, 2a2 b1，又函数过点(1，1) ，(2 ，1), abc=1， 4a2bc1，由三式解得 a3，b11，c=9.例 13设曲线 ysin x 在点 A( ， )处切线倾斜角为 ，求 tan( ) 的值.6214解析： y=sinx ， y=si
7、n(x+ x)sinx=2cos( x+ )sin ,2x y= = .0limxy0 00cos(insin2li limcos()lcosx xxx即 y(sinx )cosx ,令在 A 点处切线斜率为 k=cos = , tan= , (0, ), 62323 tan( ) H，41tan7432例 14设 f(x)是定义在 R 上的函数，且对任何 x1、 x2R，都有 f(x1x 2)=f(x1)f(x2)，若 f(0)0，f (0) 1，证明：对任何 xR ，都有 f(x)=f (x)解析：由 f(x1x 0)=f(x1)f(x2)，令 x1x 20 得 f(0)f (0)f(0)
8、, 又 f(0)0 f(0)=1由 f (0)=1 即 ,00()()limli1xxfff f (x).0 0 0()()()()1li li lim()x x xffffffxx 即 f (x)=f(x)成立2几种常见函数的导数例 1已知 f(x)=x3，求 f (x) ，f (1)，(f(1)，f ( 0.5)解析：f( x)=x3, f (x )3x 2, f (1)=3,f ( 0.5)3(0.5) 2= 0.75，( f(1)=(1)=0.说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值例 2已知曲线
9、y=x2 上有两点 A(1, 1), B(2, 4)，求 割线 AB 的斜率；在1， 1 x内的平均变化率； 过点 A 处的切线斜率 kAT； 点 A 处的切线方程解析： k AB 3；412 平均变化率 ,2()(1)1yfxfxx y2x , y| x1 2. 即点 A 处的切线斜率为 KAT2. 点 A 处的切线方程为 y12( x1)即 2xy10.说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系y= .0limx例 3利用导数定义和导数公式两种方法求曲线 y= 在点 P(1，1) 处的切线倾斜1x角及该点
10、处的法线方程解析：解法一：f(x )= , y=f(1+ x)f(1)= ,1xx y| x=1= = .0limy0li即在点 P 处斜率为 k1， 倾斜角为 135，法线方程 y 1x 1 即 xy0.解法(二)：y =f(x) ，y =f (x)= , y| x=11.121即在点 P 处切线斜率为 k=1，以下同法(一)说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可例 4已知曲线 y= 上的一点 P(0，0) ，求过点 P 的切线方程. 3x解析：由 y= , y = , 在 x=0 处导数不存在，由图形知3321()
11、过 P 点的切线方程是 x=0.例 5设曲线 ycosx 在 A( ， )点处的切线倾斜角为 ，求 cot( )的值624解析：y=cosx, y =sin x, x= 时, k=sin = , tan= ，62121 cot( )= .41tan3tan()1例 6求曲线 yx 3 在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积解析： y =x3, y=3 x2, y|x=3=27, 曲线 y=x3 在点(3，27)处的切线方程为 y2727(x3),即 y27x54. 其与 x 轴，y 轴交点分别为(2，0)，(0，54) 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S= 25454.21例 7在
12、抛物线 yx 2 上取横坐标为 x11 及 x23 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？解析：已知两点 A(1，1)B (3，9)，割线斜率为 kAB=4, y2x ，令 y=2x4 得 x2, 即在点(2，4)处切线平行于这一割线3函数和、差、积、商的导数例 1求下列函数的导数： y=3x 2xcos x； y= ； y =xtanx ； y= .tan2cos1x解析： y=6x+cosxxsinx； y= ；22(tan)t()sectanxx y= , y=sin2cox2(cosin)cos(in)(si)xxxx= .2i y= , y= .1x221
13、()()x例 2已知函数 f(x)=x37x+1 ，求 f (x)，f (1) ，f (1.5).解析：f(x )=x37x +1, y= f (x)=3x27, f (1)=4，f (1.5)= .41注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值例 3已知函数 yx 3ax 2 a 的导数为 0 的 x 值也都使 y 值为 0，求常数 a4的值解析：y=3x 2+2ax, 令 y=0, 则 3x2+2ax=0, x1=0, x2= a, 3当 x=0 时，y=0= a， a=0，即 a0 满足条件 ,4当 x= a 时y0= 得 a0 或 a33328479检
14、验知 a3 不满足条件， 常数的值为 0.例 4曲线 yx 24x 上有两点 A(4，0)，B(2，4)，求 割线 AB 的斜率kAB； 过点 A 处的切线斜率 kA； 点 A 处的切线方程。解析： 割线 AB 的斜率 kAB= =2；40 y=2x+4， y |x=4=4，即 kA=4； 过 A 点的切线方程为 y04( x4)，即 y4x 16.例 5已知 F(x)=f(x)g(x)，就下列两种情形判断 F(x)在 xx 0 处是否可导？ f( x)在 xx 0 处可导，g(x) 在 xx 0 处不可导 f( x)，g(x)在 x x0 处均不可导解析： F( k)在 xx 0 处不可导假
15、设 F(x)在 xx 0 处可导， 由 F(x)=f(x)g(x), g(x)F (x)f (x). f(x)在 xx 0 处可导， g(x)在 x=x0 处可导，与条件 g(x)在 xx 0 处不可导矛盾， F( x)在 xx 0 处不可导 F(x)在 xx 0 处不一定可导如设 f(x)=sinx+ , g(x)=cosx , 则 f(x)，g(x )在 x0 处均不可导，11但 F(x)=f(x)+g(x) sinxcosx 在 x0 处可导另：若g(x )=tanx+ 上，在 x0 处不可导，F(x)=f(x)+g(x)=sinx+tanx+ 在 x0 处也不可导2例 6曲线 yx 3
16、x1 上求一点 P，使过 P 点切线与直线 y=4x7 平行解析： y=(x3x 1)3x 21，由过 P 点切线与直线 y4x 7 平行， 令 3x214 得 x1，当 x=1 时，y=1 ，此时切线为 y14( x1)，即 y4x 3 与直线 y4x7平行， P 点坐标为(1 ， 1)。当 x 1 时，y 3，此时切线为 y3=3(x1)，即 y4x1 也满足条件， P 点坐标为( 1，3).综上得 P 点坐标为(1，1)或( 1，3).例 7证明：过抛物线 y a(xx 1)(xx 2), (a0，x 1x 2)上两点 A(x1，0)，B(x2，0) 的切线倾斜角互补解析： y=2axa
17、(x 1+ x2). , 即 k1=a(x1x 2), , 即 k2=a(x2x 1),1|)x121|()xy k 1=k 2， 两切线倾斜角互补例 8已知曲线 y=f(x)及 y=f(x)sinax，( a0)，其中 f(x)0，且为可导函数，求证：两曲线在公共点处彼此相切解析：由 f(x)=f(x)sinax, f(x)0， sinax =1，ax=2k+ (kZ ),2 x= ，设曲线交点(x 0, y0)， 即 x0= .2kaa又两曲线 y1=f(x)，y 1=f (x)，y 1=f(x)sinax，y 2=f (x)sinax+acosxf(x) , ,01|x02 00|sin
18、)(cos2kk k 1=k2，即两曲线在公共点处相切.例 9已知直线 ykx 与曲线 yx 33x 22x 相切，求 k 的值解析：由 y=3x26x +2=k, 又由 kx=x33x 2+2x， 3x36x 2+2x=x33x 2+2x,即 2x3 3x20 得 x10 或 x2= k 2 或 414复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数例 1函数 y(sinx 2) 是由函数 y ，u ，v= 三个3函数复合而成解析：答案分别为：y =u , u=sinv. v=x2.23例 2求下列函数的导数： y=(x 2+2x)3； y= ； y = ； y(sinx 2) ；254xe32ab
19、c13 yln(x )； yx 3lig3x； y= ； y=x n, (xR +, nR ). 21os5in解析： y =(x2+2x)3， y=3(x2+2x)2(2x+2)=6(x+1)(x2+2x)2. y= , y= (8x)=8x .54e25454e y= , y= (2ax+b).32axbc31223()ab y=(sinx 2) , y= cosx22x= .132(sin)23cos(in) yln(x ), y= = .22211xx2 yx 3lig3x, y=3x2lig3x+x3 lig3e=3x2lig3x+x2lig3e=x2lig3(ex3). y= ,
20、cos5iny= .2 2()cos5(in)5sincos5(i) (i)xxxx y=x n= , y= =n xn= .lln)xxeln1xe1说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则等，这些要反复熟记例 3求函数 f(x)= 的导数。2)(0axbaxb 解析：f (x)= ,)()(axb f (x)= 2()(2)0axbaxb 例 4若 f(x)=xln( x5)，g(x)ln(x 1),解不等式 f (x)g(x).解析：f (x)=1+ , g(x)= , 由 f (x)g(x)，有1511+ , 即 , x 5 或 x5, 所以，不等式
21、f (x)g(x)的解集为(5，).说明：求导数有关问题时还要注意原函数定义域例 5证明：可导奇函数的导数是偶函数。解析： 法一：定义法：设 f(x)为可导奇函数，则 f(x)f(x), f (x)= 0 0()(limlimx xf fxf= =f (x). )(x即 f (x)=f (x )导函数为偶函数.法二：复合函数求导法：设 f(x)为可导奇函数，则 f(x)f(x) ，两边对 x 求导得：f ( x)=f ( x) 即 f (x )f ( x), f ( x)f (x) f (x)为偶函数，即命题成立同理可证：可导偶函数的导数是奇函数例 6石头落在平静水面上，产生同心波纹，若最外一
22、圈波半径增大速度总是am/s，问在 b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少？解析：设 b 秒末最外一圈波纹的半径为 R，则 R=ab, SR 2，又 Ra， S|R=ab=2RR(t)|R=ab=2a2b.即 b 秒末波扰动水面积的增大率为 2a2b m2/s.例 7将水注入锥形容器中，其速度为 4 米 3/分，设锥形容器的高为 8 米，顶口直径为 6 米，求当水深为 5 米时，水面上升的速度(如图)解析：设注入水 t 分钟后，水深为 h 米，由相似三角形对应过之比可得水面直径为 h 米，43这时水的体积温 V= ( h)2h= ，由于水面3186高度 h 随时间 t 而变化，因此 h 是 t
23、的函数 hh(t )，由此可得水的体积关于时间 t 的导数为 VtV hht， V t= ，329() 4tt由假设，注水的速度为 4 米 3分 Vt= =4, 即 ht= ,2964t 269 当 h5 米时，水面上升的速度为 h|h=5= (米/分).2565函数的单调性和极值1求函数 y exx 1 的单调区间解析：y=(e xx+1)=e x1, 由 ex10 得 x0，即函数在(0, +)上为增函数；由 ex10， f(x)在(0，1)上递增；当 x(1，2)时，y0，得 0, x0，则 x 2 与定义域 x(0, 1) 矛盾，a2a 只有 a1，此时 lga0, 0 时，f (x)
24、 = 0 时，g(x)f(a)，f(1)0， f(x)的最大值为 f(0)b1，23又 f(1) f (a)= (a33a2)= (a+1)2(a)0， f(x )0 ，f (x)xf(x)0， 0， 在(0，a 上是增函数。2)() ) 在(0，a 上最大值为 (fxf例 4设 g(y)1x 24 xy 3y 4 在 y1，0上最大值为 f(x)，xR， 求 f(x)表达式； 求 f(x)最大值。解析：g(y)=4y 2(y3x), y 1, 0，当 x0 时， g(y)0， g(y) 在1, 0上递增, f (x)=g(0)=1x 2.当 0，在 1，3x上恒成立，在(3 x，0)上恒成立
25、，3 f(x)=g(3x)=1x 2+27x4.当 x 时， g(y)，g(y)在1，0上递减, f(x)= g(1)=x 24x,1 f(x)= .24210731xx 当 x 0 时，f (x)f(0)=1 ，当 x( ，0)时，f(x)=27(x )2 +1 时 f (x)0，15()215()a x 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点.15()a要使 f(x)20 恒成立， f(x)| min20, , 解得 a64.1225553()0a例 6圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？解析：设圆柱的高为 h，底面半径为 R，则 S=2Rh+2R2， h= , V(R
26、) S 底面 h= ,2S21由 V(R)=0 得 S3R 2=0 得 S=6R2， 6 R2=2Rh+2R2， h=2R ，1即当罐的高和底面直径相等时容积最大例 7已知三次函数 f(x)=x(xa)(xb)，其中 0 ab（1）设 f(x)在 xs 及 x=t 处取最值，其中 st ，求证：0satb；（2）设 A(s，f( s)，B (t，f(t)，求证：AB 中点 C 在曲线 yf (x)上；（3）若 ab2 ，求证：过原点且与曲线 yf (x)相切的两直线不可能垂直。解析：（1）f (x )3 x22(ab)x+ ab，由 f(x)在 xs 和 xt 处取最值， s，t 分别是方程 f (x)0 的两实根 f (0)=ab0，f (a)3a 22(ab)a+ab= a(ab)0， f ( x)0 在(0，a)及(a，b)内分别有一个实根， s0 ，a+b(ab)22ab=(ab1) 2114 k 1k21，即两切线不可能垂直。
