1、第 1 页 共 4 页南昌大学第七届高等数学竞赛（数学专业类 2009 级）试卷答案 序号： 姓名： _ 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2010 年 10 月题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分题分 30 9 9 9 9 9 9 8 8 100累分人 签名得分一、 填空题(每空 3 分，共 30 分) 1、求极限 = ；)1ln(cos(ilm20xx32、函数 不可导点的个数是 1 ；|)2f3、 = ；102d44、设 ，则 = ；xf)(ln)(fcex5、函数 在区间0, 上的最大值为 ；ycos2366、设 ，则 = ；tx122dxy34osint7、若 （ ） ，
2、则 = ；teFx2sin)(0)(xF )231sinsinxxe8、函数 在 处的 n 阶泰勒展开式（带佩亚诺型余项）为312；)()12()741nxx9、若 ，则 = ； txxttflim)(tfte2110、 存在的柯西准则是 ， ,当 ， 时，有lifx 0Xx1X2)(21f二、设函数 在 处连续，对对每一个 成立 ，证明：f0xR)(xff是常值函数.f证明：对每一个 ，R)2()2()( nxfxffxf令 ，及 在 的连续性，得n00结论得证。第 2 页 共 4 页三、证明：函数 在 上不一致连续.2sinx)(，证明：对 ， ， ，10021nnx，但是有 21x 02
3、1siix所以，函数 在 上不一致连续.2sin)(，四、设 ， ，证明数列 收敛an1 Nna证明： 121 n0又 na单调增加且有上界，所以数列 收敛n na五、设 在 上可导，且 ，试证：存在 (0, ),使得)(xf),02)(0xef.122e证明：令 )()(2xfxFx )1()(22xexfF0limli0xxef)( 0)(li)(2xfexx所以 在(0, )达到最大值，故存在 (0, ),使得F0)1()22 ef即 2六、设 在 上可微，且 ，M 是 的上界，则 M)(xf,ba0)(af )(xf.bd2证明：由拉格朗日定理及 ，知存在 c)(f (,)ab= =(
4、)bafx()bafcxbaxd2于是，M badf2第 3 页 共 4 页七、设函数 在 上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证：)(xf,ba在 上有界. )(xf,ba证明： ，设 在 处的极限为 ，则 ，)(fA0，有 ，从而 。由(,),ab|()|1fx|()|1fx为 的开覆盖及有限覆盖定理得，存在有限个小开|,区间 也是 的开覆盖。记 M 为 ，11(,)()nn,ba1|A， 中的最大数，则有 ，|nA,x有 ，使得 ，于是1,2.kx(,)kk|()|fx八、任意给定实数 ，令 ， （ ） ，证明 存在且不依0annacos1,210nalim赖于 .0a证明：设 ，由
5、， 及介值定理，有 ，使()cosfx()0f()f(0,1)c。()fc下证 ： ，存在介于 c 与 x 之间的 ，使得limnaRcossi()xxc可证：当 时， ，且 =20,1n1|nacosc|nasi1|nac1(sin)|a令 即得 。limnc九、设函数 在 上单调增加，对于任何 ， 在 上可积，)(xf),00T)(xf,0T且 。证明： .dtx01li cxfx)(li，由函数 在 上单调增加有：(,)(f,2()xftd()fx32()xftd又32()xftd320()xft0()xftc()第 4 页 共 4 页同理 2()()xftdcx由夹逼定理即得 cfxlim
