1、1微分学部分综合练习一、单项选择题1函数 的定义域是 D 且1lgxy 1x02下列各函数对中，D ， f22cossin)()(xg3设 ，则 C xf)(x4下列函数中为奇函数的是 C 1lnxy5已知 ，当（ A ）时， 为无穷小量 .A. 1tan)(xf )(fx06当 时，下列变量为无穷小量的是 D x sin7函数 在 x = 0 处连续，则 k = （ C1 ） si,()xfk8曲线 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）A xy 29曲线 在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）A. y = x sin10设 ，则 （ B ） B yxlg2dy1dxln011下列函数在
2、指定区间 上单调增加的是（ B ）Be x (,)12设需求量 q 对价格 p 的函数为 ，则需求弹性为 Ep=（ B ）pq23(B 32二、填空题1函数 的定义域是20,15)(2xxf 5,22函数 的定义域是(-5, 2 )f)ln()3若函数 ，则512xxf (xf6224设 ，则函数的图形关于 Y 轴对称 210)(xxf5 1xsinlim6已知 ，当 时， 为无穷小量xfsi)()(xf 0x7. 曲线 在点 处的切线斜率是y)1,(10.5y8函数 的驻点是 .x=1x32(9. 需求量 q 对价格 的函数为 ，则需求弹性为 p2e10)(pqEp2三、计算题1已知 ，求
3、yxxcos2)(xy解： 2sinco()2lx x 2sincolxx2已知 ，求 sinlxf)(f解 xxx1co2l)(3已知 ，求 sincoyx)(y解 ()2(sin)( 2x 2cosln2sixx4已知 ，求 xy53el)y解： ()(ln)(52xx x52el35已知 ，求 ； xycos2)2(y解：因为 5lnsico5ln)5( cos2cos2cos2 xxx 所以 5lni2sy36设 ，求xyx2coseyd解：因为 所以 212cos3)in(x xyxd23)sin(e21co7设 ，求 yx5sined解：因为 )(cos)(si4i xxxsinc
4、o5se4in所以 xi5codin8设 ，求 y2ta3yd解：因为 )(2ln)(cos132xxx 2lncos32x所以 yxdl(d32四、应用题1设生产某种产品 个单位时的成本函数为：x（万元）,xC625.0)(求：（1）当 时的总成本、平均成本和边际成本；1x（2）当产量 为多少时，平均成本最小？ 解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：， xxC625.01)( 625.01)(xxC65.0)(xC所以， 810.2， 5.10)( 1.)1(（2）令 ，得 （ 舍去）2(xC20x因为 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当 20x x时，平均成本最
5、小. 42某厂生产一批产品，其固定成本为 2000 元，每生产一吨产品的成本为 60 元，对这种产品的市场需求规律为 （ 为qp10q需求量， 为价格）试求：p（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？解 （1）成本函数 = 60 +2000Cq()因为 ，即 ，p10q10所以 收入函数 = =( ) = Rq()102q（2）利润函数 = - = -(60 +2000) = 40 - -2000 LCq(2 102q且 =(40 - -2000 =40- 0.2q()102)q令 = 0，即 40- 0.2 = 0，得 = 200，它是 在其定义域内的唯一驻点 qL()所以
6、， = 200 是利润函数 的最大值点，即当产量为 200 吨时利润最大L()3某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？解 （1）由已知 201.4)01.4(qqqpR利润函数 22 0.1 qCL 则 ，令 ，解出唯一驻点 .04. . 5因为利润函数存在着最大值，所以当产量为 250 件时可使利润达到最大， （2）最大利润为（元）123050250.2501)( L54某厂每天生产某种产品 件的成本函数为q（元）.为使平均成
7、本最低，每天产量应为980365.0)(2qqC多少？此时，每件产品平均成本为多少？解 因为 ()0.536qq(0)q29898().).5C 令 ，即 =0，得 =140， = -140（舍去）.0q502.q1q2=140 是 在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 1()所以 =140 是平均成本函数 的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量C()应为 140 件. 此时的平均成本为 （元/ 件）980140.53617645已知某厂生产 件产品的成本为 （万元）qCqq()25102问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 解 因为 = = ， = = Cq()2501q(
8、)2501q2510令 =0，即 ，得 ， =-50（舍去），2 2=50 是 在其定义域内的唯一驻点q1()所以， =50 是 的最小值点，即要使平均成本最少，应生产 50 件产品Cq积分学部分综合练习一、单选题1下列等式不成立的是（ ）正确答案：DA B )d(exx )d(cossinxC D2 1lx62若 ，则 =（ ）. 正确答案：Dcxfx2ed)( )(xfA. B. C. D. 2212e41x2e41x注意：主要考察原函数和二阶导数3下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）正确答案：C A Bxc1)dos(2xd12C Dxin24. 若 ，则 f (x) =（ ）正
9、确答案： Ccfxx11ed)(A B- C D-21x21x5. 若 是 的一个原函数，则下列等式成立的是( )正确答案：B)(xFfA Bdxa )(d)(aFfxaC D)()(fbbbfb6下列定积分中积分值为 0 的是（ ）正确答案：AA B xxd2e1 xxd2e1C D )cos(3 )sin(7下列定积分计算正确的是（ ）正确答案：DA B 2d1x 15d6xC D 0sin2 0sin8下列无穷积分中收敛的是（ ） 正确答案：CA B C D1dlnx0dex12dx13dx9无穷限积分 =（ ）正确答案：C137A0 B C D. 21二、填空题1 应该填写：xde2
10、xde2注意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算，一定要注意是先积分后求导（微分）还是先求导（微分）后积分。2函数 的原函数是 应该填写：- cos2x + c xf2sin)( 213若 存在且连续，则 应该填写： )(dxf )(f注意：本题是先微分再积分最后在求导。4若 ，则 . 应该填写：cxf2)1(d)(f )1(2x5若 ，则 = . 应该填写： Fxxde cFe注意： ()(), xf Cde凑 微 分6 . 应该填写：0e12dxlndx注意：定积分的结果是“数值”，而常数的导数为 07积分 应该填写：012)(x注意：奇函数在对称区间的定积分为 08无穷积分 是
11、 应该填写：收敛的02d)1(x20 0()x因 为三、计算题（以下的计算题要熟练掌握！这是考试的 10 分类型题）1 解： = =xd24xd24()x21c2计算 解： x1sin2 xxxos)(sin1sin23计算 解： d c2ld84计算 解： xdsin cxxx sincodcsodsin5计算 1)l(解： = = xdlnxxd1)(2ln)(22 cx4)ln2(26计算 解： =xe21xe12 21121 e)(xx7 解： = = = 2e1dlndln2e1)lnd(l2e1x2e1lx)3(8 解： = - = = xcos20 xcos2020sisi20c
12、os49 解： d)1ln(e0 xd1)1ln(d)1ln(e0e0 = = =1 xe0 1e0)ln(ln注意：熟练解答以上各题要注意以下两点（1）常见凑微分类型一定要记住 22111(),2,ln,sicos,sinxxdxkCxdeddxd（2）分部积分： ，常考的有三种类型要清楚。bbbaaauvdxuvd四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握！这是考试的 20 分类型题）1投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际成本为 =2x + 40(万元/ 百台). 试)(C求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解： 当产量由 4 百台增至
13、6 百台时，总成本的增量为= = 100（万元）4d)02(xC642)0(x又 = = xc0d)()( 339令 ， 解得 . x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平0361)(2xC均成本达到最小的值。 所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小. 2已知某产品的边际成本 (x)=2（元/件），固定成本为 0，边际收益 (x)=12-C R0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变化？解： 因为边际利润 =12-0.02x 2 = 10-0.02x)()(xRxL令 = 0，得 x = 500；x = 500 是惟一驻点，而该问
14、题确实存在最大值.)(L所以，当产量为 500 件时，利润最大.当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为=500 - 525 = - 25 （元）50250 )1.0(d)2.1( xxL即利润将减少 25 元. 3生产某产品的边际成本为 (x)=8x(万元/百台)，边际收入为 (x)=100-2x（万元/C R百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2 百台，利润有什么变化？解： (x) = (x) - (x) = (100 2x) 8x =100 10x LR令 (x)=0, 得 x = 10（百台）；又 x = 10 是 L(x)的唯一驻
15、点，该问题确实存在最大值，故 x = 10 是 L(x)的最大值点，即当产量为 10（百台）时，利润最大. 又 xd)10(d120120 20)5(12x即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将减少 20 万元. 4已知某产品的边际成本为 (万元/百台 )， 为产量(百台)，固定成本34)(qCq为 18(万元 )，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为 =d)() c2当 = 0 时， C(0) = 18，得 c =18； 即 C( )= q q1832又平均成本函数为 qA183)(10令 ， 解得 = 3 (百台) ， 该题确实存在使平均成本最低的产量.0182)(qAq所以当 q
16、 = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/ 百93182)3(A台)5设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中 x 为产量，单位：百xC3)(吨销售 x 吨时的边际收入为 （万元/百吨），求：(1) 利润最大时R215的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 2x )(xC)()(CxRL令 ，得 x = 7 ； 由该题实际意义可知，x = 7 为利润函数 L(x)的极大值0)(xL点，也是最大值点. 因此，当产量为 7 百吨时利润最大. (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变
17、量为 = - 87287)14(d)2(L1（万元）即利润将减少 1 万元. 线性代数部分考核要求与综合练习题第 2 章 矩阵1了解或理解一些基本概念（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；（2）了解单位矩阵、数量矩阵和对称矩阵的定义和性质；（3）理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；（4）理解矩阵初等行变换的概念。2熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；3熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵，解矩阵方程。11第 3 章 线性方程组1了解线性方程组的有关概念：n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解。2理解并熟练掌握线性方程组的
18、有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。3.熟练掌握线性方程组解得情况判定定理线性代数部分综合练习题一、单项选择题1设 A 为 矩阵，B 为 矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. 2332正确答案：AAAB BAB T CA+B DBA T2设 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） 正确答案：B,A. B. T)(T)(AC. D. 11T)( 11T)(B注意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住3以下结论或等式正确的是（ ） 正确答案：CA若 均为零矩阵，则有 B若 ，且 ，则 B, AACOCBC对角矩阵是对称矩阵 D若 ，则,A4设 是可逆矩阵，且 ，则 （ ）. 正确答案：CI
19、1A. B. C. D. 1()IB1注意：因为 A(I+B)=I,所以 I+BA15设 ， ， 是单位矩阵，则 （ ）)2()3(IIAT正确答案：DA B C D62316215325236设 ，则 r(A) =（ ）正确答案：C3140A4 B3 C2 D1127设线性方程组 的增广矩阵通过初等行变换化为 ，则bAX 00124361此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）正确答案：AA1 B2 C3 D48线性方程组 解的情况是（ ）正确答案：A0121xA. 无解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D . 有无穷多解9设线性方程组 有无穷多解的充分必要条件是（ ）bXnm正确
20、答案：DA B C Dr)(nAr)(mnAr)(10. 设线性方程组 有唯一解，则相应的齐次方程组 （ ）b OXA无解 B有非零解 C只有零解 D 解不能确定正确答案：C二、填空题1若矩阵 A = ， B = ，则 ATB= 应该填写： 2113 264132设 均为 阶矩阵，则等式 成立的充分必要条件是 . B,n 22)(B应该填写： 是可交换矩阵3设 ，当 时， 是对称矩阵. 应该填写：01320aAaA4设 均为 阶矩阵，且 可逆，则矩阵 的解 X= B,n)(BIB应该填写： I1)(5若线性方程组 有非零解，则 应该填写：-1021x6设齐次线性方程组 ，且秩(A) = r n
21、，则其一般解中的自由未知量的1nmX个数等于 应该填写：n r137齐次线性方程组 的系数矩阵为 则此方程组的一般解0AX0213A为 .应该填写： (其中 是自由未知量 )4231x43,x三、计算题（以下的各题要熟练掌握！这是考试的 15 分类型题）1设矩阵 A = ，求逆矩阵 01241A解： 因为 (A I )= 0140114040222138311106402002143313112所以 A -1= 2134注意：本题也可改成如下的形式考：例如 ：解矩阵方程 AX=B,其中， ，答案：0124A1B13XAB又如：已知 ， ，求112设矩阵 A = ，求逆矩阵 21531)(AI1
22、4解： 因为 ， 且 10130135522IA10523102153 103120356所以 6)(1AI3设矩阵 A = ， B = ，计算(BA) -102213解： 因为 BA= = 130245(BA I )= 140245 5212503所以 (BA) -1= 534设矩阵 ，求解矩阵方程 32,3BABXA解：因为 ， 即 105210132513251所以 X = = = 1323205求线性方程组 的一般解054321xx15解： 因为 1021351220A 012所以一般解为 （其中 ， 是自由未知量） 432x3x46求线性方程组 的一般解1265321xx2 1230
23、94094480131/10/900A 解 ：所以一般解为 （其中 是自由未知量） 194321x3x7设齐次线性方程组 ，问取何值时方程组有非零解，并求一0835321xx般解.解： 因为系数矩阵 A = 61028352501所以当 = 5 时，方程组有非零解. 且一般解为 （其中 是自由未知量）32x38当 取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.1542312x16解： 因为增广矩阵 1111124050620620524A所以当 =0 时，线性方程组有无穷多解11105106206262且一般解为 是自由未知量 2615321x(3注 意 ： 方 程 组 如 有 未 知 参 数 ， 最 好 先 把 互 换 到 最 下 行这类题也有如下的考法：当 为何值时，线性方程组有解，并求一般解。1234127xx 134234 46551 7(, xxx答 案 ： （ ） 时 有 解 ， （ ） 一 般 解 为其 中 是 自 由 未 知 量 ）9 为何值时，方程组bax3211有唯一解，无穷多解，无解？ 11110202343Aababab解当 且 时，方程组无解；a当 ， 时方程组有唯一解；R当 且 时，方程组有无穷多解。本复习文本的计算题务必要动手做做才能掌握，对同学们而言，这是成败的关键！努力复习吧，胜利在向你招手！
