1、1教材详解 第十三章 实数第一节 平方根【教学目标】1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根3.会用科学计算器求一个非负数的算术平方根【教学重难点】重点 1. 算术平方根的概念及表示方法2. 平方根的概念及其性质难点：平方根的概念及其性质【教学导入】教学导入一问题 1 解 设正方形纸片的边长为 xcm，依题意有： 25，求出满足 25 的 x 值，2x2就可得正方形纸片的边长问题 2 解 设圆的半径为 R cm，依题意有： =16 ，即 =16，求出满足R16 的 R 的值即可求出圆的半径教学导入二情境导入请同学们欣赏本节导图，并
2、回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为 25 2dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少 dm？如果这块画布的面积是 21？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容这节课我们先学习有关算术平方根的概念教学导入三情境导入：问题：要剪出一块面积为 25cm 的正方形纸片，纸片的边长应是多少？你能用方程表示这个问题吗？试试看2.课前热身根据上述提出的间题，请同学们作如下讨论：（1）这种运算（ =25）是已知什么？求什么？2x（2）这种运算与平方运算之间存在怎样的关系？教学导入
3、四创设情景，导入新课复习提问：1、什么数的平方是 49？2、平方得 81 的数有几个？分别是什么？3、一对互为相反数的平方有什么关系？交流总结：由问题出发，认识到平方得一个正数的数有 2 个，并且互为相反数【知识点】知识点 1：平方根的概念及其性质概念：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根这就是说，2如果 a，那么 x 叫做 a 的平方根例： 3 和一 3 是 9 的平方根，简记为土 3 是 9 的平方2x根表示：正数 a 的平方根可表示为士 ，读作“正负根号 a”，其中“ 2 是根指数，当根指数是 22 时可省略不写， “ ”读作“根号” , “a”是被开
4、方数例如： 2 的平方根可表示为士性质：( 1 ）一个正数 a 有两个平方根，其中一个是“ ”，另一个为“一 ”，它们互为相反a数； ( 2 ) 0 的平方根是。 ； ( 3 ）负数没有平方根温馨提示：1.被开方数 a 是非负数（非负数即指正数和零） ，2. 平方与开方是互逆运算关系例 1：求下列各数的平方根( 1 ) ; ( 2 ) ； (3） 0 ， （4） 1-4915分析：根据平方根的意义及性质解答，带分数 首先化成假分数95496（1） 9， 9，所以 的平方根是3；2)3-（ 2)（ 2)-（2）因为 ， ，所以 的平方根是45678）（ 46178（3）因为 =0，所以 0 的平
5、方根是 02（4）因为 =1，所以 1 的平方根是1.）（求一个正数的平方根，就是根据平方根的定义，看这个正数是哪两个互为相反数的数的平方。知识点 2：算术平方根的概念及表示方法。概念： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 a ，那么这个正数 x 叫做 a 的算2x术平方根a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a ”, a 叫做被开方数表示方法：非负数 a 的算术平方根表示为 ，读作“根号 a”例如： 16 , 16 的算术平24方根是 4 ，表示为了丽 4 .16性质：( l ）正数 a 的算术平方根为 ； a( 2 ) 0 的算术平方根是 o ，即 0； ( 3 ）负数没有算术平
6、方根。例 2：求下列个数的算数平方根（1）256 （2） （3）6524-1分析：根据算术平方根的意义解答即可解答：（1）因为 所以 256 的算术平方根是 16，即 =161256（2）因为 25，又因为 25，所以 的算术平方根是 5.26（3）因为 9，又因为 9，所以 的算术平方根是 3240-8123240-1知识点 3 ：平方根与算术平方根的区别与联系1. 区别( l ）定义不同； ( 2 ）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； ( 3 ）表示方法不同，正数 a 的平方根表示为士 ，正数 a 的算术平方根表示为3； a( 4 ）取值范围不
7、同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根一正、一负2. 联系：( 1）具有包含关系，平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那一个； (2）存在条件相同，平方根和算术平方根只有非负数才有； ( 3 ) 0 的平方根与算术平方根都是 0 .【易错易误点】1、对平方根的定义理解不准确，导致偏差例 1.下列说法中：9 的平方根是 3; 是 2 的平方根;2 是 的平方根.16是 9 的平方根；0 的平方根是 0 其中正确的是：（ ）A. B. C. D. 错解：选择D。分析：由于对平方根的定义理解不准确，导致上述的错误。怎样才能准确理解平方根的定义？可以这样去理解：如果x 2=a，那么，
8、x叫做a的平方根，记作 。由此，我们可以断定如下说法都是正确的：a a的平方根是 ； 是a的平方根； - 是a的平方根； 是a的平方根；其中a是非负数。此外，0的平方根是0这个特例要记清楚。根据上面的理解，所以，说法是错误的。其余说法都是正确的。正解：选择C。2、对平方根的表示法中的“”理解不准确，导致偏差例2、 “ 的平方根是 ”, 下列各式正确的是（ ）53656 = = = - =-2325362536A. B. C. D. 错解：选择D。分析：对于非负数的平方根，在用数学表达式表示时，有三种方式是正确的：“，型”,即在等号的两边要同时出现“”这个符号。如 =3；9“+，+型” ，即在等
9、号的两边要同时出现 “+”这个符号。如+ =+3，或者 =3，“-，-型” ，记在等号的两边要同时出现“-”这个符号，如- =-3.也就是说，在用数学表达式表达时，等号两边数的性质符号是一致的，否则，就不正确。根据这一标准，去判断， 是错误的。其余都是正确的。正解：选择B。3、忽视被开方数的意义，导致错误4例3、下列运算过程，-8 是-64 的平方根;- =-(-8)=8； ； =(-8)= 8642264正确的个数：（ ）(A) 0 个 ( B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个错解：选择 B 或选择 C 或选择 D分析：要求一个数的平方根或进行有关平方根的运算时，必须保证被开方数是非
10、负数，否则，就没有什么意义。的被开方数都是-64，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算；的被开方数是-2 2=-4，是负数，所以，根本就没有意义，因此，也就无法进行运算；所以，上面的说法都是错误，即正确的个数为0.正解：选择A。4、乱用运算律或者公式，导致偏差例 4、下列运算中， = =10-8=2 ；281028 = + = + = ；94193165 ；251- =- =-694错误的有 （ ）(A) ( B) (C) (D) 错选：选择 A 或选择 B 或选择 D分析：在进行数的开平方运算时，不论被开方数是和的形式、差的形式，还是符合公式，还是带分数的形式，在运算时，必须
11、把被开方数的结果化成一个数的形式，要么是一个整数，要么是一个真分数，要么是一个假分数，同时，还要注意性质符号的一致性。的计算，乱用平方差公式，导致结果的错误；的计算，乱用求两数的和的运算律，导致错误；的计算，也是自己杜撰运算的方法，所以，运算的结果，当然是错误的；只有严格按照运算的要求进行的，并且等号两边的数的性质符号也是一致的。因此，都是错误的。正解：选 C。5、对 的化简把握不准，导致偏差2a例 5、下列等式正确的是（ ） ；A. =8； B. =5； C. =8 D. 642)(2816)(2错解：选择 A 或 B 或 D。5分析：对于 型的计算，必须清楚 a 的正负性，当 a 是正数时
12、，其结果 a，即当 a0 时，2a=a；当 a0 时， =-a；当 a=0 时， =0；这里也要注意等号两边数的性质符号的222一致性。根据上面的要求，所以，只有选项 C 是正确的。当然，同学们也可以先把被开方数进行化简计算，化成最简形式，后开平方。正解：选择 C。6、对算术平方根的定义理解不准，导致错误例 6、计算下列各式并观察： ， ， ， ， 8108181.0081.通过上述各式，你能发现什么样的规律，用自己的语言叙述出来。 错解： 902， 92， 0. 92， 0. 092， 被开方数每缩小 100 倍，其算术平方根的底数就缩小 10 倍。分析：出现这种错误，是对算术平方根的数学符
13、号表示法的意义理解不准，导致的。式子 的意义a是，求数 a 的算术平方根，再细致的说法就是，求一个数，并且这个数的平方等于 a。所以，算术平方根是平方幂中的底数。明白了这一点，上面的错误就自然克服了。正解： 90， 9， 0. 9， 0. 09 8108181.0081.规律：被开方数每缩小 100 倍，其算术平方根就缩小 10 倍。7、不会处理系数与底数的关系，导致偏差例 7、求下列 的值：4 25)1(x错解：4（x-1）= =5，所以，4（x-1）=5 或者 4（x-1）=-5，所以，x= ，或 x=21分析：由于没有处理好系数与算术平方根的关系，导致错误。这类问题的正确解法是：等式的两边同时除以平方幂的系数，把系数化成 1；求右边数的平方根；建立两个等式，分别求出 x 的值。正解：等式的两边同时除以 4，得：=2)1(x5所以，x-1= = ，4所以，x-1= 或者 x-1=- ，256所以，x= ，或 x=27
