1、 “隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。例 1、 （1）12 个相同的小球放入编号为 1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为 1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为 1，2，3，4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）将 12 个小球排
2、成一排，中间有 11 个间隔，在这 11 个间隔中选出 3 个，放上“隔板” ，若把“1”看成隔板，则如图 001000010000100 隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中 1，2，3，4 四个盒子相应放入 2 个，4个，4 个，2 个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从 11个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有 =165 种。31C（2）法 1：（分类）装入一个盒子有 种；装入两个盒子，即 12 个相同的14C小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有 种;装入三个盒子，即 12 个216相同的小球装入三个不同
3、的盒子，每盒至少装一个有 =220 种;装入四个盒子，即32412 个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有 种;由加法原理得共15C有 4+66+220+165=455 种。法 2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的 12 个小球任意装，即 16 个小球装入 4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有 种。3154（3）法 1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩 2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有 种。1240C法 2：先给每个盒子装上比编号小 1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将 6 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有
4、 351由上面的例题可以看出法 2 要比法 1 简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。例 2、 （1）方程 的正整数解有多少组？123410xx(2) 方程 的非负整数解有多少组？（3）方程 的非负整数整数解有多少组？12310xx解：（1）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有种，所以该方程有 84 组正整数解。3984C（2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有种，所以该方程有 286 组非负整数整数解。3186（3）当 时，转化为 3
5、 个相同的小球装入 9 个不同的盒子，可以有空盒，有0x种。当 时，转化为 1 个小球装入 9 个不同的盒子，可以有空盒，有 =915C1 19C种；所以该方程有 165+9=174 组非负整数整数解。例 3、已知集合 ，选择 的两个非空子集 ，且 中最大的元素比,AB中最小的元素小，则选择方法有多少种？B解：由题意知 的交集是空集，且 的并集是 的子集 ，所以 至少含有两个元,A,ABC素，将 中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给 ，后边的给 ，C AB至少含有 1 个元素，设 中有 个元素，则转化为 个相同的小球装入 2 个不同的盒,BCnn子，则有 种装法，故本题有 种选择方法。n2314515349C总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法” 。若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板” ，若出现每组元素数目为 0 个时，向每组元素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”法加以解决。
