1、小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型） ，共边（含燕尾模型和风筝模型） ， 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图 12:Sab夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ；ACDBS 反之，如果 ，则可知直线 平行于 ACDBS B等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积
2、比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在 中， 分别是 上的点如图 (或 在 的延长线上，ABC ,DE,ABCDBA在 上)，E则 :():()ES EDCBAEDCBA图 图三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：baS2S1DCBAS4S3S2S1ODCBA 或者 1243:SS1324S1243:AOCSS蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边
3、形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： 213:Sab ；24:ab 的对应份数为 2四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF EAB CDAB CDE FG ；AEAC 2:DBSF ：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的
4、底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形 中， ， ， 相交于同一点 ，那么ABCDBECFO:ABOS上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 和 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被AB CDObaS3S2 S1S4OFED CBA称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】 如图，正方形 ABCD 的边长为 6
5、， 1.5， 2长方形 EFGH 的AECF面积为 _H_G_F_E_D_C_B_A _A_B _C_D_E_F_G_H【解析】 连接 DE， DF， 则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，,所以长方形 EFGH61.562624.5216.5DEFS面积为 33【巩固】如图 所 示 ， 正 方 形 的 边 长 为 厘 米 ， 长 方 形 的 长 为 厘ABCD8EBGF10米 ， 那 么 长 方 形 的 宽 为 几 厘 米 ？_A _B_G _C_E_F_D_A _B_G _C_E_F_D【解析】 本题主要是让学生会
6、运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接 (我们通过 把这两个长方形和正方形联系在AAB一起)在正方形 中， 边上的高，BCDG12ABS (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积12ABGAS的一半)同理， ABGEFBS正方形 与长方形 面积相等 长方形的宽ABCDEFGB(厘米)8106.4【例 2】 长方形 的面积为 36 ， 、 、 为各边中点， 为 边上2cmHAD任意一点，问阴影部分面积是多少？HGFEDCBA【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 、 ，如下图：BH HGFED
7、CBA可得： 、 、 ，而12EHBAHS12BHBS12DGDHCS36ABCDAHBCDS即 ；()3618EBHFGAHBCHD而 ，DEFSSS阴 影111()()364.52228EBFSA所以阴影部分的面积是： 184.513.EBFS阴 影解法二：特殊点法找 的特殊点，把 点与 点重合，HHD那么图形就可变成右图：GAB CDEF(H)这样阴影部分的面积就是 的面积，根据鸟头定理，则有：D111363636361.5222ABCDAEBFCSSS阴 影【巩固】在边长为 6 厘米的正方形 内任取一点 ，将正方形的一组对ABDP边二等分，另一组对边三等分，分别与 点连接,求阴影部分面
8、积PDCBAAB CD(P)PDCBA【解析】 （法 1）特殊点法由于 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，P假设 点与 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴PA影三角形的面积分别占正方形面积的 和 ，所以阴影部分的面积为146平方厘米216()54（法 2）连接 、 PAC由于 与 的面积之和等于正方形 面积的一半，所以上、DBABCD下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 面积的 ，同理可知14左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 面积的 ，所以6阴影部分的面积为 平方厘米216()54【例 3】 如图所示，长方形 内的阴影部分的面积之和为 70， ，ABCD8AB，四边形
9、 的面积为 15ADEFGOOGFEDCBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形 、 和四边形AEDOG的面积之和，以及三角形 和 的面积之和，进而求出四EFGO边形 的面积由于长方形 的面积为 ，所以三角形 的面积为ABCD15820BC，所以三角形 和 的面积之和为 ；12034AOEDG31207204又三角形 、 和四边形 的面积之和为 ，所OEGF以四边形 的面积为 F3021另解：从整体上来看，四边形 的面积 三角形 面积 三角形EAFC面积 白色部分的面积，而三角形 面积 三角形 面积为长BDACBD方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面
10、积，即 ，所以四边形的面积为 120756051【巩固】如图，长方形 的面积是 36， 是 的三等分点， ，ABCDEAD2AED则阴影部分的面积为 OAB CDENMOAB CDE【解析】 如图，连接 E根据蝶形定理， ，所以1:1:2OECDCAEDNSS；12OENOEDS，所以 1:1:42BABDEAMSS5OEMOEAS又 ， ，所以阴影部分面积为：1334OEDCS矩 形 26OOED62.75【例 4】 已知 为等边三角形，面积为 400， 、 、 分别为三边的中点，AB EF已知甲、乙、丙面积和为 143，求阴影五边形的面积(丙是三角形)HC丙丙丙HNMJI FEDCBA【解
11、析】 因为 、 、 分别为三边的中点，所以 、 、 是三角形DEFDEF的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABC和三角形 的面积都等于三角形 的一半，即为 200NACAB根据图形的容斥关系，有 ，ABCNAMCAHNSSS丙即 ，所以 40 20MHNS丙 AH丙又 ，所以ADFA乙甲阴 影143043ADFSS乙甲 丙阴 影【例 5】 如图，已知 ， ， ， ，线段 将图形分成两部5C7E56FGAB分，左边部分面积是 38，右边部分面积是 65，那么三角形 的面DG积是 GFEDCBAABC D E F G【解析】 连接 ， AF根据题意可知， ； ；5712F715
12、628所以， ， ， ，12BECBFSSECBFCSAEGADGS，728AEDADGS于是： ； ；156287ADGCBFSS71238287ADGCBFSS可得 故三角形 的面积是 4040【例 6】 如图在 中， 分别是 上的点，且 ，B ,E, :2:5A， 平方厘米，求 的面积:4:7AEC16ADS ABC EDCBAEDCBA【解析】 连接 ， ，E:2:5(4):ADEBSA ，所以 ，设:47()ABCS :(24):75ADEBCS 份，则 份， 平方厘米，所以 份是 平方厘米，8D 35C 16DES 1份就是 平方厘米， 的面积是 平方厘米由此我们得到一3570 7
13、0个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【巩固】如图，三角形 中， 是 的 5 倍， 是 的 3 倍，如果三ABCADACE角形 的面积等于 1，那么三角形 的面积是多少？ADEABCEDCBAAB CD E【解析】 连接 3ECA BES又 5D ， 15AABCS15ABCADES【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分， ， ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？4B3E6丙丙ED CBAAB CDE丙 丙【解析】 连接 A ，36 ，E3ABDESA又 ，4C ， ， 2ABSA6CBDSAA5S乙 甲【例 7】 如图在
14、 中， 在 的延长线上， 在 上，且 ， EAC:5:2BAD， 平方厘米，求 的面积:3:2EC12ADES BEDCBAEDCBA【解析】 连接 ， E:2:5(3):ADESA ，:3()(ABCS 所以 ，设 份，则 份，2:6:B 6ADES 25ABCS平方厘米，所以 份是 平方厘米， 份就是 平方厘米，12DE 1250的面积是 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定 50理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形 ， ， ， ， ，ABCDEAB2CF3GDC4HAD平行四边形 的面积是 ， 求平行四边形 与四边形 的2A
15、BEFG面积比HG A BCD EF HG A BCD EF【解析】 连接 、 根据共角定理B在 和 中， 与 互补，A E ABFE 13CFBES又 ，所以 A FBES同理可得 ， ， 8GC 5DHG 8AEHS所以 15+326EFHABFCDS 所以 2136ABDG【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？ODCBA13 13121213 131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形 绕顶点 逆时针旋转，使长为 的两条边重合，此时三OAB13角形 将旋转到三角形 的位置.这样，通过旋转后
16、所得到的新OCD图形是一个边长为 的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边12形的面积.因此，原来四边形的面积为 .(也可以用勾股定理)124【例 10】 如图所示， 中， ， ， ，以 为一边向ABC903AB5CA外作正方形 ，中心为 ，求 的面积ABDEO53OAB CDEF53OAB CDE【解析】 如图，将 沿着 点顺时针旋转 ，到达 的位置O90O由于 ， ，所以 而 ，90AC90A180AOAB所以 ，那么 、 、 三点在一条直线上18FF由于 ， ，所以 是等腰直角三角形，且斜BCB边 为 ，所以它的面积为 5321864根据面积比例模型， 的面积为 OB50【例 11】 如
17、图，以正方形的边 为斜边在正方形内作直角三角形 ，A ABE， 、 交于 已知 、 的长分别为 、 ，求90AEBCDAEB3cm5三角形 的面积OABCDOEFABCDOE【解析】 如图，连接 ，以 点为中心，将 顺时针旋转 到 的位A90B置那么 ，而 也是 ，所以四边90EAFBFEBEB形 是直角梯形，且 ，3A所以梯形 的面积为：( )1352cm又因为 是直角三角形，根据勾股定理，ABE，所以 ( )222354217ABDS2cm那么 ( )，5BDEABEADFESS所以 ( )12.5OBEBDES2cm【例 12】 如下图，六边形 中， ， ， ，且有 平ACFABEDFC
18、BEFAB行于 ， 平行于 ， 平行于 ，对角线 垂直于 ，已知D厘米， 厘米，请问六边形 的面积是多少平方厘24F18B米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将 平移使得 与 重合，将 平移使得 与BCAEFED重合，这样 、 都重合到图中的 了这样就组成了一个长ABFG方形 ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形 的面GD BGF积为 平方厘米，所以六边形 的面积为 平方厘24183BCD432米【例 13】 如图，三角形 的面积是 ， 是 的中点，点 在 上，且ABC1EABC， 与 交于点 则四边形 的面积等于 :1:2BDFFEFED CBA33321F ED CBA
19、AB CDEFF ED CBA【解析】 方法一：连接 ，根据燕尾定理， ， , F12ABFCSD 1ABFCSE设 份，则 份， 份， 份，1BDS 2DCFS 3 3EEC 如图所标所以 512DCEFABCS方法二：连接 ，由题目条件可得到 ，13ABDABCS ，所以 ，123ADEADCABCSS AEF，1112232FEBEBCS 而 所以则四边形 的面积等于 133CDEACSS DF5【巩固】如图，长方形 的面积是 平方厘米， ， 是 的中EDG点阴影部分的面积是多少平方厘米?x yyxAB CDEFGGF EDCBA3 3GF EDCBA213【解析】 设 份，则根据燕尾定
20、理其他面积如图所示1DEFS平方厘米.5522BC阴 影【例 14】 四边形 的对角线 与 交于点 (如图所示)如果三角形AABDO的面积等于三角形 的面积的 ，且 ， ，那么DC132A3DO的长度是 的长度的_倍COAB CDOH GAB CDO【解析】 在本题中，四边形 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无AD外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解:1:3ABDCS法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来
21、改造这个”不良四边形” ，于是可以作 垂直 于 ， 垂直 于 ，面积比AHBDCGBD转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题解法一： ， ，:1:3ABDCOS236O:6:321OCD解法二：作 于 ， 于 HG ， ， ，ABDBCDS1313AODOCS ， ， 13O26:6:2C【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形 的面积； ？BGC:AG AB CDG32 1【解析】 根据蝶形定理， ，那么 ；123BGCS
22、A 6BGSA根据蝶形定理， :61:【例 15】 如图，平行四边形 的对角线交于 点，DO、 、 、 的面积依次是 2、4、4 和 6求：CEF O F BE求 的面积；求 的面积 GCOG FEDCBA【解析】 根据题意可知， 的面积为 ，那么 和 的CD 2461BCO D面积都是 ，所以 的面积为 ；1628OF 8由于 的面积为 8， 的面积为 6，所以 的面积为 B E，862根据蝶形定理， ，所以:2:41COEFGS，:1:2GCEFS那么 123GCECEFS【例 16】 如图，长方形 中， ， ，三角形 的面积ABCD:2:3E:1:2DFCDFG为 平方厘米，求长方形 的
23、面积2AB CDEFGAB CDEFG【解析】 连接 ， AF因为 ， ，所以:2:3C:1:2DF31()50DEFABABCSSSA长 方 形 长 方 形因为 ， ，所以 平方2EDCDA长 方 形 :5:120G510AGDFSA厘米，所以 平方厘米因为 ，所以长方形12AFS6AFBC长 方 形的面积是 平方厘米BC7【 例 17】 如图，正方形 面积为 平方厘米， 是 边上的中点求图中BCD3MD阴影部分的面积GM DCBA【解析】 因为 是 边上的中点，所以 ，根据梯形蝶形定理可以MAD:1:2BC知道，设 份，则2:1:4AGBCGBSS （ ） （ ） 1AGMS份，所以正方形
24、的面积为 份，123MCD 2432份，所以 ，所以 平方厘米4阴 影 :1:3S阴 影 正 方 形 阴 影【巩固】在下图的正方形 中， 是 边的中点， 与 相交于 点，ABCDEBCAEBDF三角形 的面积为 1 平方厘米，那么正方形 面积是 EF C平方厘米AB CDEF【解析】 连接 ，根据题意可知 ，根据蝶形定理得DE:1:2AD(平方厘米)， (平方厘米)，那么219S梯 形 （ ） 3ECS(平方厘米)ABCD【例 18】 已知 是平行四边形， ，三角形 的面积为 6 平方ABCD:3:2BCEODE厘米则阴影部分的面积是 平方厘米OEAB CDOEAB CD【解析】 连接 AC由
25、于 是平行四边形， ，所以 ，D:3:2:2:3AD根据梯形蝶形定理， ，24:69COEADOEASSA所以 (平方厘米)， (平方厘米)，又6AOCS9(平方厘米)，阴影部分面积为 (平方厘米)915BDA 6152【巩固】右图中 是梯形， 是平行四边形，已知三角形面积如图所ABED示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米21AB CDE9421AB CDEO94【分析】 连接 由于 与 是平行的，所以 也是梯形，那么AEDBCAECDOCDOS根据蝶形定理， ，故 ，4936OCAEOCEASS236OCDS所以 (平方厘米)6OCDS【巩固】右图中 是梯形， 是平行四边形，已知
26、三角形面积如图所ABABED示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米1682AB CDEO1682AB CDE【解析】 连接 由于 与 是平行的，所以 也是梯形，那么AEDADOCDS根据蝶形定理， ，故2816OCAEOCEASS，所以 (平方厘米)216 4D另解：在平行四边形 中， (平方厘米)，B12ADEABED所以 (平方厘米)，1284AOEDAOSS根据蝶形定理，阴影部分的面积为 (平方厘米)24【例 19】 如图，长方形 被 、 分成四块，已知其中 3 块的面积分别ABCDEF为 2、5、8 平方厘米，那么余下的四边形 的面积为OFBC_平方厘米?85 2OA BCD
27、E F?85 2OA BCDE F【解析】 连接 、 四边形 为梯形，所以 ，又根据蝶形定ECFEFEODFSA理， ，所以 ，所以OOFCDSS 2816EOFCCS(平方厘米)， (平方厘米)那么长方形 的面4EODS4812ECDS ABCD积为 平方厘米，四边形 的面积为 (平方厘米)12OFB24589【例 20】 如图， 是等腰直角三角形， 是正方形，线段 与 相交ABEG于 点已知正方形 的面积 48， ，则 的面积是KE:1:3AKBK多少？KGFEDCBAMKGFEDCBA【解析】 由于 是正方形，所以 与 平行，那么四边形 是梯DFGDAADB形在梯形 中， 和 的面积是相
28、等的而 ，ACK :1:3K所以 的面积是 面积的 ，那么 的面积也是K134面积的 B14由于 是等腰直角三角形，如果过 作 的垂线， 为垂足，那AABCM么 是 的中点，而且 ，可见 和 的面积都等于正MCAMDE方形 面积的一半，所以 的面积与正方形 的面积相等，DEFG DEFG为 48那么 的面积为 BK1482【例 21】 下图中，四边形 都是边长为 1 的正方形， 、 、 、 分别ACDH是 ， ， ， 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部A分的面积之比是最简分数 ，那么， 的值等于 mn()nAB CDEFGHHGFEDCBA【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形
29、，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积如下图所示，在左图中连接 设 与 的交点为 EGADEM左图中 为长方形，可知 的面积为长方形 面积的 ，所AEGDAMDAEGD14以三角形 的面积为 又左图中四个空白三角形的面积M2148是相等的，所以左图中阴影部分的面积为 1482MAB CDEFGHNHGFEDCBA如上图所示，在右图中连接 、 设 、 的交点为 AEAEN可知 且 那么三角形 的面积为三角形 面积的EFAC2E AB，所以三角形 的面积为 ，梯形 的面积14 2148F为 328在梯形 中，由于 ，根据梯形蝶
30、形定理，其四部分的面AEF:1:2EFAC积比为： ，所以三角形 的面积为221:4 EFN，那么四边形 的面积为 而右图中四个384BN18246空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为163那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 ，1:32即 ，2mn那么 325n【例 22】 如图， 中， ， ， 互相平行， ，ABC DEFGBCADFB则 :DEGFSS 四 边 形 四 边 形EGFADCB【解析】 设 份，根据面积比等于相似比的平方，1ADES所以 ， ，2:1:4AFGSD 2:1:9ADEBCSA 因此 份， 份，4 9ABC进而有 份， 份，所以3E四
31、边 形 5FGB四 边 形:1:5ADEGFCBS 四 边 形 四 边 形【巩固】如图， 平行 ，且 ， ， ，求 的长D2AD4AEC AEDCB【解析】 由金字塔模型得 ，所以:2:5AB42510AC【巩固】如图， 中， ， ， ， ，C DEFGMNPQ互相平行，BC，则ADFMPB:EDEGFGNMNQPCBSSS 四 边 形 四 边 形 四 边 形 四 边 形【解析】 设 份， ，因1AE 2:1:4ADEFA 此 份，进而有 份，同理有4FGS 3DEGS四 边 形份， 份，5NM四 边 形 7MNQP四 边 形份9PQCB四 边 形所以有 :1:357:9ADEDEGFFGNM
32、NQPPQCBSSSS 四 边 形 四 边 形 四 边 形 四 边 形【例 23】 如图，已知正方形 的边长为 ， 是 边的中点， 是 边上ABC4FEDC的点，且 ， 与 相交于点 ，求:1:3EGABGQEGNMFPADCBG FAED CBMG FAED CBG FAED CB【解析】 方法一：连接 ，延长 ， 两条线交于点 ，构造出两个沙漏，A所以有 ，因此 ，根据题意有 ，再根据另:1:BMF43一个沙漏有 ，所以47GB4432()7ABGABESS 方法二：连接 ，分别求 ，,F24ABFS，根据蝶形定理12347AEF，所以 :BSE 32(4)711ABGABES 【例 24
33、】 如图所示，已知平行四边形 的面积是 1， 、 是 、 的中CDFBAD点， 交 于 ，求 的面积 FCMMHGFEDCBAI AB CDEFGHM【解析】 解法一：由题意可得， 、 是 、 的中点，得 ，而EFABD/EFBD，:1:2FDC所以 ，E:2:3HGE并得 、 是 的三等分点，所以 ，所以GHBDH，所以 ，:2:3BMF5BMF；1124BFDADABCDSS又因为 ，所以 3G12121353540BMGBFDSS解法二：延长 交 于 ，如右图，CEDAI可得， ，从而可以确定 的点的位置，:1:AIBM， ， (鸟头定理)，:23MF25MBF13GD可得 540BGB
34、DFACSSS【例 25】 如图， 为正方形， 且 ，请问四边ABC1cmAMNBDEFC2cMN形 的面积为多少？PQRS SRBCDAEQNMFPSRBCDAEQNMFP【解析】 (法 )由 ，有 ，所以 ，又 ，所以1/BCDC2CE，所以 ，所以 占 的 ，2Q11236PQSPQRAMF16所以 1()6SPR(cm)(法 )如图，连结 ，则 ( ，AE48ABES2cm)而 ，所以 ， ( )BEAF2F1633RABES2c而 ( )，因为 ，1342MQANScMNPDC所以 ，则 ( )，阴影部分面积等于PC142MNP2c( )63ABRNSBQm【例 26】 如右图，三角
35、形 中， ， ，求 A:4:9DC:4:3EA:FB OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得 :4:9127AOCS 3:6BAE （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数）AOB所以 :27:16:CSAFB 【点评】本题关键是把 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形 中， ， ，求 .ABC:3:4D:5:6AEC:AFB OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得 :3:415:20AOCS 68BAE （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 :20:18:9:AO
36、CBSFB 【巩固】如右图，三角形 中， ， ，求 .:2:3DC:5:4EA:AFB OF ED CBA【解析】 根据燕尾定理得 :2:3105AOBCSD 4:8AE （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 :15:8:AOCBSF 【点评】本题关键是把 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形 中， ，且三角形ABC:3:2FBDCEA的面积是 ，则三角形 的面积为 _，三角形 的面积ABC1EAGE为_，三角形 的面积为_GHIIHGFED CBAIHGFED C
37、BA【分析】 连接 、 、 AI由于 ，所以 ，故 ；:3:2CE25AE25ABEABCS根据燕尾定理， ， ，所以:3CGBS :3:2GE，则 ， ；:469ACGBS 419ACG91BC那么 ；28515EAGC同样分析可得 ，则 ，9HS:4:9ACGHES，所以 ，同样分析可得:4:ACGB 510B，105ID所以 ， 215BIEES99GHIBIES【巩固】 如右图，三角形 中， ，且三角形AC:3:2FDCAE的面积是 ，求三角形 的面积HI IHGF ED CBAIHGF ED CBA【解析】 连接 BG， 份AGCS 6根据燕尾定理， ，:3:264AGCBSF :3
38、:29ABGCSD 得 (份)， (份)，则 (份)，因此 ,4BG 19ABCS 619AGCBS同理连接 AI、 CH 得 , ,所以619ABHCS 6I GHIABC三角形 GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 19【巩固】如图， 中 ， ， ，那么 的面积是阴AB2DA2EB2F影三角形面积的 倍AB CDEFGH IIHG FEDCBA【分析】 如图，连接 AI根据燕尾定理， ， ，:2:1BCIAISD:1:2BCIAISF所以， ，那么， :124ACII 247IBCABS同理可知 和 的面积也都等于 面积的 ，所以阴影三角GH形的面积等于 面积的 ，所以 的面
39、积是阴影三角形B137A面积的 7 倍【巩固】如图在 中， ,求 的值AC 12DEAFBCGHIAC 的 面 积 的 面 积 IHGFED CBAIHGFED CBA【解析】 连接 BG,设 1 份，根据燕尾定理 ,GCS :2:1AGCBSF ,得 (份)， (份),则 (份)，:2:ABGS 2AGCS 4 7ABCS因此 ,同理连接 AI、 CH 得 , ,所以7C 7BHAC IABC21HIABS【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称
40、法作辅助线.【例 28】 如图，三角形 的面积是 ， ， ，三角形ABC1BDECFGA被分成 部分，请写出这 部分的面积各是多少 ?ABC99GFED CBANMQPGFED CBA【解析】 设 BG 与 AD 交于点 P， BG 与 AE 交于点 Q， BF 与 AD 交于点 M， BF 与AE 交于点 N连接 CP， CQ， CM， CN根据燕尾定理， ， ，设:1:2ABCSG :1:2ABPCSD (份)，则 (份)，所以1ABPS 125 15同理可得， , ,而 ，所以 ，7ABQ ABN 3ABG 375APQ2371AQG同理， ,所以 ，35BPMS 12BD 129750
41、PQMNS四 边 形, ,9704NED四 边 形 346NFCE四 边 形 153264GFNQS四 边 形【巩固】如图， 的面积为 1，点 、 是 边的三等分点，点 、 是ABCBFG边的三等分点，那么四边形 的面积是多少？JKIHKJI HA BCDEFGKJI HA BCDEFG【解析】 连接 、 、 CJ根据燕尾定理， ， ，:1:2ACKBSD:1:2ABKCSG所以 ，那么 ， :124AKBS 147ACK3AKACS类似分析可得 5AGI又 ， ，可得 :ABJCF:2:1ABJCS 14ACJ那么， 17428GKJS根据对称性，可知四边形 的面积也为 ，那么四边形 周围E
42、HJ784JKIH的图形的面积之和为 ，所以四边形172162845370CGKJAGIBESS的面积为 JKIH61970【例 29】 右图， 中， 是 的中点， 、 、 是 边上的四等分点，AB ADEFBC与 交于 ， 与 交于 ，已知 的面积比四边形DGMFBGNAM的面积大 平方厘米，则 的面积是多少平方厘米？FCN7.2C NM GAB CDE FNM GAB CDE F【解析】 连接 、 C根据燕尾定理， ， ，所:1:ABMCSG :1:3ABMCSD 以 ；15ABMCS 再根据燕尾定理， ，所以:ABNC ，所以 ，那么 ，:43ABNFCBNFS 43NF14237ANG
43、FCS所以 25151728GAABCABCS S 根据题意，有 ，可得 (平方厘米)7.BCS 36ABC【例 30】 如图，面积为 l 的三角形 ABC 中， D、 E、 F、 G、 H、 I 分别是AB、 BC、 CA 的三等分点,求阴影部分面积. IGHFEDCBAINMQPGHFEDCBA【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令 BI 与 CD 的交点为 M， AF 与 CD 的交点为 N， BI 与 AF 的交点为P,BI 与 CE 的交点为 Q,连接 AM、 BN、 CP求 ：在 中，根据燕尾定理，ADMIS四 边 形 BC :1:2ABMCSI
44、 :1:2ACB 设 (份)，则 (份), (份), (份),1ABMS 2CBMS 1ACMS 4ABCS所以 ，所以 , ,4ACA 32DB 12IMABCS 所以 ,1()126BCABCDI 四 边 形同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 面积的A 6求 ：在 中，根据燕尾定理DNPQES五 边 形 :1:2BNCSF ,:1:2ACB 所以 ,同理1372AABNABCABCSS 12BEQAB 在 中，根据燕尾定理 , :PSF :1:2ABPCSI 所以 ，所以5ABPABCS 11205DNEPABCABCDNPQE S 五 边 形同理另外两个五边形面积是 面积的 ，所以
45、11336057S阴 影【例 31】 如图，面积为 l 的三角形 ABC 中， D、 E、 F、 G、 H、 I 分别是AB、 BC、 CA 的三等分点,求中心六边形面积.IGHFEDCBASR INMQPGHFEDCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为 N、 R、 P、 S、 M、 Q，连接 CR在 中根据燕尾定理， ,AC :.2:1ABRCS :1:2BRSI 所以 ,同理 ,7AABCS 7CS 7QBABCS 所以 ，同理RQ 1MNP根据容斥原理，和上题结果 30六 边 形课后练习：练习 1.已知 的面积为 平方厘米， ，求 的DEF 7,2,3BECADBFABC面积FEDCBA【解
