1、宁波大学 / 学年第 学期考试卷（A/B/C ）课号： 课名： 阅卷教师： 成绩 第 1 页 共 3 页 装订线学号 姓名 一、 单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）1. A,B,C,I 为同阶矩阵，I 为单位矩阵，若 ABC=I，则下列各式总是成立的是（A ）(A) BCA=I (B) ACB=I (C) BAC=I (D) CBA=I2. 已知方阵 满足 , 则矩阵 （ C ）A234EO12E（A） （B）E()A（C） （D） 1()23. 设 3 阶矩阵 有特征值 ，其对应的特征向量分别为 ，令A1,23123,，21diag则使得 的可逆矩阵 可以是下面四个选项中的 （ B
2、1PAP） （A） （B）123321（C） （D）4.设向量 ，则 k=( D )时， 才能由 1， 212(3,0)(,4)(1,2)k线性表示。(A) 2 (B) 4 (C) 7 (D) 105如果（ D ） ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似(A) (B)r(A)=r(B)BA(C)A 与 B 有相同的特征多项式(D)n 阶矩阵 A 与 B 有相同的特征值且 n 个特征值各不相同二、 填空题（每题 4 分，共 20 分）1行列式 中的元素 a23的代数余子式 的值为 8 .6210323A2设 A= ,则 ATA= .0323设 3 阶方阵 与对角矩阵 相似，则12ab1023B1,2ba
3、4已知方程组 有非零解，则 k= -1 .12300xk5设 3 阶方阵 A 的特征值为 是 A 的伴随矩阵, 则 ., 18/3A二计算题（50 分）1.计算行列式 xa解：xa (1) 1()()xnaaxxxn 8 分110()()(nxaxnxnax宁波大学 / 学年第 学期考试卷（A/B/C ）课号： 课名： 阅卷教师： 成绩 第 2 页 共 3 页 装订线学号 姓名 2已知两个三阶方阵 满足 ，其中,AB2EAB102,求矩阵 .（10 分）解：由 2E4 分()()ABA因为 ，6 分0所以 = 10 分E21303.求向量组 的一个1(,3),T2(1,3),T(5,289),
4、T4(1,37),T极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。 （10 分）解：把 1， 2， 3， 4 组成矩阵并做行初等变换4 分12341515123027489788 分3151015 2027470200 10 分12 3124127,.因 此 ， 为 极 大 线 性 无 关 组 ， -+4.设有线性方程组 问 取何值时，此方程组12301x（1）有惟一解；无解（2）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解。 （12 分）解： 方程组的系数矩阵：时方程组有惟一解。21()10A解 得 1， -23 分时，增广矩阵为1方程组无解。 6 分0103Ab时，增广矩阵为21010210
5、11233 22 02Ab 原方程组与方程组 通解，此时有无穷多解。此次方程组对应的基础132x解系为 ，非齐次方程的特解为 ，所以原方程组的通解为1xC 120x宁波大学 / 学年第 学期考试卷（A/B/C ）课号： 课名： 阅卷教师： 成绩 第 3 页 共 3 页 装订线学号 姓名 12 分120xC5.设 3 阶对称阵 A 的特征值为 与特征值 对应的特征向量为1236,16， 求 A（10 分）1(,)Tp解： ，基础解系为 4 分11230TxOx1,010P8 分11/3/1/32/= 10 分160130A4三证明题（10 分）1.设 ，证明 。mnlABO()RABn证：记方程 的解集为 S，即 。2 分x()sR， 5 分()sR()s2.已知向量组 线性无关， ，试证向量组123,a1231,baab线性无关。123,b证明：设有 使123,x0b即 122331()()()0xaxax亦即 2 分312因 线性无关，固有12,4 分32112300xx所以，向量组 线性无关。 5 分123,b
