1、第 1 页 共 11 页2012 届高考数学压轴题预测专题 3 解析几何考点一 曲线（轨迹）方程的求法1. 设 )0(1),(),( 221 baxyxByA是 椭 圆 上的两点，满足 0,ab，椭圆的离心率 ,3e短轴长为 2，0 为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c） ， （c 为半焦距） ，求直线 AB 的斜率 k 的值；（3）试问：AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解析：本例（1）通过 32e， b，及 ,a之间的关系可得椭圆的方程；（2）从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特
2、殊与一般的关系，分直线的斜率存 在与不存在讨论。答案：（1）23.1, 2.3cbeea椭圆的方程为 42xy （2）设 AB 的方程为 3k由 41,432012)(143 2122 kxkxkxxyk由已知 3)()()3)(40 2121212121 xxkxxabkk解 得,3)(42 2 （3）当 A 为顶点时，B 必为顶点. SAOB =1 当 A， B 不为顶点时，设 AB 的方程为 y=kx+b 4042)4(14 21222 kbxbkxkxyb得 到21 :04)(042121 代 入 整 理 得bkxxyx2kb 416|)(|1 22121 kbxbS第 2 页 共 1
3、1 页1|24bk所以三角形的面积为定值.点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。2. 在直角坐标平面中，ABC 的两个顶点为 A（0，1） ，B（0, 1）平面内两点 G、M 同时满足 0GABC, |M= |= |C G A （1）求顶点 C 的轨迹 E 的方程（2）设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ，定点 F 的坐标为（ 2, 0） ，已知 PF Q , F 且 F= 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，
4、弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。答案：（1）设 C ( x , y )， 2GABO,由知 2GCO,G 为 ABC 的重心 ， G( 3, ) 由知 M 是ABC 的外心， M 在 x 轴上由知 M（ 3x，0） ，由 | |CA 得 22()1()33xxy 化简整理得：2xy（x0） 。 （2）F（ ， 0 ）恰为213xy的右焦点设 PQ 的斜率为 k0 且 k ，则直线 PQ 的方程为 y = k ( x 2)由 222()(31)63030ykxkxk设 P(x1 , y1) ，Q (x 2 ,y2 ) 则 x1 + x2 = 21, x1x2 = 63k 则| PQ
5、| = k (4= 21 22663)311k= 2()k 第 3 页 共 11 页FM Poy xRNPQ,把 k 换成 1得 | RN | = 23(1)kS = 12| PQ | | RN |=26()3k= 2813()0k) 218()02kS22 ， 163 S 0， 0，则M BP 为锐角，从而MBN 为钝角，故点 B 在以 MN 为直径的圆内 解法 2：由（）得 A（2，0） ，B（2，0） 设 M（ x1， y1） ，N（ x2， y2） ，则20） ，则 2(,)Mt，F(1,0)。因为 M、F、N 共线，则有 FNk，所以 214tt，解得 t，所以 k，因而，直线 MN
6、 的方程是 2(1)yx。（3） “逆向问题”一：已知抛物线 C： 20p的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点，设点 P 关于 x 轴的对称点为 R，则直线 RQ 必过定点 (,0)2pA。证明：设过 F 的直线为 y=k(x 2)， 1(,)Pxy， ,Q，则 1Rxy由24()yxpk得 22(40kpk，所以214p， 第 7 页 共 11 页11()2RApkxykx， 21211()()()2QApppkxkxkx= RA，所以直线 RQ 必过焦点 A。过点 (,0)2p的直 线交抛物线 C 于 P、Q 两点，FP 与抛物线交于另一点 R，则 RQ垂直于 x
7、轴。已知抛物线 C： (0)yxp，过点 B(m,0 )（m0）的直线交抛物线 C 于 P、Q两点，设点 P 关于 x 轴的对称点为 R，则直线 RQ 必过定点 A(-m,0)。“逆向问题”二：已知椭圆 C：21yab的焦点为 F1(-c,0)，F 2(c,0)，过 F2的直线交椭圆 C 于 P、Q 两点，设点 P 关于 x 轴的对称点为 R，则直线 RQ 必过定点 ,0)aAc。“逆向问题”三：已知双曲线 C： 2y的焦点为 F1(-c,0)，F 2(c,0)，过 F2的直线交双曲线 C 于 P、Q 两点，设点 P 关于 x 轴的对称点为 R，则直线 RQ 必过定点 (,)c。考点四 圆锥曲
8、线的应用来源:学科网（1） 圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。来源:学#科#网6. （2004 年全国高考天津理科 22 题）椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 2，相应于焦点 F（C，0） （C0）的准线 L 与 X 轴相交于点 A， F，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点。来源:学科网 ZXXK（1）求椭圆的方程及离心率； （2）若 OPO Q = 0，求直线 PQ 的方程；（3）设 A P = AQ（ 1） ，过点 P 且平行与准线 L 的直线与椭圆相交于另一点M，证明 FM = - FQ 。分析：（1）要求椭圆的方程及离心率，很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的
9、标准方程的中心、长轴长、短轴长、焦点坐 标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质。解：（1）根据已知条件“椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 2，相应于焦点F（C，0） （C0）的准线 L 与 X 轴相交于点 A。 ” 可设椭圆的方程为 1yax （a2） ，从而有 22ca；又因 ,2F可以有 ）（ c2，联系以上这两个关于 a、c 的方程组并解得 a= 6，c=2，所以椭圆的方程为 16yx，离心率 e=26。（2）根据已知条件 “O PO Q = 0” ，我们可设 P1,yx ，Q 2,yx，把两个向量的数量积的形式转化为坐标表示的形式，再根据直线 PQ 经过 A（3，0） ，只须
10、求出直线PQ 的斜率 K 即可求出直线 PQ 的方程。而 P、Q 两点又在椭圆上，因此，我们容易想到通过直线 y=k（x-3）与椭圆 126yx，联系方程组消去一个未知数 y（或 x）得0718322kxk，并利用一元二次方程的根与系数关系结合第 8 页 共 11 页021yx及 32121xk不难求出 k= 5，这里应特别注意 K 的值要保证 0 成立，否则无法保证直线 PQ 与椭圆有两个交点。来源:学科网（3）要证 F M =- F Q ，我们容易想到通过式中两个向量 FM、FQ 的坐标之间关系来谋求证题的方法。为此我们可根据题意“过点 P 且平行为准线 L 的直线与椭圆相交于另一点 M”
11、，求得点 M 坐标为 1,yx。又因 AP=AQ，易知 FM、FQ 的两个纵坐标已经满足21y，所以现在要考虑的问题是如何证明 FM、FQ 的两个横坐标应该满足xx，事实上， 21,3,3AAP注意到 1，解得 152 因 F（2，0） ，M 1,yx，故 FM=1,yx= 22,13yx。= ,= 2,又 FQ=2,yyx，因此 FM=- FQ。点评：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念，直线方程、平面向量的坐标表示和向量的数量积，多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何的基础思想方法，以及分析问题和综合解题能力。把两个向量之间的关系，转化为两个向量坐标之间的
12、关系，再通过代数运算的方法来解决有关向量的问题是一种常用的解题手段。7. （江苏卷）已知 2|),02(,11 PFF满 足点 ，记点 P 的轨迹为 E.（1）求轨迹 E 的 方程；（2）若直线 l 过点 F2且与轨迹 E 交于 P、 Q 两点.（i）无论直线 l 绕点 F2怎样转动，在 x 轴上总存在定点 )0,(mM，使MQP恒成立，求实数 m 的值.（ii）过 P、 Q 作直线 1x的垂线 PA、 OB，垂足分别为 A、 B，记|AB，求 的取值范围.解析：答案：解：（1）由 |2| 211FPF知，点 P 的轨迹 E 是以 F1、F 2为焦点的双曲线右支，由 3,2bac，故轨迹 E
13、的方程为 ).(32xyx（2）当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ,),()(21Qky，与双曲线方程联立消 y 得 04)(22xkk，03403212kxk解得 k2 3 第 9 页 共 11 页（i） 2121)(ymxMQP12122222()()443()3(5).xmkk kk0,MQP，故得 )54()1(22m对任意的32恒成立，来源:Zxxk.Com.1,054m解 得当 m =1 时， MP MQ.当直线 l 的斜率不存在时，由 )0,1()3,2(,MQP及 知结论也成立，综上，当 m =1 时， MP MQ.（ii） 1,2xca直 线是双曲线的右准线，由双曲线定
14、义得： |2|,|2| FBFeA，方法一： |1|2| 12yxkBPQ.12|)(| 212 kk 3,310,322 故kk，注意到直线的斜率不存在时， 2|,|此 时ABPQ，综上， .3,21 方法二：设直线 PQ 的倾斜角为 ，由于直线 PQ 与双曲线右支有二个交点，过 Q 作 QCPA，垂足为 C，则.sin21)cos(2|2|,2| PABPC由 ,1sin3,3得故： .,21 来源:学_科_网第 10 页 共 11 页（2） 。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。10 （2004 年全国高考福建理科 22 题）如图，P 是抛物线 C： 21xy上一点，直线L 过
15、点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q。（）若直线 L 与过点 P 的切线垂直，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程；（）若直线 L 不过原点且与 X 轴交于 S，与 Y 轴交于点 T，试求分析：（1）要求线段 PQ 的中点 M 的 轨迹方程，我们常把 M 的坐标转化为线段 PQ 的两个端点坐标之间的关系。而 P、Q 两点又是直线 L 与抛物线的交点，容易想到直线 L 的方程与抛物线 C 的方程相联立消去 y（或 x） ，转化为一元二次方程根与系数的关系问题。另外，求过抛物线 P 的切线的斜率问题，我们自然会想到求出数 21xy的导数。解：（1）事实上 ，这样过 P1,的斜率为 ，由于直线 L
16、与过点 P 的切线垂直，因此直线 L 的斜率为 1x（ 0） ，所以可设直线 L 的方程为)(211xy，结合 2y，消去 y 并化简得 0212x。若设 Q2,y，M 0,，因 M 为 PQ 的中点，故有2211210 xx消去 1得 M 的轨迹方程为)(20y。即 M 的轨迹方程为 012xxy。（2）根据式子 SQTP的特点，我们很自然想到平面直角坐标系中的两点间的距离公式。于是可先求 S、T 两点的坐标，易知：2121,0,xxS，从而有 1,1, 22 xySQxyT SQP= 212x又因 2121214xy ST 1x 21y2 1y、 2可取一切不相等的正数。第 11 页 共 11 页 SQTP的取值范围是（2， ） 。点评：这里的解法有别于 2004 年福建省高考数学评标准所给的答案。我们看到，其解法的优点在于不用添加任何辅助线的方法就可直接给出作答，这更贴近考生的学习实际。
