1、第四节 不定积分的应用,课程回顾：基本积分表,例1,例2,例3,换元积分法,例1,x sin xcos xC .,例2,例3,x2ex2xex2exC,ex(x22x2 )C.,分部积分法：,不定积分的应用,1.不定积分在几何上的应用,2.不定积分在物理上的应用,3.不定积分在经济学上的应用,4.小结 习题解答,一、不定积分在几何中的应用,案例1 【曲线方程】设曲线通过点（1,2）且曲线上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。,解：设所求曲线方程为 y = f (x) 依题意f (x)是 2 x的一个原函数。,2x 的不定积分为 = +,因此必有某个常数C使 = + 即曲线方
2、程为y= +曲线族中的某一条。,又因为所求曲线通过点（1,2）故2=1+c c=1 于是所求曲线为 = +,二、不定积分在物理中的应用,案例2 【结冰厚度】 美丽的冰城常年积雪，滑冰场完全靠自然结冰,结 冰的速度由 = 为常数 确定，其 中 y是从结冰起到时刻t时冰的厚度.求结冰厚度 y 关于时间t的函数。,解 :根据题意结冰厚度 y 关于时间t的函数为 = = + （其中常数C由结冰的时间确定）,如果 t=0时开始结冰的厚度为0,即 y(0)=0代入上式得 C=0,y= 为结冰厚度关于时间的函数,案例3 【电流强度】一电路中电流关于时间的变化率为 =. 若t =0 s时i=2A.求电流 i
3、关于时间 t 的函数。,解 由 =. ,求不定积分得 = . = . +,将i (0)=2 代入上式得 C = 2 。 所以 = . +,案例4 【质子速度】一电场中质子运动的加速度 = + （单位： ）。如果 t = 0 s时,v =0.3m / s 。求质子的运动速度函数。 ,解 由加速度和速度的关系 = ，有 = = + = + (+) = + +,将 t = 0,v = 0.3 代入上式,得 C =-9.7 所以 V(t)= + +.,三、不定积分在经济学中的应用,案例5 【边际成本】已知某公司的边际成本函数 = + 边际收益函数为 = + 设固定成本是10000万元,试求此公司的成本
4、函数和收益函数。,解 :因为边际成本函数为 = + 所以成本函数为 = = + dx = + + = + +,又因为 固定成本是10000元，即从c(0)=10000 （万元），即 = + +=所以 c=10000-1=9999 （万元）故所求成本函数为 = + + (万元),因为边际收益函数为 = + 所以 = = + dx= . + d + = + + + += + +,又因为x=0时，R(0)=0 可得 C=-1故所求的收益函数为 = + ,思考题 不定积分在我们的生活中有哪些实际应用？,习题解答,1.一物体由静止开始作直线运动经t秒后的速度为 （ ）问经3秒后物体 离开出发点的距离是多少？2.设物体以速度v=cos2t作直线运动，开始时质点的位移为 求质点的运动方程。 ,3.一曲线通过点 , 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。4.某产品的边际收益函数与边际成本函数分别为R(Q)=18 (万元/吨) (Q)=3 + 万元/吨 ,其中Q为产量（单位：吨）， ，且固定成本为10 万元，求当Q为多少时 利润最大？,
