1、1 平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。1.1 平均值不等式一般地，假设 为 n 个非负实数，它们的算术平均值记为12,.a2.,naA几何平均值记为。1122(.).nn nG算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。，12nnaa即 ，nA当且仅当 时，等号成立
2、。12.a上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。1.2 平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1） 当 时，已知结论成立。2n（2） 假设对 k（正整数 2）时命题成立，即对 0,1,.ia有。11212.(.)kknaa那么，当 1nk时，由于， ，121.kkaA121.kkGa关于 是对称的，任意对调 与 ， 和 的值121,. ij()A1kG不改变，因此不妨设 ，121min,.ka112x,.kka显然 ，以及
3、可得kA11()()0kkAa.ka所以 11121()k kk aA 2 211. ).()kkkA 即 两边乘以 ，得1211.()kkkAa1k。12.()kk kaG从而，有 1kG证法二（归纳法）（1） 当 时，已知结论成立。2n（2） 假设对 k（正整数 2）时命题成立，即对 0,1,.ia有。1212kkaa那么，当 nk时，由于121.kaa11(.)(kkkGG112.(kk 11)kkka12()kG(G从而，有 1kA证法三（归纳法）（1） 当 时，已知结论成立。2n（2） 假设对 （正整数 2k）时命题成立，即对 0,1,.ia有。1212kkaa那么，当 nk时，由于
4、121.ka证法四（归纳法和变换）证法五（利用排序不等式）设两个实数组 和 满足12,.na12,.nb，;则 （同序乘积之和）12.nb（乱序乘积之和）jjjaab（反序乘积之和）1211.nn其中 是 的一个排列，并且等号同时成立的充分必要,.jj,条件是 或 成立。12.na12.nb证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式（Young）设 则对 有12120,12,0x等号成立的充分必要条件是 。1212xx琴生不等式（Jensen）设 为上凸（或下凹）函数，则对任意(),)yfxab(,)ixab，我们都有12.in或2 12()().().)n nfxffxfx1 其中 10(,2.)ni i习题一1. 设 。求证：对一切正整数 ，有1,abRn21()nnn2. 设 求证：,c3(1)()2(1)ababc3. 设 为正实数，证明：123,x22311231()()xx4. 设 ，求证：,abcRbc()()8()()abc5. 设 ，且 ，求证：,xyzxyz2226. 设 ，满足 ，求证： ,abcR221abc3abc7. 设 是非负实数，满足 ，求证：d1d3333cbcabac8. 设 为给定的自然数， ，对于 个给定的实数nn12,.;na记 的最小值为 ，求在(1)ijaijm的条件下， 的最大值。221.n
