1、 九年级数学思维训练1EDCBA第 5 讲：数形结合法与数学建模思想1 数形结合法：是数学中的重要思想方法之一，特点是通过几何图形、函数图像更直观的展示位置关系与数量关系；求解这类问题的关键是把“形” 、 “数”相结合与相互转化。在初中学习范围内十分重要，它为高中、大学等后续学习奠定基础，也是中考每年必考的一种思想方法，涉及的题型、题量的分值配备高达 30 多分。2 数学建模：是初中数学中解决一些同类变式题型的基本方法，广泛应用于三角函数、列方程解应用题、相似三角形、图形变换等知识，加强对常见数学模型的识记，有助于学生对所学知识进行系统归类，增强识图与应用数学的能力。3 数形结合法在初中范围内
2、的运用 1、代数问题通过构造几何图形给予解决【例 1】当代数式 取最小值时，相应的 的取值范围是 ；12xx【例 2】如图, 为线段 上一动点,分别过点 、 作 ， ，连接CBDBDAEBD、 ，已知 , , ,设 。AE5AE8C(1)用含 的代数式表示 的长；(2)请问点 满足什么条件时, 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 的最小值.9)12(42xx 变式议练一：1、若 ， ，且 ，则有理数 ， ， ， 的大小关系是 ；0ab0abab2、在平面直角坐标系中，已知 A(-1，-2), B(4,2), C(1,m),当 m= 时，CA+CB 有最小值。2、几何问题
3、的代数解法【例 3】将边长分别为 2、3、5 的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 【例 4】 是 的内切圆，与边 、 、 的切点分别为 、 、 ，OABCABCDEF, ， ,则 ， ， 。5AB67DE 变式议练二：1、 的斜边为 13，面积为 30，则两直角边的和等于 。Rt2、已知 AB 是半径为 1 的 的弦，AB 的长是方程： 的一个根，则O012x九年级数学思维训练2yxAOCBABCPEDMcosOAB 是 。3 在平面直角坐标系中的广泛运用【例 5】 （黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点 (30)C， ，点 AB， 分别在 x轴， y轴的正半轴上，且满足 23
4、10OBA（1）求点 A、点 的坐标（2）若点 P从 C点出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 运动，连结 P设B 的面积为 S，点 的运动时间为 t秒，求 S与 t的函数关系式（3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使以点 BP， ， 为顶点的三角形与 AO 相似？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由4 初中数学常见数学模型及其运用 基本模型 1：等腰三角形 中， 为底边 上任意一点， ， ， 。ABCPBPDABECB结论： DEM证明：【例 9】在 中，AB=AC ，CGBA 交 BA 的延长线于点 G，一等腰直角三角形按如图所ABC示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，
5、一条直角边与 AC 在一条直线上，另一条直角边恰好经过点 B。（1）在图中请你通过观察、测量 BF 与 CG 的长度，猜想并写出 BF 与 CG 满足的数量关系，证明你的猜想； ABCGF九年级数学思维训练3GFDEACBGFDEACBABCDEFP（2）当三角尺沿 AC 方向平移到如图位置时，一条仍与 AC 在一条直线上，另一条直角边交BC 边于点 D，过点 D 作 DEBA 于点 E，此时请你通过观察、测量 DE、DF 与 CG 的长度,猜想并写出 DE、DF 与 CG 之间满足的数量关系，证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿 AC 方向继续平移到如图所示的位置（点 F 在线段
6、AC 上，且点 F 与点 C 不重合）时， （2）中的猜想是否成立？ 变式练习四：1、等边三角形边长为 4，则该三角形内任意一点到三边的距离之和为 。2、如图：在矩形 中，已知 ， ，ABCD512AD是 边上任意一点， 于 ，PPECPF于 ，那么 的值为 ；FF基本模型 2：“ ”型， “ ”型，斜射影模型X若： 若： 若：/DEBCABDC/ CB则： ； 则： ； 则： ；【例 10】 （重庆）如图：正方形 中， 是 延长线上的一点， 交 于 ，F交对角线 于 ，如 ，PD=3。求 EF 的长。AP2E【例 11】如图：在 RtABC 中，C=90，BE 平分ABC 交 AC 于点 E
7、，点 D 在 AB 上，DEEB。ODAE九年级数学思维训练4BED CAF QPABCEFP（1）求证：AC 是BDE 的外接圆的切线；（2）若 AD=6，AE= ，求 BC 的长；26 变式练习五：如图，平行四边形 中， ， 、 是 的三等分点， 延长线交ABCDcm18PC于 ， 延长线交 于 ，则 ；BCEQFA 基本模型 3：【例 12】已知如图，正方形 与正方形 边长均为 。 是正方形BCDOEG2cmO的中心，正方形 绕点 旋转，求两个正方ABCDOEFG形重叠部分（图中阴影）的面积。结论：1、 ；2、 阴影 正方形MNS14 变式练习六：1、 （变换基本图形中一个）把正方形 换
8、成足够大的矩形，圆心角为 的扇形，直OEFG90角三角形时，上述结论个还成立吗？为什么？2（德州中考题）如图：已知 中， ， ，直角 的顶点ABC90BACEPF是 的中点，两边 、 分别交 、 于点 、 ，给出以下五个结论：PBCPEFEFBCDEFGNMABCDEFGMNABCDEFMNABCDOFMN九年级数学思维训练5、 ；、 ；、 是等腰直角三角形；AECFAPECFEP、 ；、 四边形 AEPF ；当 在 内绕顶点 旋转时（ 不S12ABSABCPE与 、 重合） ，上述结论中始终正确的是（ ）B、 、 、 、 D 基本模型 4：【例 13】如图， 、 两个小镇在河流 的同侧，分别
9、到河的距离为 ，ABCkmAC10，且 ，现在要在河边建一自来水厂，向 、 两镇供水，铺设水kmBD30kC30 B管的费用为每千米 万元，请你在河流 上选择水厂的位置 ，使铺设水管的费用最节M省，并求出总费用是多少？变式练习七：1、 （黄冈）如图： 为 的直径， ，点 在 上， ， 为 MNO2NAO30MNB的中点， 是 上的一个动点，则 的最小值为（ ）PPB、 、 、 、A2BC1D2、如图，在平面直角坐标系中，直线 是第一、三象限的角平分线。（1）实验与探究：由图观察易知 （0，2）关于直线 的对称点 A（2，0） ，请在图中分A别标明 （5， 3） ， （ ， ）关于直线 的对称点
10、 B、 C的位置，并写出他们的坐BC5标： 、 ；（2）归纳与发现：结合图形观察以上点的坐标特征你会发现：坐标平面内任一点（ ， ）关于第一、三象限的角平分线Pab的对称点 的坐标为 ；（3）运用与拓广：已知两点 （ ， ） 、 （ ， ） ，D13E14试在直线 上确定一点 Q，使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出 Q 点坐标 中考加油站-家庭作业科目： 数学 姓名： 家长签字： 1、若实数 x、y、z 满足 ，则 。9,52zyxzyx32ACDOyxABEDAP九年级数学思维训练6OxyABCPMQND2、多项式 的最小值为 ；2514522xyx3、若实数 、 满足 ，求
11、的值。0yxy234、如图：把 沿着 PQ 的方向平移到 的位置，它们重叠部分的面积是PQR/RQP面积的一半，若 ，则此三角形移动的距离 是（ ）2/PA、 B、 C、1 D、21 125、如图：以边长为 1 的正方形 的顶点 为圆心，ABBC为半径的弧交对角线 于点 ， 是 上任意一点，EF于点 ， 于点 ，则 ；FNBDMNM6、如图： 为正方形 的边 上一点， ，EABC3AE， 为 上的动点，则 的最小值等于 ；1PP7、如图：二次函数的图像经过点 （ ， ） ，且顶点 的横坐标为 ，该图像在D0739C4轴截得的线段 。x6AB（1）求该二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点 ，使得 最小，求出点 的坐标；PAP（3）在抛物线上是否存在点 ，使 与 相似？如果存在，求出点 的坐标；QB如果不存在，请说明理由。ABCDEPQ/ /R/AEFMN
