1、76第六讲 级数考纲要求1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2.掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件.p3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分） ，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.9.了解函
2、数展开为泰勒级数的充分必要条件.10.掌握 、 、 、 及 的麦克劳林展开式，会用它们将一些xesincoxln(1)()x简单函数间接展开为幂级数.11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅,l里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和0,l的表达式.一、 数项级数问题 1 叙述级数收敛的概念与级数的性质.答 定义 若级数 的部分和数列 的极限 存在，则称 收敛，1nunslimns1nu并称 为 的和，记作 ，若 不存在，则称 发散；s1nu1nslin1nu级数的性质若级数 ， 分别收敛于 ， ，则级数 收敛，其和为 .1
3、n1nvs1()nvs若级数 收敛于 ，则级数 收敛，其和为 .1nus1nkuks级数 中去掉、加进、改变有限项，不改变级数的收敛性.1n对收敛级数的项任意加括号后所得的级数仍然收敛，且其和不变.若级数 收敛，则 .1nulim0nu77例 1.判断下列命题的正确性：若级数 收敛， 发散，则级数 发散.1nu1nv1()nuv若级数 ， 都收敛，则级数 收敛.1n1()n1n若级数 的项加括号后所得的级数发散，则级数 发散.1nu 1nu若级数 的项加括号后所得的级数收敛，则级数 收敛.1n1n【研究级数 】若 ，则级数 收敛.【研究调和级数 】lim0nu1nu 1n若 ，则级数 发散.l
4、in1n2.已知 ，则 （ ）.aunli11)(nnu(A) 收敛于 0 (B) 收敛于 (C) 收敛于 (D) 发散a1【(C)；提示：用定义， 】12311()()()n nnSuuu问题 2 正项级数有何特点？如何判断正项级数的收敛性？答 正项级数 的特点是：它的部分和数列 递增，由此可得：正项级1(0)nuns数 收敛的充要条件是它的部分和数列 有界. 1(0)nun在此基础上，可以推出正项级数的比较审敛法、比较审敛法的极限形式、比阶审敛法、比值审敛法（DAlembert 判别法） 、根值审敛法（Cauchy 判别法） ，叙述如下：1.比较审敛法设 ， 是两个正项级数，且自某项起有
5、，1nu1nvnuv78若级数 收敛，则级数 收敛；1nv1nu若级数 发散，则级数 发散. 1nu1nv2 比较审敛法的极限形式设 ， 是两个正项级数，且 ，则1n1nvlimnulv当 时，两个级数有相同的收敛性；0l当 时，由 收敛可推出 收敛；1nv1nu当 时，由 发散可推出 发散. l1n1n3.比阶审敛法设 ， 是两个正项级数，且 时， 和 均为无穷小.1nu1nvnuv若 与 是同阶无穷小，则当级数 ， 有相同的收敛性；n 1n1n若 是 的高阶无穷小，由 收敛可推出 收敛；nuv1nv1nu若 是 的低阶无穷小，则由 发散可推出 发散.n 1n1n4.比值审敛法（DAlemb
6、ert 判别法）设 是正项级数，且 ，则当 时级数收敛；当 时级数发散. 1nu1limnu15. 根值审敛法（Cauchy 判别法）设 是正项级数，且 ，则当 时级数收敛；当 时级数发散. 1nlinu1注意：上述审敛法仅适用于正项级数；要根据级数一般项的特点（如 ， 等） ，选择适当的审敛法.1!n312n例 判别下列级数的收敛性： 79 ；【 时发散， 时收敛】1)0(na1a1a ；【发散】1(2)n ；【收敛】1ln ；1(0,)nsa【 时收敛， 时发散， 时 收敛， 发散】1a1as01s问题 3 如何用莱布尼茨判别法判别交错级数的收敛性？答 利用莱布尼茨判别法判别交错级数 收敛
7、性时，关键是验证正1()()nu数列 满足下列两个条件：nu递减，即 ；1(,2)nu极限为零，即 ，lim0n如果两个条件都满足，则交错级数 收敛.1()(0)nu注 交错级数 收敛时，它的和 满足 ，余项 的绝对1()(0)nus1unr值 .1nru问题 4 何谓绝对收敛和条件收敛？绝对收敛与收敛有何关系？答 若级数 收敛，则称级数 绝对收敛；若级数 收敛而不绝对收敛，1n1nu1nu则称 条件收敛.1nu绝对收敛的级数必然收敛，但收敛的级数未必绝对收敛，例如级数 收敛，1()n但是不绝对收敛.80问题 5 在判别级数收敛性时，常常用到哪些结论？答 在判别级数收敛性时，常用的结论有：等比
8、级数 当 时收敛，且收敛于 ，当 时发散；1(0)naq1q1aq1 级数 当 时收敛；当 时发散；p1pnp级数 条件收敛；1()n若 收敛， 发散，则 发散；1na1nb1()nab若 绝对收敛， 条件收敛，则 条件收敛；1n1n1()n若 绝对收敛，则 收敛；1na21na若 ， 收敛，则 绝对收敛.21n21nb1nb例1.设常数 ，则 （ ）.0k12)(nk(A) 发散 (B) 绝对收敛 (C)条件收敛 (D) 收敛或发散与 的取值有关k【(C)； ， 条件收敛，2 211()()(1)nnnk1()n21()nk绝对收敛】2.设 为常数，则 ( ) .21sin(A) 发散 (B
9、) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 有关81【(A)；提示： 收敛， 发散】21sin1n问题 6 如何判别级数 的收敛性？1na答 判别级数 的收敛性的步骤是：1n判别 ？若不是，则级数发散；若是，则进入下一步；lim0u判别 收敛？若是，则级数绝对收敛：若不是，则进入下一步；1na 是交错级数吗？若是，则用莱布尼茨判别法判别其收敛性；若不是交错级数1n或者是交错级数但是不满足莱布尼茨判别法的条件，则进入下一步；用定义和性质判别.例 1.判别下列级数的敛散性： ；【发散】1()nn ；【绝对收敛】1si()n ；【绝对收敛】11!()n ；【条件收敛】1()l)n .【收敛】l
10、n2()n2.设 ，判别级数 的敛散性.ndxu1021nu【收敛；提示： 】123/200nudxn二、幂级数82幂级数的主要问题是收敛性、和函数、函数展开成幂级数，重点讨论幂级数 ，0nax形如 的幂级数，通过变量替换 ，可以转化为 ）00()nnax0tx0nt问题 7 叙述阿贝尔定理.答 阿贝尔定理如下： 若 在点 收敛，则它在 内绝对收敛；0nax0()0x若 在点 发散，则它在 内发散.0nax00例 1.若 在 处收敛,则级数在 处（ ）.1)(nnx12xA.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性不能确定【（C） ，由阿贝尔定理和题设条件推出： 在 内绝对收敛】1)(nn
11、xa(1,3)2.若 在 处发散,则级数在 处（ ）.1)(nnxa12A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性不能确定【（D） ，由阿贝尔定理和题设条件只能推出： 在 发1)(nnxa(,1)(3,)散】问题 8 如何求幂级数的收敛半径和收敛域？答 若 当 时绝对收敛；当 时发散，则称 为 的收敛半0naxRxR0nax径，并称 为它的收敛区间.(,)幂级数的收敛半径可按如下公式求出：若 （ ） ，则 的收敛半径 ，特别 ，1limnalina0nax1R0； ， .R0R但对于缺项级数，不能用上述公式求收敛半径，只能用比值法求收敛半径.求幂级数收敛域的步骤是：求幂级数的收敛半径；8
12、3判断幂级数在收敛区间端点的收敛性；写出收敛域.例1.求幂级数 的收敛半径.123nnx【 ；这是缺项级数，只能用比值法求收敛半径， 】3 21lim3nux2.求幂级数 的收敛域.【 】1()nx(0,2问题 9 叙述幂级数的运算性质和幂级数的和函数的性质.答 1.幂级数的运算设幂级数 与 的收敛半径分别为 与 ，则0nax0nb 1R2，000()nnnx12mi,，000()()()nnnniaxbab 12i,R2.幂级数和函数的性质连续性幂级数 的和函数 在其收敛域上连续.0nax()sx可积性幂级数 的和函数 在其收敛域的任一有界闭子区间上可积，并有逐项积分0nx()sx公式，10
13、000()()xxxnnnasdadadx逐项积分后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径.可微性幂级数 的和函数 在其收敛区间内可导，并有逐项求导公式0nax()sx，100()()nnnaxax84逐项求导后所得幂级数与原级数有相同的收敛半径.注意 逐项求导、逐项积分后，幂级数在收敛区间端点的收敛性可能改变！问题 10 如何求幂级数的和函数？答 求幂级数的和函数是常考题型之一，务必熟练掌握求和函数的方法. 求幂级数和函数的方法有：利用幂级数的运算和性质（逐项求导、逐项积分）将级数化为已知的五个函数 、xe、 、 及 的麦克劳林展开式，求出和函数.sinxcoln(1)x()特别是化为等比级数，
14、如，1()nn101()nxnd先求和函数满足的微分方程，再通过解微分方程求出和函数.例1.求幂级数 的和函数 .12nnx)(xS解2111()nnnnSxxx10111xnnnn d 0 011x xnnxd 2l(),()2.设 ，求 .20sinco(1,2)nIxdn 0nI解 【利用幂级数求数项级数的和】，1414400 0si2sicosin()nn nn xIxdxd，102()nnI，1000 1()()ln(1)xxnnnSxdx85故 .1022()()ln(1)l()nnIS3.设幂级数 在 上收敛，其和函数 满足0nax(,)()yx.24,01yyy 证明 ；2nn
15、a求 的表达式.（07-1）()yx解 ， ， ，0nax1()nyax 22()(1)nnyax代入 ，得24y，12 0(1)4nnnnaxaxx比较上式中 的系数，得 ，即n 2()40nna；2,12,nna ，故0()()yya， ，2na2121 12(,2)()!nnn an 所以 ， .222210000() e!nnn xxyxa(,)4.设级数 的和函数为 ，求： 所满足的一 864246 )(S)(S阶微分方程； 的表达式.)(xS【 】3,(0)22()1xSxe问题 11 如何用间接法将函数展成幂级数？答 关于函数展开成幂级数，有如下定理：设函数 在点 的某一邻域 内
16、具有各阶导数，则 在该邻域内可展开()fx00(,)Uxr()fx86成泰勒级数 的充要条件是()00()!nnfxfx的泰勒公式 中的余项()f ()00()()()!knknnnffxRxPx.00,nRxxUr读者必须熟练掌握利用 、 、 、 及 的麦克劳林展开式和xesincoxln(1)()x幂级数的四则运算和逐项求导、逐项积分以及变量替换，将函数间接展开为幂级数的方法.例1.将函数 展开成 的幂级数，并求级数 的和.(03-1)xxf21arctn)(12)(n【 】0)41(),(,);424nnf2.将函数 展开成 的幂级数，并求 .)21l(xxf)0(nf【 】1()1)1
17、)(),;0n nnnf f3.将函数 展开成 的幂级数.23xf x【 ， 】nnn)()1(12 14三、傅里叶级数（数一）问题 12 何谓三角函数系的正交性？答 三角函数系 的正交性是指：三角函数系中任意两1,cosin,s2,i,xx个函数的乘积在 上的积分为零.注 三角函数系中每个函数（除 外）的平方在 上的积分为 .,问题 13 的傅里叶级数在什么条件下收敛？其和函数 与 有何关系？()fx ()Sxf答 收敛性定理（狄利克雷充分条件）设 是以 为周期的周期函数，若它满足狄氏条件：()f2在一个周期内连续或者只有有限多个第一类间断点；在一个周期内至多只有有限多个极值点，则 的傅里叶
18、级数收敛，且()fx87当 是 的连续点时，级数收敛于 ；x()f ()fx当 是 的间断点时，级数收敛于 .1()2f其和函数 .1()()2Sxffx问题 14 如何将定义在 上的函数 展开为傅里叶级数？,l()f答 将定义在 上的函数 展开为傅里叶级数的步骤是：,l()fx求 的傅里叶系数，公式如下：()fx1cos(0,12),()in,.lnlxafdlb写出展开式 及展开式成立的范围01()(cosin)2naxxfxbll（ 的连续点）.()fx问题 15 如何将定义在 上的函数 展开为展开为正弦级数与余弦级数？0,l()fx答 1.将定义在 上的函数 展开为展开为正弦级数的步骤
19、是：,lf将 奇延拓并求 的傅里叶系数，公式如下：()fx()fx02sin1,2)lnbdl写出展开式 及展开式成立的范围（ 的连续点）.1()sinxfxbl()fx2.将定义在 上的函数 展开为展开为余弦级数的步骤是：0,l()f将 偶延拓并求 的傅里叶系数，公式如下：()fxx02cos(0,12)lnnadl写出展开式 及展开式成立的范围（ 的连续点）.1()cosnaxfxl()fx例881.设 ，则 ， .【 ，1】)(cos02 xnaxn 0a2232 将 展开成余弦级数.1,2(),fxx3 将 展成以 为周期的傅里叶级数，并求级数 的和.)1()(xf 221n【 , ； 】022)(cos45)(nxf 126n
