1、因式分解（高级篇）,因式分解的其他常用方法,知识结构,因式分解常用方法,提公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法 拆项添项法 配方法 待定系数法 求根法 ,一、提公因式法,只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。,二、公式法,只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。,常用公式 1、(a+b)(ab)=a2b2 （平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2 （完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a
2、b+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) （立方和公式） 及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2) （立方差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导,三、十字相乘法,前面出现了一个公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）,例1：因式分解x2+4x+3 可以看出常数项 3 = 13 而一次项系数 4 = 1 + 3 原式=(x+1)(x+3),暂且称为p、q型因式分解,例2：因
3、式分解x27x+10 可以看出常数项10 = (2)(5) 而一次项系数 7 = (2) + (5) 原式=(x2)(x5),这个公式简单的说， 就是把常数项拆成两个数的乘积， 而这两个数的和刚好等于一次项系数,特点：二次项系数为1,三、十字相乘法,试因式分解6x2+7x+2。 这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。,既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。,(ax+b)(cx+d)=,所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。,ac,ad+bc,bd,= 17,3 x2 + 1
4、1 x + 10,6 x2 + 7 x + 2,2 3,1 2,4,+ 3,= 7,6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2),1 3,5 2,2,+ 15,= 11,1 3,2 5,5,+ 6,3x2+11x+10=(x+2)(3x+5),(ax+b)(cx+d)=,ac,ad+bc,bd,= 6,5 x2 6 xy 8 y2,试因式分解5x26xy8y2。 这里仍然可以用十字相乘法。,1 5,2 4,4, 10,5x26xy8y2 =(x2y)(5x+4y),简记口诀： 首尾分解，交叉相乘，求和凑中。,2课时,四、分组分解法,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到
5、因式分解的目的。,例1：因式分解 abac+bdcd 。,解：原式 = (ab ac) + (bd cd)= a (b c) + d (b c)= (a + d) (b c),还有别的解法吗？,四、分组分解法,要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。,例1：因式分解 abac+bdcd 。,解：原式 = (ab + bd) (ac + cd)= b (a + d) c (a + d)= (a + d) (b c),例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。,解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1)= (x3+1)(x2+x+1)= (
6、x+1)(x2x+1)(x2+x+1),立方和公式,回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。,另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)= (x+1)(x4+x2+1)= (x+1)(x4+2x2+1x2)= (x+1)(x2+1)2x2= (x+1)(x2+x+1)(x2x+1),*五、拆项、添项法,怎么结果与刚才不一样呢？,因为它还可以继续因式分解,拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系
7、数。,五*、拆项添项法,因式分解 x4 + 4,解：原式 = x4 + 4x2 + 4 4x2= (x2+2)2 (2x)2= (x2+2x+2)(x22x+2),完全平方公式,平方差公式,配方法,配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。,因式分解 a2b2+4a+2b+3 。,解：原式 = (a2+4a+4) (b22b+1)= (a+2)2 (b1)2= (a+b+1)(ab+3),配方法 (拆项添项法)分组分解法,完全平方公式,平方差公式,六*、待定系数法,试因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。,通过十字相乘法得到 (2x3y)(x+3
8、y) 设原式等于 (2x3y+a)(x+3y+b) 通过比较两式同类项的系数可得：解得： ，原式 = (2x3y+4)(x+3y+5),待定系数法， 一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。,= 3,= 14,10,+ 4,2 x2 + 3 xy 9 y2 + 14 x 3 y + 20,双十字相乘法,双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。,因式分解 2x2+3
9、xy9y2+14x3y+20。,2 1,3 3,6, 3,4 5,= 3,12, 15,原式 = (2x3y+4)(x+3y+5),七*、求根法,设原多项式等于零，解出方程的解 x1、x2，则原式就可以分解为(xx1)(xx2)(xx3),更多的方法需要同学们自己去寻找 ! 多练才能拥有自己的解题智慧 !,综合训练(一),综合训练(二),2、x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式分解后的结果是( )。A. (yz)(x+y)(xz) B. (yz)(xy)(x+z)C. (y+z)(xy)(x+z) D. (y+z)(x+y)(xz) 3、因式分解 x3 + 6x2 + 11x + 6 。,综合训练(三),总结训练(一),总结训练(二),
