1、抛物线【考点梳理】1抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0焦点 F(p2，0)F( p2，0)F(0，p2)F(0， p2)离心率 e1准线方程 xp2xp2yp2yp2范围 x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径|PF| x0p2x 0p2y0p2y 0p2【考点突破】考点一、抛物线的
2、定义及应用【例 1】(1)已知抛物线 C：y 2x 的焦点为 F，点 A(x0，y 0)是 C 上一点，|AF| x0，则 x0( )54A1 B2 C4 D8(2)若抛物线 y22x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3，2)，则|PA| |PF|取最小值时点 P 的坐标为_.答案 (1) A (2) (2，2)解析 (1)由 y2x，知 2p1，即 p ，12因此焦点 F ，准线 l 的方程为 x .(14，0) 14设点 A(x0，y0)到准线 l 的距离 为 d，则由抛物线的定义可知 d|AF|.从而 x0 x0，解得 x0 1.14 54(2)将 x3 代入抛物线方
3、程 y22x，得 y .6 2，A 在抛物 线内部，如图.6设抛物线上点 P 到准线 l：x 的距离为 d，由定义知| PA|PF |PA|d，12当 PAl 时，|PA |d 最小，最小值为 ，此 时 P 点纵坐标为 2，代入 y22x ，得72x2，点 P 的坐 标为(2， 2).【类题通法】1凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理如本例充分运用抛物线 定义实施转化，使解答 简 捷、明快2若 P(x0，y0)为抛物线 y22px (p0)上一点，由定义易得|PF| x 0 ；若过焦p2点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 |AB
4、|x 1x 2p，x 1x 2 可由根与系数的关系整体求出【对点训练】1过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)两点，如果 x1x 26，则|PQ| ( )A9 B8 C7 D6答案 B解析 抛物 线 y24x 的焦点为 F(1，0)，准 线方程为 x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x 11x 21x 1x 228.2设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1，1)的距离与点P 到直线 x1 的距离之和的最小值为_答案 5解析 如图 ，易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线是 x1，由抛物 线的定义知：点 P 到直线
5、 x1 的距离等于点 P 到 F 的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(1，1)的距离与点 P 到 F(1，0)的距离之和最小连接 AF 交抛物线于点 P，此时最小值为|AF| .1 12 0 12 5考点二、抛物线的标准方程与几何性质【例 2】(1)点 M(5，3)到抛物线 yax 2 的准线的距离为 6，那么抛物线的标准方程是( )Ax 2 y Bx 2 y 或 x2 y112 112 136Cx 2 y Dx 212y 或 x236y136(2)已知抛物线 C1：y x2(p0)的焦点与双曲线 C2： y 21 的右焦点的12p x23连线交 C1 于点 M(M
6、 在第一象限)，若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p( )A B C D316 38 233 433答案 (1) D (2) D解析 (1)将 yax 2 化为 x2 y.1a当 a0 时，准线 y ，则 3 6， a .14a 14a 112当 a0)得 x22py(p0)，12p所以抛物线的焦点坐标为 .(0，p2)由 y 21 得 a ，b1，c2.x23 3所以双曲线的右焦点为(2，0).则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 .y 0p2 0 x 20 2即 px4y2p0.设 M (x00)，则 C1 在点 M 处的切线的斜率为 .x0p由题意
7、可知 ，解得 x0 p，x0p 33 33所以 M ，(33p，p6)把 M 点的坐 标代入得 p2p0.解得 p .3p23 23 433【类题通法】1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 .【对点训练】1若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则该抛物线的x29 y25准线方程为_答案 x2解析 由椭圆 1，知 a3，b
8、 ，x29 y25 5所以 c2a 2 b24，所以 c2.因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线 y2 2px 的焦点 为 .(p2，0)依题意，得 2，p2于是抛物线的准线 x 2.2以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E两点.已知|AB |4 ，|DE |2 ，则 C 的焦点到准线的距离为( )2 5A2 B4 C6 D8答案 B解析 不妨 设抛物线 C：y22px (p0)，圆的方程为 x2y 2r 2(r0)，|AB| 4 ，|DE|2 ，2 5抛物线的准线方程为 x ，p2不妨设 A ，D ，(4p，22) ( p2，5)点 A ，D 在圆
9、 x2y 2r 2 上，(4p，22) ( p2，5) 8 5，解得 p 4(负值舍去)，16p2 p24故 C 的焦点到准线的距离为 4.考点三、直线与抛物线的位置关系【例 3】在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线C：y 2 2px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求 ；|OH|ON|(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.解析 (1)如图，由已知得 M(0，t)，P .(t22p，t)又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N ，(t2p，t)故直线 ON 的方程
10、为 y x，pt将其代入 y2 2px 整理得 px22t 2x0, 解得 x10，x 2 .因此 H .2t2p (2t2p，2t)所以 N 为 OH 的中点，即 2.|OH|ON|(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点理由如下：直线 MH 的方程为 yt x，即 x (yt).p2t 2tp代入 y22px 得 y24ty4t 20，解得 y1y 22t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其他公共点.【类题通法】判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用
11、判别式的前提是二次项系数不为 0.【对点训练】已知抛物线方程为 y28x，若过点 Q(2，0)的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_.答案 1，1解析 设直线 l 的方程为 yk (x2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得k2x2(4 k28)x 4k 20，当 k0 时，显然满足题意；当 k0 时，(4k 28)24k 24k264(1k 2)0，解得1k0 或 0k1，因此 k 的取值范围是1，1.【例 4】已知抛物线 C：y 22px 过点 P(1，1)，过点 作直线 l 与抛物线(0，12)C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，
12、ON 交于点A，B，其中 O 为原点.(1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段 BM 的中点 .解析 (1)把 P(1，1)代入 y22px ，得 p ，12所以抛物线 C 的方程为 y2x，焦点坐标为 ，准线方程为 x .(14， 0) 14(2)当直线 MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 MN(也就是直线 l)斜率存在且不为零 .由题意，设直线 l 的方程为 ykx (k0)，l 与抛物线 C 的交点为 M(x1，y 1)，12N(x2，y 2).由 消去 y 得 4k2x2(4k 4)x10.y kx 12，y2
13、 x， )考虑 (4 k4) 244k 216(12k)，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以 k .12则 x1x 2 ，x 1x2 .1 kk2 14k2因为点 P 的坐标为(1 ，1) ，所以直线 OP 的方程为 yx，点 A 的坐标为(x1， x1).直线 ON 的方程为 y x，点 B 的坐标为 .y2x2 (x1， y2x1x2)因为 y1 2x 1y2x1x2 y1x2 y2x1 2x1x2x2(kx1 12)x2 (kx2 12)x1 2x1x2x2（2k 2）x1x2 12（x2 x1）x2 0.（2k 2）14k2 1 k2k2x2所以 y1 2x 1.y2x1x2故
14、A 为线段 BM 的中点.【类题通法】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” 、“整体代入” 等解法.【对点训练】已知 F 为抛物线 C：y 24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l 2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D，E 两点，则|AB| |DE|的最小值为( )A16 B14 C12 D10答案 A解析 抛物 线 C：y24x 的焦点为 F(1，0)，由题意可知 l1，l2 的斜率存在且不为 0.不妨设直线 l1 的斜率为 k，则 l2 直线的斜率为 ，故 l1：yk( x 1)，l2：y (x1).1k 1k由 消去 y 得 k2x2(2k 24) xk 20.y2 4x，y k（x 1），)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x 2 2 ，2k2 4k2 4k2由抛物线定义可知，|AB |x 1x 224 .4k2同理得|DE |44k 2，|AB| |DE| 84k 2 82 16.4k2 16当且仅当 k2，即 k1 时取等号.1k2故|AB|DE|的最小值为 16.
