1、直线、平面平行的判定及其性质【考点梳理】1直线与平面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 a a ，b，abaa，a，b结论 a b a ab2面面平行的判定与性质判定定义 定理性质图形条件 a ，b ，abP ，a，b，a，b ， a，结论 ab a3与垂直相关的平行的判定(1)a，bab.(2)a，a.【考点突破】考点一、与线、面平行相关命题真假的判断【例 1】已知 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )Am，n ，则 m n Bmn，m，则 nCm ，m，则 D，则 答案 C解析 A 中， m 与 n 平行、相交或异面，A 不正确； B 中，n 或
2、 n，B 不正确；根据线面垂直的性质， C 正确；D 中， 或 与 相交于一条直线，D 错误.【类题通法】1判断与平行关系相关命题的真假，必 须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论 是单项选择还是含 选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项2(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确【对点训练】若 m，n 表示不同的直线， 表示不同的平面，则下列结论中正确的是 ( )A若 m，mn，则 nB若 m ，n，m，n，则 C若 ，m ，n，则
3、mnD若 ，m，nm，n，则 n答案 D解析 在 A 中，若 m， mn，则 n 或 n，故 A 错误在 B 中，若m，n，m ，n ，则 与 相交或平行，故 B 错误在 C 中，若 ，m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 C 错误在 D 中，若 ，m，nm，n ，则由线面平行的判定定理得 n，故 D 正确考点二、直线与平面平行的判定与性质【例 2】如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD， AD BC，AB AD AC3，PABC4 ，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点 .(1)证明：MN 平面 PAB；(2)求四面体 NBCM 的体积 .解析 (1)由
4、已知得 AM AD2.23如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN ，由 N 为 PC 中点知 TNBC，TN BC2.12又 AD BC，故 TN 綉 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA.12如图，取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC3 得 AEBC，AE .AB2 BE2 5由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为 ，故 SBCM 4 2 .512 5 5所以四面体 NBCM 的体积 VNBC
5、M SBCM .13 PA2 453【类题通法】1判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法 (线面平行的定义) ；(2)利用线面平行的判定定理(a，b， aba )；(3)利用面面平行的性质定理(，a a) ；(4)利用面面平行的性质(，a，a a)2利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角形的中位线、平行四 边形的对边或过已知直线作一平面找其交线【对点训练】如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD的中点(1)证明：PB平面 AEC；(2)设 AP1，AD ，三棱锥 PABD 的体积 V ，求 A 到平面 PB
6、C 的距334离解析 (1)设 BD 与 AC 的交点为 O，连接 EO.因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点，又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB.因为 EO平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC.(2)由 V PAABAD AB，16 36又 V ，可得 AB .34 32作 AHPB 交 PB 于点 H.由题设知 BC平面 PAB，所以 BCAH，故 AH平面 PBC.在 RtPAB 中，由勾股定理可得 PB ，所以 AH .132 PAABPB 31313所以 A 到平面 PBC 的距离为 .31313考点三、平面与平面平行的判定与性质【例 3】
7、如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F ，G ，H 分别是AB，AC，A 1B1，A 1C1 的中点，求证：(1)B，C ，H， G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.解析 (1)G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，GH 是 A1B1C1 的中位线 ，GHB1C1.又B 1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面.(2)在 ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点，EFBC.EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.A1G 綊 EB，四边形 A1EBG 是平行四边形，则 A1EGB.A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG，A1E平面
8、 BCHG.A1EEF E，平面 EFA1平面 BCHG.【变式 1】在本例条件下，若点 D 为 BC1 的中点，求证：HD平面 A1B1BA.解析 如图 所示，连接 HD，A1B，D 为 BC1 的中点， H 为 A1C1 的中点，HDA1B.又 HD平面 A1B1BA，A1B平面 A1B1BA，HD平面 A1B1BA.【变式 2】在本例中，若将条件“E，F，G，H 分别是 AB，AC ，A 1B1，A 1C1的中点”变为“D 1，D 分别为 B1C1，BC 的中点” ，求证：平面 A1BD1平面AC1D.解析 如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 M，四边形 A1ACC1 是平行四边形
9、，M 是 A1C 的中点，连接 MD，D 为 BC 的中点，A 1BDM.A 1B平面 A1BD1，DM 平面 A1BD1，DM 平面 A1BD1，又由三棱柱的性质知，D 1C1 綉 BD，四边形 BDC1D1 为平行四边形，DC 1BD 1.又 DC1平面 A1BD1，BD 1平面 A1BD1，DC 1平面 A1BD1，又 DC1DMD，DC 1，DM平面 AC1D，因此平面 A1BD1平面 AC1D.【变式 3】在本例中，若将条件“E，F，G，H 分别是 AB，AC ，A 1B1，A 1C1的中点”变为“点 D，D 1 分别是 AC，A 1C1 上的点，且平面 BC1D平面 AB1D1”，
10、试求 的值.ADDC解析 连接 A1B 交 AB1 于 O，连接 OD1.由平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BC1DBC 1，平面 A1BC1平面 AB1D1 D1O，所以 BC1D 1O，则 1.A1D1D1C1 A1OOB又由题设 ， 1，即 1.A1D1D1C1 DCAD DCAD ADDC【类题通法】1判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理(2)线面垂直的性 质(垂直于同一直线的两平面平行)2面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行； (2)判断 线线平行， 线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想解题时要看清题目的具体条件，
11、选择正确的转化方向【对点训练】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论.解析 (1)点 F，G，H 的位置如图所示.(2)平面 BEG平面 ACH，证明如下：因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 BCFG，BCFG，又 FG EH， FGEH，所以 BCEH，BCEH，于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BECH.又 CH平面 ACH，BE 平面 ACH，所以 BE平面 ACH.同理 BG平面 ACH.又 BEBGB，所以平面 BEG平面 ACH.
