1、直线、平面垂直的判定及其性质【考点梳理】1直线与平面垂直(1)定义：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面 垂直(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面(4)直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线垂直于同一条直线的两平面平行2直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内) 时，规定直线和平面所成
2、的角分别为 90和 0.3二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角4平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直Error! 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直Error!l【考点突破】考点一、线面垂直的判定与性质【例 1】如图，在四棱锥 PA
3、BCD 中，PA底面ABCD， AB AD，ACCD ，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点.证明：(1)CD AE；(2)PD平面 ABE.解析 (1)在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，CD 平面 ABCD，PACD，又ACCD，且 PAACA，CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，CDAE.(2)由 PAABBC ，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.由(1)知 AECD，且 PCCDC，AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，AEPD .PA底面 ABCD，AB 平面 ABCD，PA AB .又ABAD，且 PAADA，AB平面 PAD，而
4、 PD平面 PAD，ABPD.又ABAEA，PD 平面 ABE.【类题通法】1证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，a b )；(3)面面平行的性质(a， a)；(4)面面垂直的性质2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而 证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明 线面垂直的基本思想【对点训练】如图，在三棱锥 ABCD 中， AB平面 BCD，CD BD.(1)求证：CD平面 ABD；(2)若 ABBDCD1，M 为 AD 中点，求三棱锥 AMBC 的体积解析 (1)因为 AB平面 BCD，CD平面 BCD，所以 ABCD
5、.又因为 CDBD，ABBDB，AB平面 ABD，BD平面 ABD，所以 CD平面 ABD.(2)由 AB平面 BCD，得 ABBD.又 ABBD1，所以 SABD 12 .12 12因为 M 是 AD 的中点，所以 SABM SABD .12 14根据(1)知，CD平面 ABD，则三棱锥 CABM 的高 hCD1，故 VAMBCV CABM SABM h .13 112考点二、面面垂直的判定与性质【例 2】如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为 ，求该三
6、棱锥的63侧面积解析 (1)因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE.故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由 ABC120，可得 AGGC x，GBGD .32 x2因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可得 EG x.32由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE x.22由已知得，三棱锥 EACD 的体积V 三棱锥 EACD ACGDBE x3 ，13 12 624 63故 x2.从而可得 AEECED .6所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与
7、ECD 的面积均为 .5故三棱锥 EACD 的侧面积为 32 .5【类题通法】1面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题2垂直问题的转化关系：【对点训练】如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为 ，求83该四棱锥的侧面积.解析 (1)由已知BAPCDP90，得 AB PA，CDPD.由于 ABCD，
8、故 ABPD.又 PAPDP，PA，PD平面 PAD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)如图，在平面 PAD 内作 PEAD，垂足为 E.由(1)知，AB平面 PAD，故 ABPE，又 ABADA ，可得 PE平面ABCD.设 ABx，则由已知可得 AD x，PE x，222故四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD ABADPE x3.13 13由题设得 x3 ，故 x 2.13 83从而结合已知可得 PAPDAB DC2，ADBC 2 ，PBPC2 ，2 2可得四棱锥 PABCD 的侧面积为PAPD PAAB PDDC BC2sin 6062
9、 .12 12 12 12 3考点三、平行与垂直的综合问题【例 3】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA 1F，A 1C1A 1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.解析 (1)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1C1AC.在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是 DEA1C1.又因为 DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， A1A平面 A1B
10、1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1AA1C1.又因为 A1C1A1B1，A1A平面 ABB1A1，A1B1平面 ABB1A1，A1AA 1B1A 1，所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B1D.又因为 B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，A1C1A 1FA 1，所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.【类题通法】1三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、 线面、面面垂直间的转化2垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用
11、【对点训练】在三棱锥 VABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，AC BC且 ACBC ，O，M 分别为 AB，VA 的中点2(1)求证：VB平面 MOC；(2)求证：平面 MOC平面 VAB解析 (1)因为 O，M 分别为 AB，VA 的中点，所以 OMVB.又因为 VB 平面 MOC，所以 VB平面 MOC.(2)因为 AC BC，O 为 AB 的中点，所以 OCAB.又因为平面 VAB平面 ABC，且 OC平面 ABC，所以 OC平面 VAB.所以平面 MOC平面 VAB.【例 4】如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 ABB1A1 是矩形，BAC 90，A
12、A 1BC ，AA 1AC2AB4，且 BC1A 1C.(1)求证：平面 ABC1平面 A1ACC1；(2)设 D 是 A1C1 的中点，判断并证明在线段 BB1 上是否存在点 E，使得 DE平面 ABC1.若存在，求三棱锥 E ABC1 的体积解析 (1)在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 ABB1A1 是矩形，AA1AB，又 AA1BC，ABBCB，A1A平面 ABC，A1AAC，又 A1AAC，A1CAC1.又 BC1A1C，BC1AC 1C 1，A1C平面 ABC1，又 A1C平面 A1ACC1，平面 ABC1平面 A1ACC1.(2)当 E 为 B1B 的中点时，连接 AE，E
13、C 1，DE，如图，取 A1A 的中点 F，连接 EF，FD，EFAB，DFAC 1，又 EFDFF，AB AC 1A，平面 EFD 平面 ABC1，又 DE 平面 EFD，DE 平面 ABC1.此时 VE ABC1VC 1 ABE 224 .13 12 83【类题通法】1对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题 成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性2平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知 识建点.【对点训练】如图，在四棱锥 PABCD
14、 中，PA CD，ADBC， ADCPAB90，BCCD AD.12(1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由；(2)证明：平面 PAB平面 PBD.解析 (1)取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点理由如下：连接 CM，因为 ADBC，BC AD，12所以 BCAM，且 BCAM.所以四边形 AMCB 是平行四边形，所以 CMAB.又 AB平面 PAB，CM平面 PAB，所以 CM平面 PAB.(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)由已知， PAAB，PACD，因为 ADBC，BC AD，所以直线 AB 与 CD 相交，12所以 PA平面 ABCD，所以 PABD.因为 ADBC，BC AD，M 为 AD 的中点，连接 BM，12所以 BCMD，且 BCMD，所以四边形 BCDM 是平行四边形，所以 BMCD AD，所以 BDAB.12又 ABAPA，所以 BD平面 PAB.又 BD 平面 PBD，所以平面 PAB平面 PBD.
