1、20182019 学年度上学期高三第一次模拟考试（数学理科）试卷使用时间:9 月 7 日 命题人:高三数学备课组一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 21()iA. B. C. D.1ii2.已知全集 ， ， ，则2|80UxZx3,45AC5,6UBABA. B.5,63,4C. D.2353.甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为 甲x、 乙 ，标准差分别为 ,甲 乙，则A. 甲 乙x， 甲 乙 B. 甲 乙x， 甲 乙 C. 甲 乙 ， 甲 乙 D. 甲 乙 ， 甲 乙4.一个棱长为
2、2 的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱5.下列命题中真命题的是A.若 为假命题，则 ， 均为假命题；pqpqB.“ 2bma”是“ ”的充要条件；baC.命题：若 ，则 或 的逆否命题为：若 或 ，则 ；1x1x1x12xD.对于实数 ， ， 或 ，则 p 是 q 的充分不必要条件.,y:8p:2q6y6.已知 ，则cos25cosA B C D7573252357.若实数 满足 ，则 的最小值为,xy210yzxyA. B. C D 41148已知函数 是定义在 上的奇函数，且函数 在 上2lg()yxa
3、R2()xag0,单调递增，则实数 的值为A B C1 D219.某次文艺汇演，要将 A、B、C、D、E、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6节目如果 A、B 两个节目要相邻，且都不排在第 3 号位置，则节目单上不同的排序方式有A192 种 B144 种 C96 种 D72 种10.函数 （其中 0 ， ）的图象如图所示，为了得到()sin()fxxA2的图象，只需将 的图象i3g(fA.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度44C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度121211.设点 为双曲线 的左焦点，点 为 右支上一点，点 为F2:(0
4、,)xyCabPCO坐标原点，若 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率为1OP3A B C D31251212已知函数 的导函数为 ，且对任意的实数 都有 （ 是自fxfxx 5()2)(xfefxe然对数的底数） ，且 ，若关于 的不等式 的解集中恰唯一一个整数，则实数010fm的取值范围是mA. B. C De(,)2e(,23e(,43e9(,42第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 的展开式中，二项式系数和为 ，各项系数和为 ，则 1nmx32243m14.已知抛物线 24y的焦点为 F，点 A在 y轴上，线段 AF的中点 B在抛
5、物线上，则AF15.在正四面体 中，其侧面积与底面积之差为 ，则该正四面体外接球的表面积PABC23为 16.如图，设 的内角 所对的边分别为 ，, ,abc，且 .若点 是 外一点，cossinab6DABC，则当四边形 面积最大值时， 2,3DCAABCsin三、解答题：解答 应写出文字 说明、 证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）已知等差数列 的公差为 ，且关于 的不等式 的解集为 ，nadx2130axd(1,3)（）求数列 的通项公式；（）若 ，求数列 前 项和 .1()2nabnbnS18 （本小题满分 12 分）随着移动支付的普及，中国人的生活方式正在悄然发生改变，
6、带智能手机而不带钱包出门，渐渐成为中国人的新习惯.2017 年我国的移动支付迅猛增长，据统计某平台 2017 年移动支付的笔数占总支付笔数的 .80%（）从该平台的 2017 年的所有支付中任取 10 笔，求移动支付笔数的期望和方差；（）现有 500 名使用移动支付平台的用户，其中 300 名是城市用户，200 名是农村用户，调查他们 2017 年个人支付的比例是否达到 ，得到 列联表如下：802个人移动支付比例达到了 个人移动支付比例未达到 %合计城市用户 270 30 300农村用户 170 30 200合计 440 60 500根据上表数据，问是否有 的把握认为 2017 年个人支付比例
7、达到了 与该用户是否95 80%是城市用户还是农村用户有关？附： 22=nadbcdpk0.050 0.010DCBk3.841 6.63519.（本小题满分 12 分）在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为直角梯形，PABCDPABCDA， ， ， ， ， 分别为 ，/9012PEFAD的中点.（）求证： 平面 ；/EF（）若 ，求二面角 的余弦值.PCBA20.（本小题满分 12 分）已知 ， ，点 是动点，且直线 和直线 的斜率之积(2,0)A(,)BACB为 .34（）求动点 的轨迹方程；C（）设直线 与（）中轨迹相切于点 ，与直线 相交于点 ，且 ，求证：l P4xQ(1,0)F.90
8、PFQ21. （本小题满分 12 分）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为baxexfx2xfy0,f0324y(1) 求 的值；ba,(2) 证明: .xfln请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程 】在平面直角坐标系 中，曲线 的方程是：xOyC，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系2510xyx（1）求曲线 的极坐标方程；C（2）设过原点的直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的斜率lAB2Al23.（10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 ，不等式 的解集为 .1fxa3
9、fx1,2（）求实数 的值；（）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围.fmm高三第一次模拟考试（数学理科）答案一、选择题1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.A 9.B 10.C 11.A 12.B二、填空题13.2 14.3 15. 16.627三、解答题17.解：（1）由题意，得 解得 4 分1,3,da12.da,故数列 的通项公式为 ，即 . 6 分na2()nn（2）据（1）求解知 ，所以 ，8 分11()2(21)anb所以 (48)(35nnS 12 分1218. 解：（）设移动支付笔数为 ，则 ， 2 分X4(10,)5B所以 . 6 分448108,
10、1055EXD（）因为 ， 2 22()027310)=.8413.()(46nadbc（10 分所以没有 95%的把握认为 2017 年个人移动支付比例达到了 80%与该用户是城市用户还是农村用户有关. 12 分19. （1）证明：连接 交 于 ，并连接 ， ，ACBEOCF， ， 为 中点， ，且 ，/BCD12D/AEBC四边形 为平行四边形， 2 分为 中点，又 为 中点，OFP， 4 分/A平面 ， 平面 ， 平面 . 6 分FBEBE/PABEF（2） （法一）由 为正方形可得 ， .CD2C2C取 中点 ，连 ， ， ， 侧面 底面 ，且交于 ，PMDADBE， 面 ，又 ， 为
11、二面角 的平面角AA/OFM9 分又 ， ， ，32EM1A12M，所以二面角 的余弦值为 . 12 分cosFBEA3（法二）由题意可知 面 ， ，如图所示，以 为原点， 、 、PECDEAEB分别为 、 、 建立直角坐标系，则 ， ， ，EPxyz0,1,0,10B. 7 分12,F平面 法向量可取： 8 分ABE0,1n平面 中，设法向量为 ，则F,mabc0EBF0120bac取 10 分2,01m，所以二面角 的余弦值为cos,3nBEA312 分20. 解：（1）设 ，则依题意得 ，又 ， ，所以有(,)Cxy34ACBk(2,0)(,)B，3024yx整理得 ，即为所求轨迹方程.
12、 5 分21()y（2）设直线 ： ，与 联立得lykxm2341y，即 ，234()1x 2()80kxm依题意 ，即 ， 8 分2840k234k ，得 ，1223x12243xk ，而 ，得 ，又 ，(,)4mPkm(,)P(,4)Qkm10 分又 ，则 .知 ，(1,0)F4(1,)(3,4)0kFQk F即 . 12 分9P21. （1）解： ，由题意有 ，解得axexf212301bfa23,1b4 分（2）证明：（方法一）由（1）知， .设2xexfxxxehln2则只需证明 23xh，设xex11 xex12xegx12则 ， 在 上单调递增02gxg,0，441e03231e
13、，使得 7 分3,0x0x0g()且当 时， ，当 时，0,xg当 时， ， 单调递减x0hx当 时， ， 单调递增 8 分,0，由 ，得 ，0minxh020lnxex0120xex 210xe， 10 分100 020l 002ln设 ， ，xxln1231,4xx12x12当 时， ， 在 单调递减，3,40,，因此0xh23131ln23l9723xh12 分（方法二）先证当 时， ，即证x2xexf 02xex设 ， 则 ，且exg201gx0g， 在 单调递增，xx, 在 单调递增，则当 时，,02xexx8 分（也可直接分析 显然成立）232xex 02x 01ex再证 xln3
14、2设 ，则 ，令 ，得xhlxh12 0h21x且当 时， ， 单调递减；21,0x0当 时， ， 单调递增.,xh，即xxhln2302ln1hxln23又 ， 12 分3efx xfl法三：要证不等式等价于 xln312令 ， ，分别求最值.xF()elG()x22.解：（1）曲线 ： ，即 ，C2510xy2105yx将 ， 代入得，曲线 的极坐标方程为 22xycosC2cos1505 分（2）法 1：由圆的弦长公式 及 ，得圆心 到直线 距离 ，2rd210r5,0Cl3d如图，在 中，易得 ，可知直线 的斜率为 RtOCD 3tan4Ol3410 分法 2：设直线 ： （ 为参数）
15、 ，代入 中得lcosinxtyt2510xy，整理得 ，22cos510tt210cost由 得 ，即 ，AB12cs45解得 ，从而得直线 的斜率为 10 分4cs5l3tan法 3：设直线 ： ，代入 中得lykx210y，即 ，210x5x由 得 ，即 ，2AB21kx22106kk解得直线 的斜率为 10 分l34法 4：设直线 ： ，则圆心 到直线 的距离为 ，lykx5,0Cl251kd由圆的弦长公式 及 ，得圆心 到直线 距离 ，2rd21r,0l3所以 ，解得直线 的斜率为 10 分2531kl34k23.解：（）由 知 ， 而 的解集为 ，所以 ax42ax1x1,22a5 分（）由（）知 ，即 的解集为 ，21mm令 ，则 ， 21gxx2132xgx所以 ，故 10 分min32gx32
