1、 2019 届 高 三 上 学 期 9 月 模 拟 考 试 卷理 科 数 学注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接
2、答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1已知集合 ， ，则 AB（ ）40xAZ124xBA 2 xB 1,2C ,01,2D 0,12【答案】B【解析】集合 ，404,3,42xxZZ，则 1,02AB，故选 B
3、14Bxx2若 ，则复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）iizzA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】由 ，得 ，i1iz21iiiz1iz得 1t，即 t的取值范围为 ,，故选 B3下列关于命题的说法正确的是（ ）A命题“若 0xy，则 x”的否命题是“若 0xy，则 x”B命题“若 ，则 ， y互为相反数”的逆命题是真命题C命题“ xR， 20x”的否定是“ xR， 20x”此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 D命题“若 cosxy，则 x”的逆否命题是真命题【答案】B【解析】逐一分析所给命题的真假：A命题“若 0xy，则 x”的否命题是
4、“若 0xy，则 x”，题中说法错误；B命题“若 ，则 ， y互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确；C命题“ xR， 20x”的否定是“ xR， 20x”，题中说法错误；D命题“若 cosy，则 ”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误；故选 B4已知双曲线 1：21x与双曲线 2C： 21xy，给出下列说法，其中错误的是（ ）A它们的焦距相等 B它们的焦点在同一个圆上C它们的渐近线方程相同 D它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知22:1xCy则两双曲线的焦距相等且 23c，焦点都在圆23xy的圆上，其实为圆与坐标轴交点渐近线方程都为 yx，由于实轴长度不同故离心率
5、 cea不同故本题答案选 D5某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A B C D163329169【答案】D【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为 的扇23形，高是 4 的圆锥体容易算得底面面积 ，143S所以其体积 ，应选答案 D16439V6执行如图的程序框图，则输出的 值为（ ）A 109B 109C 107D 108【答案】B【解析】由程序框图则 S，n； S， 2n； ， 3n； 23S， 4n，由 规律知输出 1456.015601728109故本题答案选 B7已知平面向量 a， b，满足 ,a， b， ab，则 a
6、（ ）A2 B3 C4 D6【答案】B【解析】由题意可得： 12a，且： 20ab，即 20ab，420ab， 2，由平面向量模的计算公式可得：493故选 B8已知函数 sin0,fxAx的部分图象如图所示，则函数cosgx图象的一个对称中心可能为（ ）A 5,02B 1,06C 1,02D 09,6【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知 3A，又 628T，即 2T=1，所以 8则 23sin8fxx，图象过点 ，则 ，2,sin4即 ，所以 ，又 ，则 故24k324k34，3cos48gxx令 ，得 ，令 ，可得其中一个对称中心为 1,023482k231k0故本题答案选 C9
7、已知椭圆 ： 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 ：E2xyabFMl交椭圆 于 ， 两点，若 ，点 与直线 的距离不小于 ，则椭340xyAB6ABl85圆 的离心率的取值范围是（ ）A B C D2,350,3,132,13【答案】B【解析】可设 为椭圆的左焦点，连接 ， ，FAFB根据椭圆的对称性可得四边形 是平行四边形， ， 62AFBFa，取 ，点 到直线 的距离不小于 ， ，解得 ，3a0,Mbl8524853bb，2295e ，椭圆 的离心率的取值范围是 ，故选 B3 50,310为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛该校高三年级准备从包括甲、
8、乙、丙在内的 7 名学生中选派 4 名学生参加，要求甲、乙、丙这 3名同学中至少有 1 人参加，且当这 3 名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的 4 名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）A 720B 768C 810D 816【答案】B【解析】由题知结果有三种情况 （1）甲、乙、丙三名同学全参加，有 4CA=9种情况，其中甲、乙相邻的有 1234CA8种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有 9648种情况；（2）甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有 314CA28种情况；（3）甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有 43种情
9、况则选派的 4 名学生不同的朗诵顺序有 2843768种情况，故本题答案选 B已知双曲线 的左右焦点分别为 1F， 2， e为双曲线的离心率， P是双210,xyab曲线右支上的点， 2PF 的内切圆的圆心为 I，过 作直线 PI的垂线，垂足为 ，则OB（ ）A aB bC eaD eb【答案】A【解析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把 12PFa，转化为12Fa，从而求得点 A的横坐标再在三角形 2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形 12FC中，利用中位线定理得出 OB，从而解决问题解：由题意知： ,0c、 ,，内切圆与 x轴的切点是点 A，作图 12PFa，及圆
10、的切线长定理知， 12AFa，设内切圆的圆心横坐标为 x，则| cx， x，在三角形 2PCF中，由题意得，它是一个等腰三角形， 2PC，在三角形 12FC中，有 11122OBFPFa，故选 A12定义在 R上的函数 fx满足 2ffx，且当 ,4时， 1ga，对 1,0， 2,1x使得 21gxf，24,3xf x则实数 a的取值范围为（ ）A 1,8B 1,0,48C 0, D ,【答案】D【解析】因为 fx在 2,3上单调递减，在 3,4上单调递增，所以 f在 ,上的值域是 ,4，在 ,上的值域是 19,32，所以函数 fx在 2,上的值域是 93,2，因为 ff，所以 14fxffx
11、，所以 fx在 2,0上的值域是 39,48，当 a时， g为增函数， gx在 2,1上的值域为 21,a，所以321498a，解得 18a；当 0时， gx为减函数， gx在 2,1上的值域为 1,2a，所以314928a，解得 14a，当 0a时， gx为常函数，值域为 ，不符合题意，综上， 的范围是 1,48，故选 D第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13已知数列 的首项为 3，等比数列 满足 ，且 ，则 的值为nanb1na109b2018a_【答案】3【解析】因为 ，且 ，所以 ， ， ，1nab121ab32L1nab相乘可得 ， ，
12、12nnL20820710720608113L ，109b21207206108109bb ， ，故答案为 3283a8314已知实数 x， y满足不等式组205 xy，且 2zxy的最大值为 a，则 20cosda_【答案】 3【解析】作出可行域，目标函数可变为 2yxz，令 0，作出 2yx，由平移可知直线过 4,2时z取最大值，则 max6z则 2 0006cosd3cosd3sin|3xx 故本题应填 315已知半径为 的球内有一个内接四棱锥 SABCD，四棱锥 SABCD的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥 SABC的体积最大时，它的底面边长等于_ cm【答案】4【解析】如图，设四
13、棱锥 D的侧棱长为 x，底面正方形的边长为 a，棱锥的高为 h由题意可得顶点 S在地面上的射影为底面正方形的中心 1O，则球心 在高 1SO上在 1tROB 中， 13h， OB， 12a， 2223ha，整理得 22a又在 1RtS 中，有 2226xhh，26xh，428x， 42226411335SABCDxVax设 4f，则 52646fx，当 026x时， 0fx， f单调递增，当 时， f， f单调递减当 26x时 fx取得最大值，即四棱锥 SABCD的体积取得最大值，此时 422613a，解得 4a四棱锥 SABCD的体积最大时，底面边长等于 cm，故答案为 4c16如图所示，将
14、一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星设正八角星的中心为 ，并且O， ，若将点 到正八角星 16 个顶点的向量都写成 ， 、 的形O1ure2rO12eR式，则 的取值范围为_【答案】 12,【解析】以 为原点，以 为 轴建立平面直角坐标系，如图所示，OAx设圆 的半径为 1，则 ，过 作 ，交 轴于 ，OMNOB xN则 为等腰三角形， ，N 2urr ，此时 ，2ABurr1同理 ，此时 ， ，此时 ，OEu22OPABurru12，此时 ，在顶点 ， ， ， 处， ，2Furr1GH 的最大值为 ，最小值为 ，故
15、答案为 1212,三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （12 分）已知公差不为零的等差数列 na和等比数列 nb满足： 13ab， 24a，且 1a， 4， 13成等比数列（1）求数列 n和 b的通项公式；（2）令 nc，求数列 nc的前 项和 nS【答案】 （1） 321a， 3b；（2） 23nnS【解析】 （1）设 n的公差为 d，则由已知得 214a，即 2323d，解之得： 2或 0d（舍） ，所以 21nan；因为 49ba，所以 nb的公比 3q，所以 3nb（2）由（1）可知 213c，所以 2357n nS
16、 ， 2157333nnS ，所以12121 2432333nn nn nnS ，所以 nn18 （12 分）如图，点 C在以 AB为直径的圆 O上， PA垂直与圆 O所在平面， G为AOC的垂心（1）求证：平面 PG平面 ；（2）若 2B，求二面角 G的余弦值【答案】 （1）见解析；（2） 2517【解析】 （1）如图，延长 OG交 AC于点 M因为 G为 AOC 的重心，所以 M为 AC的中点因为 O为 AB的中点，所以 B 因为 是圆 的直径，所以 B，所以 MC因为 P平面 ， 平面 ，所以 P又 平面 P， 平面， ，所以 平面 AC即 平面 AC，又 G平面 O，所以平面 G平面
17、（2）以点 C为原点， B， CA， P方向分别为 x， y， z轴正方向建立空间直角坐标系xyz，则 0,， ,10， 3,0， 31,02O， ,2P， 10,M，则3,2OM， ,2OP平面 PG即为平面 ，设平面 O的一个法向量为 ,xyzn，则3021OMxPyzn令 1，得 0,41n过点 C作 HAB于点 ，由 PA平面 BC，易得 HPA，又 BA，所以 平面 ，即 C为平面 O的一个法向量在 中，由 2，得 30，则 60， 132CRt设 ， ， 3cos4HxCB， sin4HyB,0Hxy,Hxy所以 3,4C设二面角 AOPG的大小为 ，则 2304105cos 79
18、16CHn19 （12 分）1995 年联合国教科文组织宣布每年的 4 月 23 日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权 ”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取 100 名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7 组 ， ， ，并整理得到如图频率分布直方图：20,3,408,90（1）估计其阅读量小于 60 本的人数；（2）一只阅读量在 ， ， 内的学生人数比为 2:3:5为了解学生阅读课20,3,40,5外书的情况，现从阅读量在 内的学生中随机选取
19、3 人进行调查座谈，用 表示所选学,生阅读量在 内的人数，求 的分布列和数学期望；20,3X（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计 100 名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论） 【答案】 （1）20；（2） ；（3）第五组65【解析】 （1） （人） 010420 （2）由已知条件可知： 内的人数为： ，2, 10.4.2010内的人数为 2 人， 内的人数为 3 人， 内的人数为 5 人0,330,4,5的所有可能取值为 0，1，2， ， ，35CPX2135CPX1235C0PX所以 的分布列为0 1 2P1353101360250EX（3）估计 10
20、0 名学生该年课外阅读量的平均数在第五组20 （12 分）已知椭圆 2:10xyCab的长轴长为 6，且椭圆 C与圆240:9Mxy的公共弦长为 43（1）求椭圆 的方程（2）过点 ,P作斜率为 0k的直线 l与椭圆 C交于两点 A， B，试判断在 x轴上是否存在点 D，使得 AB 为以 为底边的等腰三角形若存在，求出点 D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由【答案】 （1）2198xy；（2） 2,0,1【解析】 （1）由题意可得 6a，所以 3a由椭圆 C与圆 M： 2409xy的公共弦长为 403，恰为圆 M的直径，可得椭圆 经过点 210,3，所以 21b，解得28b所以椭圆 C的
21、方程为2198xy（2）直线 l的解析式为 yk，设 ,A， 2,Bxy， A的中点为 0,Exy假设存在点 ,0Dm，使得 ADB 为以 为底边的等腰三角形，则 EAB由 2198ykx，得 29360kx，故 123698kx，所以 021kx， 0268yxk因为 DEAB，所以 1DEk，即 20198kmk，所以 289k当 0k时， 892k，所以 01；当 时， 1，所以 02综上所述，在 x轴上存在满足题目条件的点 ，且点 D的横坐标的取值范围为2,0,121 （12 分）已知函数 1lnxf（1）求函数 yfx的单调区间；（2）若关于 的方程 1exfk有实数解，求实数 k的
22、取值范围；（3）求证： 1lnx【答案】 （1）在区间 0,上 fx为增函数；在区间 1,上 fx为减函数；（2） k；（3）证明见解析【解析】 （1）函数 f定义域为 0,， 2lnfx；在区间 0,上 fx， fx为增函数；在区间 1,上 0fx， fx为减函数；（2）令 1egk， 1exg在区间 0,，为 0x， 为减函数；在区间 1,，为 g， x为增函数； min12gx，由（1）得 max1ff，若关于 的方程 exfk有实数解等价于 minaxgxf即： 21k， （3）原不等式等价于 e1lnx由（1）得 0fxf，当且仅当 x时取等号，即 ln，当且仅当 1时取等号令 (0
23、)1xeh， 0xeh，所以函数在 0,上为增函数，所以 x，即 1x，由此得 e1ln，即 lnex请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程 】在直角坐标系 中，直线 的方程是 ，曲线 的参数方程为 （ 为参xOyl2x2cosinxy数） ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线 和曲线 的极坐标方程；lC（2）射线 ： （其中 ）与曲线 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，M5012COPlM求 的取值范围OP【答案】 （1） ，
24、；（2） cos24sin20,【解析】 （1） ，直线 的极坐标方程是 ，sixylcos2由 ，消参数得 ，曲线 的极坐标方程是 2cos inxy224xy4sin（2）将 分别代入 ， ，得 ， ，4sincos4sinOP2cosM ，sin2OPM ， ， ，50150620sin 的取值范围是 |OPM20,23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲 】已知函数 21fxx（1）求函数 f的值域 M；（2）若 a，试比较 1a， 32a， 7的大小【答案】 （1） 3,2；（2） 12a【解析】 （1） ,1223,xfx，根据函数 fx的单调性可知，当 12时， min132fxf所以函数 f的值域 3,M（2）因为 a，所以 2a，所以 3012a3， 10， 137243aa， 2， 10a， 4， 14302a，所以 3，所以 71
