1、第二章 化归的方向 1 未知到已知 我们从第一节看到，在用化归方法解决数学问题时，一个必要的前提是，化归变形后的问题必须是能够解决的（即化归后所得到的问题应当比原来的问题简单，容易或是已经解决的问题）。因此，我们化归的方向应当是由未知到已知，由复杂到简单，由难到易，由繁到简。 例 1 证明：对任意整数 p， q（ q0）， 下面不等式成立： 思考和分析 显然 ，因此若 p=0或 pqa0）。 这样，由这种不规则的约分法得到的原分数只能属下面的四种形式之一：（ I） ； （ ） ；（ ） ；（ ） 。 其中 a、 b和 n都是小于 10的正整数。且 ab,故 n-b 1,则 又 且 ab,则 3
2、|n（ 否 则 9|b-a， 不可能）。于是 对 于 a和 n，只剩下四 对值 ，即： （ 1， 6），（ 1， 9），（ 2， 6）和（ 4， 9）能使 b为整数，这样得到的分数为 但 按我 们 的 约 分法约 去 9后得到 不是最 简 数， 因此，有且仅有三个分母小于 100的真分数 .经不规则约分法约去一个非零数字后为其最简分数。 例 3 序列 an是自然数序列的某一排列，用 I（ a1a2 ） 表示连 分数： 证明： I不可能取 中的任何一个值。 思考和分析 由于本题从正面不易将问题转化，这样我们可以从反面思考，也就是考察要求结果的对立面，或假定结论不成立，看看能有什么结果。设 I满
3、足不等式 ，我 们 用 I1表示 连 分数， 则 有 ， 由此得 ， 从而 。不难证明 0I11,则 a2=1，所以 。 （ 1） 由于在序列 an中，每个自然数出 现 且 仅 出 现 一次，因而 a ,但 这样 一来， I1就 该满 足不等式 I1 ,这 与（ 1）式矛盾。 由此得原来的假 设 I 是 错误 的。 例 4 设 I是 n个已知点的集合。（ 1）若连续 I中任意两点的直线必过 I中的某个第三点，则此 n点共线。（ 2） I中的点不都位于一直 线 上， 则连结 I中的每两点，至少可得 n条不同的直 线 。 证明 （ 1）由于本题也不易从正面转化，故我们也用反证法证明。若 n点不共
4、线 ，不妨用 A、 B、 C表示 n点中不共 线 的三点， 表示在平面 ABC上 过 A的任一直 线 ，且 不包含 I中的其它点， I中的点 对 的 连线 均与 相交。 设 其交点分 别为 P1， P2， 。 显 然， P1， P2， 中至少有一点不与 A点重合（如 BC与 的交点），我 们设 P为 P1， P2， 中离 A最近的点（不与 A重合）， 则线 段 AP不包含 P1， P2， 中与A、 P不重合的点。 由假 设 P不是 I中的点，但它位于至少包含 I中三点的某一直 线 上， 设 此三点 顺 次 为 Q、 R、 S， 显 然 Q、 R、 S至少有二点在的同一 侧 ，若 仅 Q、 R在 的同 侧 （如 图 ）， 则 由于 A、 Q是 I中的点，直 线 AQ将包含 I中的第三点 O， 这样 ，无 论 O在何 处 ， 线 段 OR或 OS与 线 段 AP总 有交点， 记为 P1， 显 然 这 与 P的 选择 矛盾。若Q、 R、 S都在 的同 侧 （如 图 ）， 则 由于 A、 R是 I中的点，直 线AR将包含 I中的第三点 O， 这样 无 论 O在何 处 ，也有 线 段 QO或 SO与 线 段 AP相交， 记为 P2， 这 也与 P的 选择 矛盾。 综 上所述， I中的 n点必 须 是共 线 的。
