1、高中函数值域的求法题型一 求函数值：特别是分段函数求值例 1 已知 f(x) (xR，且 x1) ，g(x)x 22(xR).11 x(1)求 f(2)，g(2) 的值；(2)求 fg(3)的值.解 (1)f(x) ，f(2) .11 x 11 2 13又g(x )x 2 2，g(2)2 226.(2)g(3)3 2211，fg(3)f(11) .11 11 112反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系 f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于 fg(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意 fg(x)与 gf(x)的区别.跟踪训练 4 已知函数 f(x) .x 1x
2、2(1)求 f(2)；(2)求 ff(1).解 (1)f(x) ，f(2) .x 1x 2 2 12 2 34(2)f(1) ，ff(1)f( ) .1 11 2 23 2323 123 2 585.已知函数 f(x)x 2x 1.(1)求 f(2)，f( )；1x(2)若 f(x)5，求 x 的值.解 (1)f(2)2 2215，f( ) 1 .1x 1x2 1x 1 x x2x2(2)f(x) x 2x15，x 2x 60，x2，或 x3.(3)4.函数 f(x)对任意自然数 x 满足 f(x1) f (x)1，f (0)1，则 f(5)_.答案 6解析 f(1)f(0)1112，f (2
3、)f(1)13，f(3)f(2)14，f(4) f(3)15，f(5)f (4)16.二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数 的定义域为x|x 0，值域为y|y 0；)0(kxy二次函数 的定义
4、域为 R，)2acbf当 a0 时，值域为 ；当 a0， = ，xy12)(当 x0 时，则当 时，其最小值 ；abx2abcy4)(2min当 a0）时或最大值（a0）时，0)(0f再比较 的大小决定函数的最大（小）值.),(bfa若 a,b,则a,b是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定0x)(xf )(,bfa函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数 y=3+ 的值域x32解：由算术平方根的性质，知 0，故 3+ 3。函数的值域为 x32.,32、求函数 的值
5、域5,0,2xxy解： 对称轴 ,120,4,1maxin值 域 为时时y1 单调性法例 3 求函数 y=4x (x1/3)的值域。x31设 f(x)=4x,g(x)= ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)=4x- x31在定义域为 x1/3 上也为增函数，而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3 。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数 y=3+ 的值域。(答案：y|y3)x42 换元法例 4 求函数
6、的值域 xy12解：设 ，则tx1)0(12tt2, 20max值 域 为 ，时当且 开 口 向 下，对 称 轴 ytt点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数 y= 的值域。 （答案：y|y3/4x1求 的值域；xcosin1例 5 （三角换元法）求函数 的值域21xy解： 设1,0cos2,12,1)4in(sicosinco原 函 数 的 值 域 为 y小结：（1）若题目中含有 ，则可设a)0,cos(2,sina或 设（2）若题目中含有 则可设 ，其中12basi
7、n,coba20（3）若题目中含有 ，则可设 ，其中xsx0（4）若题目中含有 ，则可设 ，其中21tan2（5）若题目中含有 ，则可设 其中)0,(ryx2sin,coryrx2,03 平方法例 5 （选）求函数 的值域xxy53解：函数定义域为： ,2,4,2 1,058,5318)5(32原 函 数 值 域 为 得由y xxxx4 分离常数法 例 6 求函数 的值域21xy由 ，可得值域31y小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量)0(cdxbay的要求）内，值域为 ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件） ，采用部分分式法将原函数化为 ，用复合函数法来)(bcadc
8、xby求值域。练习求函数 的值域6412xy求函数 的值域3x求函数 y= 的值域；（ y(-1，1)）12x例 7 求 的值域13xy解法一：（图象法）可化为 如图， 3,412,xy观察得值域 解法二：（不等式法） 同样可得值4114)(13xxx域练习： 的值域 1yx,1例 8 求函数 的值域),0(239xyx解：（换元法）设 ，则 原函数可化为t31t8,2 8,3;2,1,2 maxmin值 域 为 时时对 称 轴 ytyttty例 9 求函数 的值域x31-1 0 1 34-4 xy0 1t2t解：（换元法）令 ，则1)(22xxt )1(3ty由指数函数的单调性知，原函数的值
9、域为 ,例 10 求函数 的值域)0(2xy解：（图象法）如图，值域为 1,（换元法）设 ，tx3则 1133tyxx001ytt1,原 函 数 的 值 域 为例 13 函数 的值域12xy解法一：（逆求法） 102 yyx1,原 函 数 的 值 域 为解法二：（换元法）设 ，则 tx2原 函 数 值 域 即 得1201ytt解法三：（判别式法）原函数可化为 010)(2yx1） 时 不成立y2） 时，)1(40yy1y综合 1） 、2）值域 |解法四：（三角换元法） 设 ，则Rx2,tanx21 0 xy1,2cos,2costan12 y原函数的值域为1|y例 14 求函数 的值域3425
10、xy解法一：（判别式法）化为 0)5(2yxy1） 时，不成立0y2） 时， 得50)53(8)4( yy0综合 1） 、2 ）值域 |y解法二：（复合函数法）令 ，则tx342ty51)(2t所以，值域50y 50|y例 15 函数 的值域1xy解法一：（判别式法）原式可化为 01)(2xy,31,04)(02原 函 数 值 域 为 或y解法二：（不等式法）1）当 时，x321yx2） 时，2)(11yxx0x综合 1） 2）知，原函数值域为 ,3,51 tt0例 16 (选) 求函数 的值域)1(22xxy解法一：（判别式法）原式可化为 022yx,210)(4)(02原 函 数 值 域
11、为 舍 去 或yxy解法二：（不等式法）原函数可化为 )1(211)(2 xxx当且仅当 时取等号，故值域为0x,例 17 （选） 求函数 的值域)2(12xy解：（换元法）令 ，则原函数可化为 。 。 。tx)31(tty小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用)0(22dafexdcbay判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选） 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法)(二 次 式一 次 式或一 次 式二 次 式 yy求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。)0(xay利用判别式求值域时应注意的
12、问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据例 1、 求函数 的值域12xy象这种 分子、分母的最高次为 2 次的分式函数 可以考虑用判别式法求值域。解：由 得：12xy（y-1）x 2+(1-y)x+y=0 上式中显然 y1,故式是关于 x 的一元二次方程131,0)(4)1(22，xyy，y的 值 域 为 又解 得令用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法
13、求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验例：求函数 的值域。321xy错解：原式变形为 （）0)13()()( yx ， ，解得 。Rx241yy 21y故所求函数的值域是 ,03错因：把 代入方程（）显然无解，因此 不在函数的值域内。事实上，21y 21y时，方程（）的二次项系数为 0，显然不能用“ ”来判定其根的存在情况。y 正解：原式变形为 （）0)13()2()1( yxxy（1）当 时，方程（）无解；2（2）当 时， ， ，解得yRx0)13(24)1( yy。103综合（1） 、 （2）知此函数
14、的值域为 )21,03二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化例 2：求函数 的值域。6342xy错解：将函数式化为 0)36()4()1(2yx（1）当 时，代入上式得 ， ，故 属于值域；y91y（2）当 时， ，)25(y综合（1） 、 （2）可得函数的值域为 。R错因：解中函数式化为方程时产生了增根（ 与 虽不在定义域内，但是方3x2程的根） ，因此最后应该去掉 与 时方程中相应的 值。所以正确答案为3x2y，且 。1|y52三、注意变形后函数值域的变化例 3：求函数 的值域。21xy错解：由已知得 ，两边平方得 221)(xy整理得 ，由 ，解得022yx 08)2(。2y故函数得
15、值域为 。2,错因：从式变形为式是不可逆的，扩大了 的取值范围。由函数得定义域为y易知 ，因此函数得最小值不可能为 。 时， ，1,1xy 21xy，故函数的值域应为 。min2,四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性例 4：求函数 的值域。542xy错解：令 ，则 ， ，由 及t 12ty02yt 0412y得值域为 。0y1,0(y错因：解法中忽视了新变元 满足条件 。设 ， ，t2t yttf2)(0，),2t。故函数得值域为 。210)()(0yffy或 52y520，（综上所述，在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用
16、判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。练习：1 、 ；)0(912xxy解：x 0， ，y 11.1)(22x另外，此题利用基本不等式解更简捷： (或利用对勾函数19212xy图像法)2 、 3452xy0y 5.3 、求函数的值域 ； xy224xy解：令 0,则 ,u2u原式可化为 ,49)1(22yu 0，y ，函数的值域是（ - ， .49解：令 t=4x 0 得 0 x 4 2x在此区间内 (4x ) =4 ，(4x ) =0max2min函数 的值域是 y| 0 y 224y4、求函数 y=|x+1|+|x-
17、2|的值域. 解法 1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图） ，)2(13xy由图象可知，函数的值域是y|y 3.解法 2： 函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点-1 ，2 的距离之和，易见y 的最小值是 3，函数的值域是3，+ . 如图O 1 2-1x O 1 2-1 x O 1 2-1 x5、求函数 的值域xy142解：设 则 t 0 x=1t2t代入得 f y4)1(2) 4)1(2tt 0 y 46、 （选）求函数 的值域652xy方法一：去分母得 (y1) +(y+5)x6y6=0 当 y1 时 xR =(y+5) +4(y1)6(y+1) 02
18、由此得 (5y+1) 0 奎 屯王 新 敞新 疆2检验 （有一个根时需验证）时 （代入求根）51y 2)56(1x2 定义域 x| x2 且 x3 1y再检验 y=1 代入求得 x=2 y1综上所述，函数 的值域为 y| y1 且 y 652xy 51方法二：把已知函数化为函数 (x2)36)3(2xxy由此可得 y1， x=2 时 即 函数 的值域为 y| 51652yy1 且 y 奎 屯王 新 敞新 疆51函 数 值 域 求 法 十 一 种1. 直 接 观 察 法对 于 一 些 比 较 简 单 的 函 数 ， 其 值 域 可 通 过 观 察 得 到 。例 1. 求 函 数 x1y的 值 域
19、 。解 ： 0 x显 然 函 数 的 值 域 是 ： ),0(),(例 2. 求 函 数 x3y的 值 域 。解 ： 0,x故 函 数 的 值 域 是 ： 3,2. 配 方 法配 方 法 是 求 二 次 函 数 值 域 最 基 本 的 方 法 之 一 。例 3. 求 函 数 2,1x,52y的 值 域 。解 ： 将 函 数 配 方 得 ： 4)( ,1x由 二 次 函 数 的 性 质 可 知 ： 当 x=1时 ， 4ymin， 当 1x时 ， 8ymax故 函 数 的 值 域 是 ： 4， 83. 判 别 式 法例 4. 求 函 数 2x1y的 值 域 。解 ： 原 函 数 化 为 关 于 x
20、的 一 元 二 次 方 程0)(x)1y(2（ 1） 当 时 ， R)1y(4)(2解 得 ：3（ 2） 当 y=1时 ， 0x， 而 23,1故 函 数 的 值 域 为 23,1例 5. 求 函 数 )x(y的 值 域 。解 ： 两 边 平 方 整 理 得 ： 0yx)1(22（ 1） Rx 0y8)1(42解 得 ： 但 此 时 的 函 数 的 定 义 域 由 0)x2(， 得 2x由 0， 仅 保 证 关 于 x的 方 程 ： 0y)1(2在 实 数 集 R有 实根 ， 而 不 能 确 保 其 实 根 在 区 间0， 2上 ， 即 不 能 确 保 方 程 （ 1） 有 实 根 ，由 求
21、出 的 范 围 可 能 比 y的 实 际 范 围 大 ， 故 不 能 确 定 此 函 数 的 值 域 为23,1。可 以 采 取 如 下 方 法 进 一 步 确 定 原 函 数 的 值 域 。 x00)2(y1,min代 入 方 程 （ 1）解 得 ： 2,x4即 当 241时 ，原 函 数 的 值 域 为 ： 21,0注 ： 由 判 别 式 法 来 判 断 函 数 的 值 域 时 ， 若 原 函 数 的 定 义 域 不 是 实数 集 时 ， 应 综 合 函 数 的 定 义 域 ， 将 扩 大 的 部 分 剔 除 。4. 反 函 数 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ， 可 以 通
22、 过 求 其 原 函 数 的 定 义 域 来 确 定原 函 数 的 值 域 。例 6. 求 函 数 6x543值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： 3y564x则 其 反 函 数 为 ： 3x5y64， 其 定 义 域 为 ： 53x故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： ,5. 函 数 有 界 性 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ， 可 以 利 用 已 学 过 函 数 的 有 界 性 ， 反 客为 主 来 确 定 函 数 的 值 域 。例 7. 求 函 数 1eyx的 值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： 1yx 0ex 1y解 得 ： 故 所 求 函
23、数 的 值 域 为 )1,(例 8. 求 函 数 3xsincoy的 值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： y3xcosiy， 可 化 为 ：)(si12即 1y3xn2 R ,)(si即1y312解 得 ： 4故 函 数 的 值 域 为 2,6. 函 数 单 调 性 法例 9. 求 函 数 )10x2(log2y35x的 值 域 。解 ： 令 1xlogy,235x1则 ,y在 2， 10上 都 是 增 函 数所 以 在 2， 10上 是 增 函 数当 x=2时 ， 81log3min当 x=10时 ， 9y5ax故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： ,例 10. 求 函 数
24、1xy的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 化 为 ：2令 ,x21， 显 然 21y,在 ,上 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 y， 在 ,1上 也 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 当 x=1时 ， 21y有 最 小 值 ， 原 函 数 有 最 大 值 2显 然 0， 故 原 函 数 的 值 域 为 ,0(7. 换 元 法通 过 简 单 的 换 元 把 一 个 函 数 变 为 简 单 函 数 ， 其 题 型 特 征 是 函 数 解析 式 含 有 根 式 或 三 角 函 数 公 式 模 型 ， 换 元 法 是 数 学 方 法 中 几 种 最 主要 方 法 之 一 ， 在 求 函 数
25、 的 值 域 中 同 样 发 挥 作 用 。例 11. 求 函 数 1xy的 值 域 。解 ： 令 tx， )0(则 t2 43)21t(y又 0t， 由 二 次 函 数 的 性 质 可 知当 时 ， min当 t时 ， y故 函 数 的 值 域 为 ),1例 12. 求 函 数 2)1x(2xy的 值 域 。解 ： 因 0)1x(2即 )(2故 可 令 ,cos 1cosin1y2)4sin(2 50,21)4sin(20故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,0例 13. 求 函 数 1x2y43的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 变 形 为 ： 22x1y可 令 tgx， 则 有 2co
26、s,sinx14icos2sin1y当 8k时 ， ymax当 2时 ， 41in而 此 时 tan有 意 义 。故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,例 14. 求 函 数 )1x)(cos(siny， 2,的 值 域 。解 ： )1x(icosin令 ti， 则 )1t(2xcosin2)1t(2)1t(y由 )4/xsin(2coxsint 且 ,1可 得 ： 2t 当 t时 ，3ymax， 当 2t时 ， 243y故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,4。例 15. 求 函 数 2x5y的 值 域 。解 ： 由 0x2， 可 得 |故 可 令 ,cos4)sin(10i545y 04当
27、 /时 ， 10ymax当 时 ， 5in故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： 4,8. 数 形 结 合 法其 题 型 是 函 数 解 析 式 具 有 明 显 的 某 种 几 何 意 义 ， 如 两 点 的 距 离 公式 直 线 斜 率 等 等 ， 这 类 题 目 若 运 用 数 形 结 合 法 ， 往 往 会 更 加 简 单 ，一 目 了 然 ， 赏 心 悦 目 。例 16. 求 函 数 22)8x()(y的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 化 简 得 ： |8x|2|y上 式 可 以 看 成 数 轴 上 点 P（ x） 到 定 点 A（ 2） ， )8(B间 的 距 离 之 和 。由
28、上 图 可 知 ， 当 点 P在 线 段 AB上 时 ， 10|A|x|y当 点 P在 线 段 AB的 延 长 线 或 反 向 延 长 线 上 时 ，10|8x|2|y故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： ,10例 17. 求 函 数 5x43x6y22的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 变 形 为 ： 2222 )10()()0()3x(y 上 式 可 看 成 x轴 上 的 点 ,xP到 两 定 点 )1,2(B),3A的 距 离 之 和 ，由 图 可 知 当 点 P为 线 段 与 x轴 的 交 点 时 ，43)12()3(|ABymin ，故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,例 18
29、. 求 函 数 5x413x6y22的 值 域 。解 ： 将 函 数 变 形 为 ： 222)10()()0()( 上 式 可 看 成 定 点 A（ 3， 2） 到 点 P（ x， 0） 的 距 离 与 定 点 ,B到 点)0,x(P的 距 离 之 差 。即 ： |BP|y由 图 可 知 ： （ 1） 当 点 P在 x轴 上 且 不 是 直 线 AB与 x轴 的 交 点 时 ，如 点 P， 则 构 成 A， 根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ， 有26)1()23(|A即 ： 6y（ 2） 当 点 P恰 好 为 直 线 AB与 x轴 的 交 点 时 ， 有 26|AB|P
30、|综 上 所 述 ， 可 知 函 数 的 值 域 为 ： 26,(注 ： 由 例 17， 18可 知 ， 求 两 距 离 之 和 时 ， 要 将 函 数 式 变 形 ， 使A、 B两 点 在 x轴 的 两 侧 ， 而 求 两 距 离 之 差 时 ， 则 要 使A， B两 点 在 x轴 的 同 侧 。如 ： 例 17的 A， B两 点 坐 标 分 别 为 ： （ 3， 2） ， )1,(， 在 x轴 的 同侧 ； 例 18的 A， B两 点 坐 标 分 别 为 （ 3， 2） ， ),， 在 x轴 的 同 侧 。9. 不 等 式 法利 用 基 本 不 等 式 abc3a,b2a)R,(， 求 函
31、 数 的 最值 ， 其 题 型 特 征 解 析 式 是 和 式 时 要 求 积 为 定 值 ， 解 析 式 是 积 时 要 求和 为 定 值 ， 不 过 有 时 需 要 用 到 拆 项 、 添 项 和 两 边 平 方 等 技 巧 。例 19. 求 函 数 4)xcos1()xsin1(iy22的 值 域 。解 ： 原 函 数 变 形 为 ：52xcottan3se1cosi)cox(iny22222当 且 仅 当 tt即 当 4kx时 )z(， 等 号 成 立故 原 函 数 的 值 域 为 ： ,5例 20. 求 函 数 x2siny的 值 域 。解 ： coixsn4i27643/)xsin
32、2xsin(i8(1y22当 且 仅 当 xsin2xsin2， 即 当 32xsin时 ， 等 号 成 立 。由 764y2可 得 ： 938y故 原 函 数 的 值 域 为 ： 938,10. 一 一 映 射 法原 理 ： 因 为 )0c(dxbay在 定 义 域 上 x与 y是 一 一 对 应 的 。 故 两 个变 量 中 ， 若 知 道 一 个 变 量 范 围 ， 就 可 以 求 另 一 个 变 量 范 围 。例 21. 求 函 数 123的 值 域 。解 ： 定 义 域 为 21x|或由 1x23y得 3y2故 或 21x解 得 2y3或故 函 数 的 值 域 为 ,23,11. 多
33、 种 方 法 综 合 运 用例 22. 求 函 数 3x2y的 值 域 。解 ： 令 )0t(t， 则 1t2（ 1） 当 t时 ， t1t2， 当 且 仅 当 t=1， 即 x时 取 等号 ， 所 以 y0（ 2） 当 t=0时 ， y=0。综 上 所 述 ， 函 数 的 值 域 为 ： 21,注 ： 先 换 元 ， 后 用 不 等 式 法例 23. 求 函 数 423x1y的 值 域 。解 ： 42342x1x1y22令 tanx， 则 22cosx1si21 1sin2siincoy1674si2 当 in时 ， ymax当 s时 ， 2in此 时 2ta都 存 在 ， 故 函 数 的 值 域 为 167,2注 ： 此 题 先 用 换 元 法 ， 后 用 配 方 法 ， 然 后 再 运 用 sin的 有 界 性 。总 之 ， 在 具 体 求 某 个 函 数 的 值 域 时 ， 首 先 要 仔 细 、 认 真 观 察 其 题型 特 征 ， 然 后 再 选 择 恰 当 的 方 法 ， 一 般 优 先 考 虑 直 接 法 ， 函 数 单 调性 法 和 基 本 不 等 式 法 ， 然 后 才 考 虑 用 其 他 各 种 特 殊 方 法 。
