1、1量子随机行走与量子随机行走搜索算法专业：物 理 学 姓名：边志浩 学号：131555摘要：量子计算与量子信息的研究可以追溯到几十年前,但真正引起广泛关注是在 20 世纪 90 年代中期。这期间发现了 Shor 快速因子分解算法和 Grover 搜索算法,这两类算法展示了量子计算机从根本上超越经典计算机的计算能力。近年来,量子随机行走正逐渐开始引起人们重视,这是因为一方面,量子随机行走可以看作是经典随机行走在量子系统上的一种自然推广,另一方面,量子随机行走能够应用于构造有效的量子算法。关键字：量子计算，量子搜寻算法，量子随机行走前言量子计算机从速度上对经典计算机有本质的超越,许多在经典计算机中
2、无法“有效”解决的问题在量子计算机下能得到有效解决。这里的“有效” 、 “非有效”是根据算法复杂性理论从数学上精确定义的。粗略的说,有效算法解决问题需要的时间是问题规模的多项式;相反,非有效算法需要超多项式(典型情况是指数)时间。1985 年,David Deutsch 提出了一个量子算法,用来说明量子计算机确实可能从计算能力上超过那些经典计算机。随后十年内许多人努力改进Deutsch 令人瞩目的初步结果,这些努力到 1994 年 Peter Shor 展示两个极其重要的问题寻找质数因子问题和解决所谓离散对数问题可以用量子计算机有效解决时达到顶点。这方面研究受到广泛关注的原因是人们仍相信这两个
3、问题在经典计算机上没有有效解法。Shor 的结果是量子计算机比 Turing 机,甚至概率 Turing 机更为强大的有力证据。量子计算机功能强大的进一步的证据出现在 1996 年,Lov Grover 证明另一个重要问题 在没有结构的搜索空间上进行搜索的问题在量子计算机上可以被加速。虽然 Grover 搜索算法没有达到Shor 算法那样明显的加速,但搜索方法的广泛适用性引起人们对 Grover 搜索算法相当的关注。量子随机行走算法是近几年来开始为人们所注意的另一种量子算法。由于经典随机行走在许多计算问题中都有应用,人们希望能够将它应用到量子计算机上。本文首先介绍了经典的随即行走和量子随即行走
4、，通过比较几率分布得出了两者发散速度的不同，然后基于量子随机行走的发散速度快，我们提出了一种搜寻算法，即量子随机行走搜索算法,它与 Grover 搜索算法有着相同的搜索速度。有助于进一步了解量子随机行走搜索算法与 Grover 搜索算法之间的区别和差异,并对量子搜索算法的实际应用有一定的理论指导意义。一、经典随机行走经典随机行走是量子随机行走的基础，它可以用图 G(V,E)来表示,其中 V是顶点集,E 是边集。每一条边可以用它所连接的点表示,即 e=(vi,v0)。当2(vi,v0) E 且(v 0,vi) E 时,我们说这个图是无向的。经典随机行走的一个重要 参量是(独立于时间的)变换矩阵
5、M,矩阵元 Mij表示从顶点 vi到顶点 vj的跃迁几率。只有当一对顶点通过一条边连通时这个几率不为 0,即Mij 0 iff e=(vi,vj) E (1) 若 M 的非零矩阵元可以表示为 Mij =1/d，则称这个行走是无偏的,其中 di是顶点 vi的度(即与顶点 vi关联的边的数目)。若图上所有顶点都有相同的度(d),则称这个图是正则的。在某一时刻 t,经典随机行走的状态由各顶点 vi V 的几率分布 P(v,t)描述。这个几率分布在每次变换矩阵 M 作用后都会发生相应的变化,P(v,t)=MtP(v,0) (2)若 G 是连通的,即任意两个顶点通过一系列边都相互连接,则行走将趋于稳定分
6、布 ,且这个分布不依赖于初态 P(v,0)。若 G 是正则的,则每个顶点的稳定分布是均衡的。随机行走稳定分布的收敛性质可以通过混合时间(mixing time)来描述,其定义如下,M C=minT| tT:P(v,t)- tVi=1|V|,是随机行走的格点空间,它对应于经典情况下的一个 d度正则图 G(v,E),HC=Cd,是硬币翻转算子作用的空间(硬币空间)。总的幺正演化矩阵 U 由独立的两部分组成,即翻转硬币和有条件的置换U=S (C I) (6)量子随机行走的第一步是在硬币空间执行一个旋转操作 C,这相当于经典随机行走中的抛硬币,通过这个操作得到一个硬币的叠加态。然后,置换算子 S 使粒
7、子沿着由硬币决定的一条边移动到下一个邻近的顶点。从初态| (0)出发,重复行走 T 步后得到各个顶点上的几率分布为P(v,t)=vv (7) 由于演化的幺正性,量子随机行走无法达到稳定的几率分布。因此,与经典随机行走对应的量子随机行走的混合时间可以定义为M Q=minT| tT: - tV:x Z,HC=span|R,|L,置换算子作用到基矢上可表示为S|R,x=|R,x+1, S|L,x=|L,x-1 (10)|R,|L可以是粒子的自旋态|。硬币翻转算符 C 的选择并不是唯一的,若我们要求 C 是无偏的(向左、向右几率各为 1/2),可选择 Hadamard 变换,H= ( ) 121 11
8、 1(11)对初态| |0依次作用 H 和置换算子 S,得到| |0 = (|+|) |12 0= (| |1+| |-1) 12 (12)如果我们在每一步行走(先翻转硬币再移动粒子)之后用基矢| |1,|-1进行测量 ,将得到经典的无偏几率分布。但如果我们在行走过程中不进行测量,保持态的相干叠加性，就会得到与经典随情况不同的结果。从初态阵|in=| |0出发,连续作用 U= S (C I),每一步之后各点分布情况可表 示图 1 初态为| |0的量子随机行走几率 分布,T=100 步4| in (| |1-| |-1)12 | |2-(|-|) |0+| |-2 (13)12 | |3+| |
9、1+(|-2|) |-1-| |-3122 最后测量时会发现,峰值位置与经典随机行走相比有一个向左的偏移。图 1给出了以| |0为初态的量子随机行走 100 步后的几率分布, 不同于经典的高斯分布,它有一种向左的趋势,这是由于量子相干效应使得向右的几率相消而向左的几率相长造成的。若我们取初态| in=| |0，则与图 1 相反,几率分布将会有一种向右的趋势。想要得到对称的分布,需要取|和|的叠加态作为初态,并且要保证这两种趋势不会相互抵消。可以取| sym=(|+|) |0/ 为初态 ,图 2 给出了相应的量子2随机行走 100 步后的几率分布。除了几率分布情况与经典随机行走不同,一维直线量子
10、随机行走另一个值得注意的特点是它比经典随机行走有更高的扩散速度。Nayak 和Vishwanath 通过 Fourier 方法给出了它的标准偏差在长时间下的解析表达形式,Q=(1- )1/2T (14)limT 12标准偏差 Q与步数 T 呈线性关系 ,与经典情况下的标准偏差 T 不同。三、量子随机行走搜寻算法量子随机行走利用了量子相干性,比经典随机行走有更高的扩散速度,更短的混合时间,因而人们希望利用这些性质建立比经典算法更有效的量子算法。2003 年 Shenvi 提出一个基于量子随机行走的搜索算法,这个算法与 Grover 搜索算法类似,是一个基于 oracle 调用的量子搜索算法,没有
11、对搜索问题假定任何特别的结构,并且也能提供二次加速。量子随机行走搜索算法是建立在 n 维超立方体随机行走基础上的,它有N=2n个节点,代表了被搜索的数据库的大小,每个节点有一个 n 比特的二进制串来标记,两个节点当且仅当它们的 Hamming 距离为 1 时是相连的。算法作用的Hilbert 空间可表示为 H=HC HS,H 里的每个态都由一个 n 比特串 决定它在超 x立方体中的位置,和一个方向 d 指出硬币所处的态。置换算符 S 可以表示成如下形式图 2 初态为 (|+|) |0/ 的量子随机 2行走几率分布,T=100 步5S= (15)1=0x|,xed影射到 。在这个算法中,硬币算符
12、起到了 oracle 的作用,具,x |,xed体说来,就是用特殊的硬币来“标记”一个需要搜索的节点,在原有的置换对称硬币算符中加入一个微扰。不失一般性,我们可以假设标记态为全 target= ,硬x 0币翻转算符可以取为C=C0 I+(C1-C0) | 与硬币空间的等权叠加态|s C的直积态:| 0=|sC |sS= (1,1,1)T (18) 12|sS能够通过在节点空间中对| 态实施 n 个单比特的 Hadamard 变换来实现,同0样的硬币空间初态|s C也可以如此得到。2)给定硬币算符 C,其中它对标记态应用算符 C1=-I,对未标记态应用算符C0=G。将微扰后的演化算符 U=SC作
13、用 tf次,tf= /2 (19)213)在| 的基下测量此时的量子态。,x这样,测到结果为标记态的几率将为 1/2-O(1/n)。如果将此算法重复一定次数,那么得到标记态的几率会非常接近于 1。以下简要介绍该算法的正确性证明。首先我们把超立方体上的行走简化为直线上的行走,然后建立 U的两个近似本征态| 0和| 1(本征值近似为 1),其 中| 0就是初始化的初态式 (16)，而| 1则与要搜索的目标态| target有很好的 x近似。非微扰情况下,超立方体上随机行走的演化算符 U 本征谱可以表示为k=1- (20)22()k= 0,1,n。可以证明经过微扰后的演化算符 U有两个本征值近似为
14、1 的近似简并态,设它们为| 0|- 0,本征值分别为 叫和 ,这两个近似简 0 0并态张成的子空间与近似本征态| 0和| 1张成的空间有很大重叠,即| 0和| 1能够用| 0和|- 0的线性组合很好的近似 | 0 (| 0+|- 0)12 6| 1 (| 0-|- 0) (21)12 于是量子随机行走搜索算法就能够近似成| 0和|- 0张成的 2 维空间内 的旋转,这个旋转的目的是将| 0转到| 1, (U)t| 0 ( | 0+ |- 0)120 0 cos 0t| 0-sin 0t| 1 (22) 由于 0 -1/ ,一次幺正演化算符 U的作用可以近似看作是上述 2 维 21空间中的一个
15、角度为 1/ 的旋转,因此要得到 | 1需要作用 U大约 tf=21 /2 次 ,也就是说,经过 O( )次调用 oracle 便有很高的几率找到标记点。21 总结量子随机行走搜索算法虽然和 Grover 搜索算法一样是一个多项式复杂度的算法,但是和 Grover 搜索算法比较起来也存在着很大差别:在 Grover 搜索算法中虽然也是应用 2 维空间中的旋转,但是它是精确的投影到初态| 0和目标态| 张 0成的 2 维空间,每一步都是一个精确的旋转,而量子随机行走搜索算法中是近似投影到 2 维空间中,用| 0和| 1张成的空间来近似 ;Grover 搜索算法中是精确 得到目标态| ,而量子随机
16、行走搜索算法中最后得到的| 也只是近似,可能有0 0其它的态混在里面。当然量子行走算法也有它自己的优点,它的 oracle 仅需要作用在 n 维硬币空间中,而 Grover 搜索算法中要作用在 2n 维的态空间中,这使的量子随机行走搜索算法更易于实现。本文主要讨论的是建立在的超立方体量子随机行走上、以 Grover 扩散算符为硬币翻转算符的量子随机行走搜索算法。但正如上面提到的,硬币算符的选择不是唯一的,在另一些选择下算法的工作情况目前还尚不清楚。此外,基于量子随机行走的算法并不仅限于本文所讨论的这个,其它一些算法对噪声的抵御情况也是值得研究的问题。还有,如何选择适当的物理系统来实现量子随机行走搜索算法将是未来研究的一个重要课题。
