1、内容2006年春季学期线性代数学习指导2006年春季学期线性代数学习指导一、考试形式：闭卷二、参考书：课本，杨荫华版三、学习要点：1、基础知识在复习过程中，我们一定要把教材中提到的基础知识复习一遍，掌握每个关键知识点的含义。基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面。例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：A是sXn 矩阵，若A中有一个r阶子式不为零，所有r 阶以上子式（如果它还有的话）均为零，则称A的秩为r ，记成rank（A ）r（或r（A）r ，秩Ar）显然，定义中内涵的要点有：1A 中至少有
2、一个r阶子式不 为零；2所有r阶以上均为零3若所有r1子式都为零， 则必有所有r 阶以上子式均为零要点2和3是等价条件，至于r阶子式是否可以为零？小于r 阶的子式是否可以为零所有r1阶的子式是否可以全部为零？这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解例1 设A是mn矩阵，r （A）rltMIN（M ，N），则A 中（ ）（A）至少有一个r阶子式不为零，没有等于零的r1阶子式 （B）有不等于零的r阶子式，没有不等于零的r1 阶子式 （C）有等于零的r阶子式，没有不等于零的r1 阶子式 （D）任何r阶子式不等于零，任何r1 阶子式都等于零 答案：（B）基本方法要熟
3、练掌握熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决基本计算要熟练学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数量的习题，把计算的基本功练扎实在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中（行列式、矩阵、向量、方程组）绝大多数
4、的运算是初等变换用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组（或矩阵）的秩、求向量组的极大线性无关组、求方程组的解等可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果？从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在70左右，可见计算能力培养的重要只听不练，只看不练，眼高手低，专找难题做，这并不适合一般考生的情况，在历次考试中，不乏有教训惨痛的人 2、活用概念线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，所以我们应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算
5、方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个“活”字五、知识要点第一部分 线性代数中的最基本概念基础比较好的考生可不必看这部分内容或者只用本部分的习题对自己进行一次测试.1.矩 阵（1）基本概念矩阵是描写事物形 态的数量形式的发展.由m（n个数排列成的一个m行 n列的表格两边界以圆括号或方括号就成为一个m（n型矩阵. 这些数称为它的元素位于第i行第j列的数称为（ij）位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵通常就记作0.两个矩阵A 和B相等（记作AB ）是指它的行数相等列数也相等（即它们的类型相同）并且对应的元素都相等.（2）线性运算和转置加（减）
6、法:两个m（n的矩阵 A和B可以相加（减）得到的和（差）仍是m（n 矩阵记作AB （AB ）法 则为对应元素相加（减）.数乘: 一个m（n的矩阵A与应该数c 可以相乘乘积仍为m（n的矩阵记作cA法则为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为先性运算它们满足以下规律: 加法交换律: ABBA. 加法结合律: （AB）C A（B C）. 加乘分配律: c（AB）cAcB.（c d）AcAdA. 数乘结合律: c（d）A（cd）A. cA0 （ c0 或A0.转置:把一个m（n的矩阵A行和列互换得到的n（m 的矩阵称 为A 的转置记作A T（或A （）.有以下规律: （AT）T A. （AB）TATBT
7、. （cA）T （cA）T. （3） n阶矩阵 几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.n阶矩阵A的相应的行列式记作|A|称为A 的行列式.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线. （其上的运算行列号相等. ）下面列出几类常用的n阶矩阵它们但是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 主对角线外的的元素都为0的n 阶矩阵.单位矩阵: 主对角线外的的元素都为1的对角矩阵记作E （或I）.数量矩阵: 主对角线外的的元素都等于一个常数c的对角矩阵它就是cE.上（下）三角矩阵: 主对角线下（上）的的元素都为0的n 阶矩阵.对称矩阵:满足ATA矩阵.也就是对任何i
8、j （ij）位的元素和（j i）位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足ATA矩阵.也就是对任何ij （ij）位的元素和（j i）位的元素之和总等于0的n阶矩阵. 反对称矩阵对角线上的元素一定都是0. （4） 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵的初等行变换有以下三种: 交换两行的上下位置. 用一个非0的常数乘某一行的各元素. 把某一行的倍数加到另一行上.类似地 矩阵还有三种初等列变换大家可以模仿着写出它们这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵如果满足: 如果它有零行则都出现在下面. 每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.每个矩阵
9、都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算必须十分熟练.2. 向量（1 ）基本概念向量是另一种描述事物形态的数量形式.由n个数构成的有序数组称为一个n 维向量称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量例如分量依次是a1a2（ an的向量可表示成a1 （a1a2 （ an）或 a2 an请注意作为向量它们并没有区别但是作为矩阵它们不一样（左边是1（n矩阵右边n （1是矩阵）.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.请注意它与矩阵的行向量和列向量的区别.一个m（n的矩阵的每一行是一个n维向量称为它的行向量； 每一列是一个m维向量 称为它的列向量.常常
10、用矩阵的列向量组来写出矩阵例如当矩阵A的列向量组为?1?2 （ ?n时 （它们都是表示为列的形式!）可记A （?1?2（ ?n）.矩阵的许多概念也可对向量来规定如向量的相等零向量等等.这里从略.（2） 线性运算和线性组合向量也有加减法和数乘这两种线性运算并且也有完全一样的运算规律这里也不来复述了.向量组的线性组合:设?1?2（ ?s是一组n 维向量 c1c2（ cs是一组数则称 c1?1 c2?2（ cs?s为?1?2（ ?s的（以 c1c2（ cs为系数的）线性组合.它也是n维向量.3线性方程组（1） 基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1a12x2（ a1nxnb1a21x1a22x2
11、（ a2nxn b2（ （ （ （am1x1am2x2 （ amnxnbm其中未知数的个数n和方程式的个数m 不必相等.分别称矩阵a11 a12 （ a1n a11 a12 （ a1n b1A a21 a22 （ a2n 和（A|? ） a21 a22 （ a2n b2（ （ （ （ （ （ （am1 am2 （ amn am1 am2 （ amn bm为方程组的系数矩阵和增广矩阵. 如果b1b2 （bm0 则称为齐次线性方程组. 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.线性方程组的解是一个n维向量（k1k2（ kn
12、）它满足:当每个方程中的未知数 xi都用ki替代时都成为 等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解唯一解无穷多解.n维零向量总是齐次线性方程组的解因此齐次线性方程组的解情况只有两种:唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）.（2） 同解变换与矩阵消元法线性方程组的同解变换有三种: 交换两个方程的上下位置. 用一个非0的常数乘某个方程. 把某方程的倍数加到另一方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组的基本求解方法是消元法用增广矩阵或系数矩阵来进行称为矩阵消元法:写出方程组的增广矩阵（对齐次方程组用系数矩阵）用初等行变换把它化为阶梯形矩阵再写出所代表的阶梯形方程组 （它是
13、原方程组的同解方程组）用它求解. 第二部分 行列式1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个 n行n列的表格两边界以竖线就成为一个n阶行列式.如果行列式的列向量组为?1?2（ ?n则此行列式可表示为|?1?2（ ?n|.意义:是一个算式把n2个元素按照一定的法 则进行运算得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式和意义上的区别.当两个行列式的值相等时就可以在它们之间写等号! （不必形式一样甚至阶数可不同. ）每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式 记作|A|.2. 定义（完全展开式）2阶和3阶行列式的计算公式:a11 a12 a21 a22 a11a22a12a21 .a11 a12
14、a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.a31 a32 a33一般地一个n阶行列式a11 a12 （ a1na21 a22 （ a2n（ （ an1 an2 （ ann的值是许多项的代数和每一项都是取自不同行不同列的n个元素的乘积其一般形式为:这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列它们的列标j1j2（jn构成 12 （n的一个全排列（称为一个n元排列）一共有n!个n元排列每个n元排列对应一项因此共有n! 个项所谓代数和是在求总和时每项先要乘1或1.规定? （j1j2（jn）为全排列
15、j1j2（jn 的逆序数（即小数排列在大数后面的现象出现的个数例如6元排列231645 有4个逆序:21316465因此?（231645） 4）则 所乘的是于是a11 a12 （ a1na21 a22 （ a2n （ （ an1 an2 （ ann 这里表示对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式的完全展开式.3. 性质行列式有以下性质: 把行列式转置值不变即|AT|A| . 某一行（列）的公因子可提出. 对一行或一列可分解即如果某个行（列）向量?则原行列式等于两个行列式之和 这两个行列式分别是把原行列式的该行（列）向量?换为? 或?所得到的行列式? 把两个行（列）向量交换 行列式的值变号. 如
16、果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数则行列式的值为0. 如果把一个行（列）向量的倍数加到另一个行（列）向量上则行列式的值不变.把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的 n1阶行列式称为（ij ）位元素aij 的余子式记作Mij.称Aij （1） ijMij 为aij的代数余子式. 行列式可对某一行（列）展开即行列式的值等于该行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和. 某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和0. 如果A与B都是方阵（不必同 阶）则A A O |A|B|.O B B范德蒙行列式:形如1 1 1 （ 1 a1 a2 a3 （ ana12 a22 a3
17、2 （ an2（ （ （a1ni a2ni a3ni （ anni的行列式（或其转置）.它由a1a2 a3（an所决定它的值等于因此范德蒙行列式不等于0（ a1a2 a3（an两两不同. 4.计算行列式的核心问题是值的计算.（1）用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大. 只在有大量元素为0 使得只有少数项不为0时才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式上（下）三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积因为其它项都为0.（2）化零降阶法:取定一行（列）先用性质把这行（列）的元素消到只有一个或很少几个不为0再用对这行（列）展开.例如设4 阶行列式1 1 1 1D 2 x 3 1 2 2 x 4
18、3 3 4 x取第1行把第234行各减去第一行得到1 0 0 0 x2 5 3 x2 2D 2 x2 5 3 0 x2 2 （x2） 1 x3 （x 2） （x2 ）（x3）2（x 2）（x1）（x4 ）.2 0 x2 2 0 1 x3 3 0 1 x3（3）利用性质简化计算主要应用于元素有规律的行列式包括n阶行列式.5.克莱姆法则克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n （即系数矩阵为n阶矩阵）时如果它的系数行列式不等于0 则方程组有唯一解这个解为（D1D D2D（DnD）这里D 是系数行列式的值 Di是把系数行列式的第i个列向量 换成常数列向量所得到的行列式的值.两点说明: 按法
19、则给的公式来求解计算量太大，没有实用价值. 因此法则的主要意义在理论上.（实际求解方法:对增广矩阵（A|? ）作初等行变换使得A变为单位矩阵此时?变为解. ） 法则的改进事实上系数行列式不等于0 是唯一解的充分必要条件.练习题一1计算行列式（1） 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 . （2） 1 4 9 16 4 9 16 25 9 16 25 36 16 25 36 49 . 2. （1） a 0（0 b （2） a1 0 a2 0 0 0 0 b1 0 b20 0 c1 0 c2 0 c 0（0 d . 0 d1 0 d2
20、. 3. 计算n 阶行列式（1） 1 2 3 n1 n 1 2 3 n1 n 1 2 3 n1 n 1 2 3 1n n （2） 1 2 2 2 2 （3） 1 2 3 n （4） 1 a1 0 0 0 2 2 2 2 2 2 1 2 n1 1 1a1 a2 0 02 2 3 2 2 3 2 1 n2 0 1 1a2 0 0 2 2 2 2 n n n1 n2 1 0 0 0 1 1an 4. 设4阶矩阵A（? ?1 ?2 ?3）B（? ?1 ?2 ?3）|A| 2 |B|3 求|AB| . 5. 一个三阶行列式的值为8，它的第二行的元素是1 ，2，a ，它们的余子式依次为A212，A221，
21、A231 ，则a （ ）.6. x33 1 3 2x2多项式f（x） 7 5 2x 1 ，求f （x）的次数，最高次项的系数和常数项.X 3 1 3 3x229 x3 6 6 7. x2 x1 x2 x3求多项式f（x） 2x2 2x1 2x2 2x3 的次数.3x3 3x2 4x5 3x54x 4x3 5x7 4x38.已知 x3 a 1 4f（x ） 5 x8 0 2 的根为x1 x2 x3 x4求 x1x2x3 x4.b x 1 12 2 1 x9. 求行列式 0 1 0 0 0 的全部代数余子式的和.0 0 21 0 00 0 0 31 0 0 0 0 0 （n1）1n1 0 0 0
22、010 a b c d已知行列式 x 1 y z1 的代数余子式A11 9A123A131A143求xyz. 1 z x3 yy2 x1 0 z3参考答案1.（ 1） 把各列都加到第1列上提出公因子. 得（4a2 ）（a2 ）4.（2） 自下而上各行减去上一行（作两次）.得0.2.用 换行（列）的方法.得（ 1） （adbc）|B|.（3） （a1c2 a2c1）（b1d2b2d1 ）.3. （1）提示：把第一行加到其它各行 得2n1n! （2） 第3到n行各减第二行 得（n2 ）!4 （3） 提示：自下而上各行减去上行 得（1）n12 n2（n1） （4） 提示：从第2行起，自上而下各行加上
23、行 得1 4. 得40.5. 得8.6. 最高次只出现在下面划线 的4 个元素的乘积一项中常数项即f（0）. 得9 6 0.7. 2.8. 提示: 利用特征值的性质.得10.9. 提示: 利用伴随矩阵.得（1 ）n1（n1 ）2（n1）!.10.x 0y3z1.第三部分 线性方程组1. 线性方程组的形式线性方程组除了通常的写法外还常用两种简化形式：矩阵式 AX ?，（齐次方程组AX0 ）.向量式 x1?1 x2?2（ xs?s ?， （齐次方程组 x1?1 x2?2 （ xs?s 0）.2. 线性方程 组解的性质（1） 齐次方程组AX0如果?1?2 （ ?s是齐次方程组AX0的一组解则它们的任
24、何线性组合c1?1 ?c2?2 （ cs?s也都是解.（2） 非齐次方程组AX?（0 ）如果?1?2 （ ?s是AX?的一组解则 它们的线性组合c1?1?c2?2（ cs?s也是AX?解的（c1 ?c2 （ cs1. 它们的线性组合c1?1?c2?2（ cs?s是AX?的解（ c1?c2（ cs0.如果?0是AX ?的一组解则n维向量（n是未知数的个数）?也是解（?0是导出齐次方程组AX?的解.（?是?0和AX ?的一个解的和.）3. 线性方程组解的情况的判别对于方程组AX?判别其解的情况用三个数 :未知数个数nr（A ）r（A|?）. 无解（r（A ）ltr （A|? ）. 有唯一解（r（A
25、 ）r（A|? ）n.（当A是方阵时就推出克莱姆法则.） 有无穷多解（r（A ）r（A|? ）ltn.方程的个数m虽然在判别公式中没有出现但它r （A）和r （A|?）的上限因此当r（A）m时 AX? 一定有解.当mltn 时一定不是唯一解.对于齐次方程组AX?判别解的情况用两个数 : nr（A ）.有非零解（ r（A ）ltn（只有零解（r （A ）n）.推论 当A 的秩等于列数n时 A 在矩阵乘法中有左消去律:AB ?（ B? ABAC （ BC?4. 齐次方程组基础解系 线性方程组的通解（1） 齐次方程组基础解系如果齐次方程组AX?有非零解 则它的解集（全部解的集合）是无穷集称解集的每个
26、极大无关组为AX ?的基础解系.于是 当?1?2（ ?s是AX? 的基础解系时向量?是AX?的解（?可用?1?2（ ?s线性表示.定理 设AX?有n个未知数则它的解集的秩（即基础解系中包含解的个数）等于nr （A ）.于是判别一组向量?1?2（ ?s是AX?的基础解系的条件为 ?1?2（ ?s是AX?的一组解. ?1?2（ ?s线性无关. snr （A ）.（2） 线性方程组的通解如果?1?2 （ ?s是齐次方程组AX?的基础解系则AX?的通解（一般解）为c1?1?c2?2（ cs?s 其中c1?c2?（ cs?可取任何常数.如果?0是非齐次方程组AX?的解?1?2（ ?s是 导出组AX?的基
27、础解系则AX? 的通解（一般解）为?0 c1?1?c2?2（ cs?s 其中c1?c2? （ cs?可取任何常数.练习题四 1. 求齐次方程组的基础解系和通解 : 3x12x2?x33x45x50，? 6x14x2 ?3x35x4 7x50，9x1 6x2 ?5x3 7x49x50，3x12x2 4x48x5 0. 2. 已知方程组x1 x2?2x33x41，? x13x2 ?x3x43，3x1x2 ?k1x315x43，x15x210 x3 ?x4k2 有有无穷多个解求k1k2的值并求此方程组的通解.3. ?x1kx2?2x31，? 已知方程组?x1x2 ?kx3 ?，有无 穷多个解求k的值
28、并求此方程组的通解.5x15x24x3?1 4. x12x2x3 x4 0 已知齐次方程组 x2px3x40 的基础解系含两个解求pq的值和方程组的通解.2x13x2x3qx4 05. （1 a）x1 x2x3 3aa2a为何值时线性方程组 x1（1a ）x2x3 3a2a3 有无穷多解 写出通解. x1x2 （1a）x3 3a3 a46. 1 1 1 1 1设 ? 2 1 0 4 ，?a ?已知线性方程组?X?有解? 求ab 并写出通解. ?0 ? 6 3 5 4 3 1 b 7. x1x2 x30已知齐次线性方程组 x12x2px3 0 有非零解则p . x14x2p2x308. 设?是m
29、（n 矩阵它的列向量组为?1? 2?n则（A）如果非齐次方程组?X ? 有唯一解则m n并且|?| 不为0.（B）如果?1? 2?n线性相关则非齐次方程组?X? 有无穷多解.（C）总存在m维向量? 使得方程组?X?有无解.（D）如果?X?有唯一解 则m （n.1 2 39 设 Q 2 4 t ，矩 阵P （0 ，使得 PQ0 ，则（ ）3 6 9 （A）当t6时，r（P）1； （B ）当t6 时，r（P）2；（C ）当t（6时，r（P ）1； （D）当t（6时，r（P）2 10.设123是齐次方程组?X0 的一个基础解系，则（ ）也是?X 0的基础解系.（A） 132132.（B） 123.（
30、C） 1223123.（D） 1223 31 123.11. 设 ?是?元非齐次线性方程组AX?的三个无关线性的解，已知r（A ）1 则（ ）（A） ?是?X0 的基础解系.（B） c（?2?）是?X0的通解.（C） c1?c2? c3?（c1c2c30 ） 是?X0的通解.（D） ?是?X0的基础解系.12.设?是m（n 矩阵非齐次方程组?X?有无穷多解则（ ）正确.（A）?X O有非零解 .（B ） m（n.（C ） n（m .（D） mn 并且|?|0.13. 设 ?是m（n 矩阵，r（?）n2，?1?2?3是非齐次方程组?X? 的三个不同解，则 （A）?1 ?2?3线性相关? （B）
31、?1?2?2?3是齐次方程 组?X? 的基础解系. ?（C）?当?1?2?3线性无关时? 则k1?1 k2?2k3?3，其中k1k2k3是满足k1k2k31的任何数.?是?X ?的通解（D）?1?2?3 的任何线性组合都是?X?的解. 14 设?1?2?3?4 是非齐次方程 组?X ? 的四个不同解，并且a?1?2b?3 2?4也是?X?的解，?12b?2a?33?4 是?X? 的解，则a ，b .15. 已知 ?1?（010）和?2（322）都是方程组x1x22x313x1x24x31ax1bx2cx3d的解求通解.16 设（）和（）是两个四元 齐次线性方程组，（）为 x1x20 ，x3x4
32、 0，（ ）有一个基础解系（0 ，1，1 ，0），（1 ，2 ，2，1）求（）和（）的全部公共解17 设（）和（）是两个四元齐次线性方程组，（）是将它们合并而得到的方程组已知（1，0 11）（1010 ）（0110 ）是（ ）的一个基础解系（0101 ）（1，1 ，1，0）是（）的一个基础解系求（）的通解18已知方程组x12x2 x3 x4m x1 3x3 2 （） 3x1nx23x32x411 （） x22x3 52x1 2x2 px3 x44 x4 10同解，求m，n，p19 设B是3 阶非零矩阵，它的每个列向量都是方程组x1 2x22x302x1 x2kx303x1 x2 x30的解求k
33、，并证明|B|020 设（）是有n个未知数的非 齐次线性方程组，系数矩阵的秩为s， 证明：如果（）有解，则 （）有ns1 个线性无关的解. （）的任意ns2个解都线 性相关21.设A是m（n 实矩阵证明 r（ATA）r （A）； r（A ）n （ ATA可逆22.证明n 元非齐次线性方程组AX?有解（ ATY0 的解都适方程?TY 0.23. x1 x2 x3x413， 3x1mx23x32x4h，已知线性方程组（I）?x24x3x40 的解都满足方程组（II） x1nx2 x3 x4k，x1x2 5x3 7 求mnhk 并求（II）的一般解. 24 设?1 （1a21 ）?2（ 13a1）?
34、3（1231）?4（3671）?5（1131）已知?1?2?3?4线性相关?5可用?1?2?3?4线性表示求a 并写出?5 用?1?2?3?4线性表示的一般表示式.25 设线性方程组（I）与（ II）有公共的非零解其中（I）为?3x1 5x2 2x34x40x1 x2 x3x40，? x1tx22x3 0 （II ）有基础解系1（11 10）2（2pp11）求pt的值和全部公共解.参考答案7. p 1或2. 8.（C）.1 2 39 设 Q 2 4 t ，矩 阵P （0 ，使得 PQ0 ，则（ ）3 6 9 （1）当t6时，r（P）1； （2 ）当t6 时，r（P）2；（3 ）当t（6时，r（
35、P ）1； （4）当t（6时，r（P）2 10.（C）.11. （ B） .12. （ A）?.13. （ C）? 14 a6，b 4.15. 已知 ?1?（010）和?2（322）都是方程组x1x22x313x1x24x31ax1bx2cx3d的解求通解.16 设（）和（）是两个四元齐次线性方程组，（）为 x1x2 0，x3x4 0，（ ）有一个基础解系（0 ，1，1 ，0），（1 ，2 ，2，1）求（）和（）的全部公共解17 设（）和（）是两个四元齐次线性方程组，（）是将它们合并而得到的方程组已知（1，0 11）（1010 ）（0110 ）是（ ）的一个基础解系（0101 ）（1，1 ，1
36、，0）是（）的一个基础解系求（）的通解18已知方程组x12x2 x3 x4m x1 3x3 2 （） 3x1nx23x32x411 （） x22x3 52x1 2x2 px3 x44 x4 10同解，求m，n，p23. x1 x2 x3x413， 3x1mx23x32x4h，已知线性方程组（I）?x24x3x40 的解都满足方程组（II） x1nx2 x3 x4k，x1x2 5x3 7 求mnhk 并求（II）的一般解. （m 3n2h 11k 2.） 24 a2?5（12c）?1?2 （1 c）?3c?4.25 p2t3c （0231）. 第四部分 n维向量空间向量组的线性关系与秩1. 向量
37、组的线性表示关系如果n维向量?等于n维向量组 ?1?2（ ?s的一个线性组合，就说?可以用?1?2（ ?s线性表示.判别“?是否可以用?1?2 （ ?s线性表示 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x1?1 ?x2?2（ xs?s?是否有解？解是否唯一？这个向量方程用分量写出就是以?1?2（ ?s?为增广矩阵的线性方程组?设?1?2（ ?s?和?1?2（ ?t?都是n维向量组如果每个?i都可以用?1?2（ ?s线 性表示则说向量组?1?2（ ?t可以用?1?2（ ?s线性表示.例如 乘积矩阵AB的列向量组 可以用A 的列向量组线性组合.反之如果向量组?1?2 （ ?t可以用?1?2 （ ?s线
38、性表示则矩阵（?1?2（ ?t）等于矩阵（?1?2（ ?s）和一个s（t矩阵C的乘积. C可以这样构造: 它的第i个列向量就是?i对?1?2（ ?s的分解系数.当向量组?1?2（ ?s?和?1?2（ ?t?互相都可以表示时?就说它们互相等价? 并记作?1?2（ ?s?（?1?2（ ?t?向量组的线性表示关系有传递性?从而等价关系也有传递性?2. 向量组的线性相关性线性相关性是描述向量组内在关系的概念.定义 设?1?2 （ ?s?是n维向量组如果存在不全为0的一组数c1c2（ cs使得 c1?1 c2?2（ cs?s0则说?1?2 （ ?s?线性相关? 否则（即要使得c1?1 c2?2（ cs?
39、s0必须c1c2（ cs全 为0）就说它们线性无关 .于是?1?2（ ?s?“线性相关还是无关” 即x1?1 x2?2（ xs?s0“有还是没有非0 解” 也就是以（?1?2（ ?s?）为系数矩阵的齐次线性方程组有无非0解.一个向量（s1）相关（无关）即它是（不是）零向量.与线性相关性有关的性质: ?1?2（ ?s?线性相关（至少有一个 ?i可以用其它向量线性表示. 当向量的个数s大于维数n时?1?2（ ?s?一定线性相关. 线性无关向量组的每个部分组都无关（从而每个向量就不是0）. 如果?1?2（ ?s?线性相 关?而?1?2（ ?s?线性相关?则?可用?1?2（ ?s? 线性表示. 如果?
40、可用?1?2 （ ?s?线性表示? 则表示方式唯一（?1?2（ ?s?线性无关. 如果?1?2（ ?t可以用?1?2（ ?s线性表示，并且 tgts 则 ?1.?2（?t 线性相关.推论 如果两个线性无关的向量组互相等价则它们包含的向量个数相等.3.向量组的极大无关组和秩秩是刻画向量组相关“程度” 的一个数量概念.它表明向量组可以有多大的线性无关的部分组.定义 设?1?2 （ ?s?是n维向量组（I）是它的一个部分组.如果 （I）?线性无关. （I）?在扩大就线性相关 . 就称（I）为?1?2（ ?s?的一个极大无 关组.条件可换为:任何?I都可用（ I）?线性表示? 也就是（I） ?与?1?
41、2（ ?s?等价?当?1?2 （ ?s?不全为零向量时?它就存在极大无关组?并且任意两个极大无 关组都等价?从而包含的向量个数相等?定义?如果?1?2 （ ?s?不全为零向量?则把它的极大无关组中所包含向量的个数?是一个正整数?称为?1?2 （ ?s?的秩? 记作r（?1?2 （ ?s?）. 如果?1?2（ ?s?全是零向量?则规定r（?1?2（ ?s?）0. 秩有以下性质: ?1?2（ ?s?线性无关（ r（?1?2（ ?s?）s.? 可用?1?2 （ ?s?线性表示（r （?1?2（ ?s，? ）r（?1?2（ ?s?）.（见例3.2） 如果r（?1?2 （ ?s?）k 则i）?1?2（
42、?s?的每个含有多于k 个向量的部分组相关.ii） ?1?2（ ?s?的每个含有k个向量的无关部分组一定是极大无关组 如果?1?2（ ?t可以用?1?2（ ?s线性表示则?r（?1?2（ ?t）（r（?1?2（ ?s?）.如果?1?2 （ ?s和?1?2 （ ?t等价则?r（?1?2 （ ?s?）r（?1?2（ ?t）.极大无关组和秩的概念可以推广到向量集合上（即包含的向量的个数不必有限）所有性质仍然成立.4. 有相同线性关系的向量组两个向量数相同的向量组?1?2（ ?s和?1?2 （ ?s称为有相同线性关系如果向量方程x1?1 x2?2（ xs?s0 和x1?1 x2?2（ xs?s0同解.
43、（例如当A经过初等行变换化为B 时 A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.）当?1?2 （ ?s和?1?2 （ ?s有相同线性关系时（1）它们的秩相等.（2）它们的极大无关组相对应.（3）它们有相同的内在线性表示关系.5.矩 阵的秩定义 一个矩阵A的行向量组 的秩和列向量组的秩相等称为此矩阵的秩记作r（A）.于是r（A ）0（ A0.如果A是m（n矩阵则r（A）（Minmn 当等号成立时称A为满秩的. 如果A是n阶矩阵则A满秩即r（A）n （ A的行（列）向量组无关（|A|（0 （A可逆（ AX?有唯一解（齐次方程组AX0只有零解.命题 初等变换保持矩阵 的秩?阶梯形矩阵的秩等于它的非零行
44、的个数? 矩阵A的r 阶子式:任取 A的r 行和r列在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式 .命题 r（A ）就是A的不等于0的子式的阶数的最大值.（即A 的每 个阶数大于r （A）的子式都为0都是A有阶数等于r（A）非0子式.）在作矩阵的运算中矩阵的秩有性质: r（A T） r（A ）. 如果c不为0则r（cA）r（A ）. r（A（B ）（r（A） r（B）. （Minr （A ）r（B）. 当A（或B）可逆时r （AB）r（B）（或r （A）. 如果AB0n为A的列数（B的行数）则r （A）r （B）（n. 如果r（A）等于列数则r（AB）r（B ）.下面给出和在判别向量组的线性相关性和秩的计算问题上的应用.设向量组?1?2（ ?s线性无关向量组?1?2（ ?t可用?1?2（ ?m线性表示表示矩阵为C则i） r（?1?2 （ ?t）r（C）.ii） 如果t s （此时C 是t 阶矩阵）
