1、1,高等数学,北邮世纪学院基础部,华卫兵,2,2.2 函数的极限,3,(复习),数列xn = f (n)可看成自变量为n的函数,定义域为N+.,数列xn的极限为a即当n时，对应函数值f (n)无限接近于确定的数a 。,函数的极限：在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于某个确定的数，称这个确定的数就叫在这一变化过程中函数的极限。,4,三种情形时函数的极限：自变量趋于有限值(xx0)时, 对应函数值的变化情形；(2)自变量从单侧趋于有限值(xx0)时, 对应函数值的变化情形；自变量的绝对值无限增大(x) 时, 对应函数值的变化情形。,5,人影长度 ,考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其
2、影子的长度若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度为 H。由日常生活知识知道，当此人直向目标时，其影子长度越短，当人越来越接近终点（数学上如何描述）时，其影子的长度逐渐趋于0（ 数学上如何描述 ）。,6,1、xx0时, f(x)的极限,问题1：函数y=f(x)在x x0的过程中， 对应函数值f(x)无限接近于确定值A。,引例,在x=1时， g(x)有定义，f(x)无定义，如图可知，当x从左从右无限趋近于1时， g(x)与 f(x)都无限接近于2。,问题2:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,7,定义,设f (x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的e 0, 总存在 d
3、0, 使得当0|x-x0 |d , 恒有|f (x) -A|e成立，则称x x0时函数f (x)以常数 A为极限，记为, “ -”定义,注：,8,几何意义,9,例1,证,例2,证,10,例3,证,函数在点x=1处没有定义.,11,例4,证,12,13,这就证明了,证,有,14,注 在例4、例5中, 我们将所考虑的式子适当放大,不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性.,其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的 ,15,显然有,即,故,16,17,同理可证:,18,证 因为,则,这就证明了所需的结论.,19,在上面例题中, 需要注意以下几点：,好的问题.,数都可以充当这个角色.,20,有
4、时为了方便,需要让 小于某个正数. 一旦对这,为贵”.,当然也能满足要求. 所以我们有时戏称 “ 以小,样的 能找到相应的 , 那么比它大的 , 这个 ,21,2.单侧极限:,例如,22,左极限,右极限,23,左右极限存在但不相等,例8,证,24,注意求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。 例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限 解： ， 函数在指定点的极限不存在。 ， 函数在指定点的极限,25,所以,26,定理,不存在.,特例,27,例10 证明狄利克雷函数,证,处处无极限.,满足,28,这就证明了结论.,则,29,3、x时, f(x)的极限,引例,
5、如图可知，当|x|无限增大时， f(x)无限接近于1, 即x时, f(x)1。,问题1：y=f(x)在x 的过程中, 对应函数值f(x)无限接近于确定值A。,问题2:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,30, 如果对于任意给定的正数 ，总存在着正数X ，使得当|x|X 时，恒有|f (x) -A| 成立，则称 x 趋于无穷大时函数 f (x) 以A为极限。记为：,定义, “ -X”定义, x+及x-情形,31,任意给定,存在,32,33,例12,这就是说,34,证 对于任意正数,这就是说,35,所以结论成立.,证 对于任意正数 , 可取,36,定理1 ( 惟一性 ),证 不妨设 以及,由极
6、限的定义，对于任意的正数,(1),37,(2) 式均成立，所以,(1) 式与,一的.,(2),38,定理 2（局部有界性）,证,由此得,有界.,这就证明了 在某个空心邻域 上有界.,39,注：,试与数列极限的有界性定理作一,(2) 有界函数不一定存在极限；,说明定理中 “局部” 这两个字是关键性的.,比较；,40,定理3（局部保号性）若,则对任何正数,由此证得,41,定理3,推论,42,4、子列收敛性(函数与数列极限的关系),定理4,证：,43,例如:,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,44,例15,证,二者不相等,45,在点 x0 的极限也
7、存在,并有,46,所以,例题选讲,47,例2,特别又有,48,例3 求当x时，下列函数的极限 解： 由此可见，求x时函数的极限与求数列的 极限的方法是相同的。,49,例4 求下列极限 解：,50,求极限的一般方法 直接代入法。以x=x0代入f(x)，如f(x0)有意义，则极限为f(x0) 约分法。如f(x)为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子g (x0)有意义，则函数极限极限为g (x0)。 有理化法。如f(x)为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再约分，如所得g (x0)有意义，则极限为g (x0)。 若x，f(x)为分式，分子、分母均为多项式时，可将分子、分母同除以x的最高次幂，再逐项求极限。,51,1、x时, f(x)的极限,2、xx0时, f(x)的极限,函数极限的统一定义,52,
