1、无师自通 核心讲义 严禁复制 1 1. 均值不等式法 例 1 设 .)1(3221 += nnSn! 求证 .2)1(2)1(2+nnnfff !例 3 求证),1(221321NnnnCCCCnnnnnn+!. 例 4 已知22 2121naa a+=L，22 2121nxx x+=L，求证：nnxaxaxa + !2211 1. 2利用有用结论 例 5 求证.12)1211()511)(311)(11( + nn!例 6 已知函数 .2,10,)1(321lg)( xxfxf 对任意Nn 且 2恒成立。 例 7 已知112111, (1 ) .2nnnaa ann+=+ +)(I 用数学归
2、纳法证明 2( 2)nan； )(II 对 ln(1 )xx+都成立，证明2nae L 。2log n 表示不超过 n2log 的最大整数。设正数数列na 满足： .2,),0(111+=nannaabbannn求证.3,log222+,1 ，求证)2)(1(8)32(+nan对一切正整数 n成立； 5 利用单调性放缩 : 构造函数 例 14 已知函数223)( xaxxf =的最大值不大于61，又当21,41x时.81)( xf（）求 a的值；（）设+=ax ， ,211+=+nnnxaxx （ I） 证明：对 2总有 axn ； (II) 证明：对 总有1+nnxx6 . 换元放缩 例 1
3、6 求证).2,(1211 +a， Nnn ,2 ，求证4)1(22anan. 7 转化为加强命题放缩 例 18 设 10na 例 19 数列 nx 满足 .,212211nxxxxnnn+=+证明 .10012001m，有8711154，21121(1)3n naxxx+， 12=L，； （）证明：2121nnaa an+L 例 25 已知函数 f(x)=x2-1(x0)，设曲线 y=f(x)在点（ xn,f(xn)）处的切线与 x轴的交点为（ xn+1,0） (n N*). ( ) 用 xn表示 xn+1； （）求使不等式1nnxx+ 对一切正整数 n都成立的充要条件，并说明理由； （）若
4、 x1=2，求证： .31211111121+nnxxx! 例 1 解析 此数列的通项为 .,2,1,)1( nkkkak!=+=2121)1( +=+=+ +1(1) ( ) (1 )22ffn+L211(1 ) (1 )22 22n+ + +L 1111 1 11(1 ) .42 2 2 2nnnn+= + + =+ L 例 3 简析 不等式左边12 3 nnn n nCC C C+ +L =12222112+=nn! n nn122221 ! =212nn ，故原结论成立 . 例 4 【解析】使用均值不等式即可：因为22(, )2xyxy x y R+，所以有2222221111 222
5、22nnnnaxaxaxax ax ax+ + +LL22 222 212 12111.2aa axx x+ +=+=+=其实，上述证明完全可以改述成求nnxaxaxa + !2211的最大值。本题还可以推广为： 若22 212 npaa a+=L，22 212(, 0)nqpqxx x+= L， 试求nnxaxaxa + !2211的最大值。 请分析下述求法：因为22(, )2xyxy x y R+，所以有222222112211 2222 2nnnnaxaxaxax ax ax+ + +LL22 222 212 12.nnaa axx x pq+ + +=+=LL故nnxaxaxa + !
6、2211的最大值为2pq+，且此时有 (1,2,)kkaxk n=L 。 上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“”的条件是 (1,2,)kkaxk n=L ，即 必 须 有2211nnkkkkax=，即只有 p=q时才成立！那么， 呢？其实例 6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化： 2222 2212 122 2 22 21, 1,()() () ()() ()nnpp p qq qaxaa xx+=+=LL无师自通 核心讲义 严禁复制 5 则有11 2211 22nnnnax ax axax ax ax pqpq+=LL2222 2212 122 2 22 2( ) ( )2
7、 ()() () ()() ()nnpqpqpp pqq qaa xx+=LL于是，11 22 max()nnax ax ax pq+ =L ，当且仅当(1,2,).kkaxknpq=L结合其结构特征，还可构造向量求解：设12 12(, , , ), (, , , )nnmaa anxx x=ur rLL，则 由|mn m nur r ur r立刻得解： 22 222 211 2 2 1 2 1 2| .nn n nax ax ax a a a x x x pq+ +=L 且取“”的充要条件是：1212nnxxxaa a=L。 2利用有用结论 例 5 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法
8、1 利用假分数的一个性质)0,0( + mabmambab可得 122563412nn! =+nn212674523! )12(212654321+ nnn! 12)122563412(2+ nnn! 即 .12)1211()511)(311)(11( + nn! 法 2 利用贝努利不等式 )0,1,2,(1)1( +xxnNnnxxn的一个特例12121)1211(2+kk(此处 )得121,2=kxn ，=+=)1211(121212111kkkknk.1212121+=+=nkknk例 6 简析 高考标准用 数学归纳法 证明，；这里给出运用柯西（ Cauchy）不等式=niiniinii
9、ibaba121221)( 的简捷证法： )(2)2( xfxf+nnanxxxx 2222)1(321lg!nnanxxxx+ )1(321lg2!2)1(321xxxxnan + ! )1(3212222 xxxxnann +）的结构特征，可得放缩思路：+ nnnanna )2111(21 1 211ln ln(1 ) ln2nnnaann+ +nnnna211ln2+ 。 于是nnnnnaa211lnln21+， 无师自通 核心讲义 严禁复制 6 .22112211)21(111lnln)211()ln(ln11211111）为 一有用结论，可 以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当 然
10、，本 题还可用结论 )2)(1(2 nnnn来放缩：+)1(1)1(11(1nnannann 111(1 )( 1)(1)nnaann+ + +111ln( 1) ln( 1) ln(1 ) .(1) (1)nnaann nn+ + log211121naan.log222nbban+ !来进行有效地放缩； 再如： 【解析】（） 1；（ ） 证 明 ： 由 （ ） 得 1xex+，对 x 1有 (1 )nnxxe+，利用此结论进行巧妙赋值：取 1, 1, 2, ,kxk nn= = L ，则有12 1011()12 1 1 1 1() () () () () () ()11111nnn nn
11、nneenn ne e ee eee+ + += ab则 )()1(11abbnabnnn+（ ）， 以nbna11,111 +=+= 代入（ ）式得+1)111(nn.)11(nn+ 。 即 na 单调递增。以nba211,1 += 代入（ ）式得.4)211(21)211(12nnnn。 此式对一切正整数 都成立，即对一切偶数有 4)11( = kkkkkk （只将其中一个 k变成 ，进行部分放缩），kkkkk111)1(112=+=+kkkkakaaakkkk，成立。 )(ii利用上述部分放缩的结论121+ kkaa来放缩通项，可得 +)1(211 kkaa111112(1)242kkk
12、kaa+ + =L 11112kka+11111()11 12.1124212nnniiiia+=+【注】上述证明 )(i 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩： 31)2)(2(1+kkkkak； 证明)(ii就直接使用了部分放缩的 结论 121+ kkaa 。 例 12 简析 观察n)32( 的结构，注意到nn)211()23( +=，展开得 12 3231111(1 ) 12222nnn nCC C+=+L(1)(1)( 2)6128 8nnn n n+ + = 即8)2)(1()211(+nnn，得证 . 例 13简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进行减项放缩，有
13、 法 1 用数学归纳法（只考虑第二步） 1)1(2212122212+=+=+ kkaaakkk ； 法 2 21222212+=+nnnn aaaa .1,2,1,2221=+nkaakk! 无师自通 核心讲义 严禁复制 8 则 + 1222)1(22212nnanaann12 + nan例 14 解析 （） =1 ；（ ） 由),(1nnaf=+得6161)31(2323221+=+ nnnnaaaa 且.0na用数学归纳法（只看第二步）： )(1 kkafa =+在 )11,0(+kak是增函数，则得.21)11(2311)11()(21+。 对 (II)有 =+1nnxxnnxax21
14、，构造函数,21)(=xaxxf它在 ), +a 上是增函数，故有 =+1nnxx nnxax210)( =af ，得证。 【注】 数列 nx 单调递减有下界因而有极限： ).( + naan+=xaxxf21)(是递推数列+=+nnnxaxx211的母函数，研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。 例 16 简析 令nnnhna += 1 ，这里 ),1(0 nhn则有 )1(1202)1()1(2+= nnhhnnhnnnnn，从而有.12111+， ba=，应用二项式定理进行部分放缩有 222221102)1()1( bnnbCCbCbCbCbannnnnnnnnnnn=+=+=
15、! ， 注意到 Nnn ,2 ，则42)1(222bnbnn（证明从略），因此4)1(22anan. 7 转化为加强命题放缩 例 18 解析 用数学归纳法推 1+=kn时的结论 11+na ，仅用归纳假设 1ka 及递推式 aaakk+=+11是难以证出的，因为k出现在分母上！可以逆向考虑：.11111aaaaakkk+=+故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数 n有 .111aan2 2 显然，左端每个因式都是正数，先证明一个加强不等式： 对每个 nN，有2n11 111 133 3（）（）（）1（2n11 133 3） 3 （用数学归纳法，证略）利用 3得2n11 111 133 3
16、（）（）（）1（2n11 133 3） 1n11133113（） 1nn11111123223（）（）。故 2式成立，从而结论成立。 8. 分项讨论 例 21 简析 （）略，（） .)1(23212 +=nnna ；（ ） 由 于 通 项 中 含 有n)1( ，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当 3n且 为奇数时 12222223)121121(2311213212121+=+=+nnnnnnnnnaa)2121(2322223123212+=+m且 为偶数时 ， =+maaa11154! )11()11(11654 mmaaaaa+! .878321)211(412321)212121(232
17、14243=+m且 为奇数时 ， += ,log)1(log)1(log)(222ccxcxcxcxcxg += 利用（）知，当 .)(,)2(21取得最小值函数时即xgcxcx= 对任意都有,0,021 xx2log22loglog21221222121xxxxxxxx+ 1)()log(21221+= xxxx （ 式是比式更强的结果） . 下面用数学归纳法证明结论 . （ i）当 n=1时，由（ I）知命题成立 . （ ii）设当 n=k时命题成立，即若正数有满足,1,221221=+kkpppppp ! 11111122212212222121221221222222121loglog
18、loglog.1,1.logloglog+=+=+kkkkkkkkppppppppHppppppknkpppppp!令满足时当 对（ *）式的连续两项进行两两结合变成k2 项后使用归纳假设，并充分利用 式有 ,1)()(,1)()log(1)()log(11111121221212221221221=+kkkkkkppppppppppppH!因为由归纳法假设 ,)(log)()(log)(1111212221221221kppppppppkkkk+!得 ).1()(1121221+=+kppppkHkk! 即当 =n时命题也成立 . 所以对一切正整数 n命题成立 . 无师自通 核心讲义 严禁复
19、制 11 【评注 】（ 1）式 也可以直接使用函数 xxxg2log)( = 下凸用 （）中结论得到； （ 2）为利用归纳假设，也可对（ *）式进行对应结合：iiinppq+=12而变成k2 项； （ 3）本题用凸函数知识分析如下：先介绍詹森（ jensen）不等式：若()fx为 , ba 上的下凸函数，则 对任意 1),1(0,1=+=niinibax ! ，有 ).()()(1111 nnnnxfxfxxf + ! 特别地，若ni1= ，则有 ).()(1)(11nnxfxfnnxxf !+若为上凸函数则改“ ”为“ ”。由 )(xg为下凸函数得)2(2)()()(221221nnnnpp
20、pgpgpgpg + !， 又12321=+npppp !，所以+nnpppppppp222323222121loglogloglog ! .)21(2 ngnn（ 4）本题可作推广如下：若正数nppp ,21! 满足 121=+nppp ! ，则 .lnlnlnln2211nppppppnn+ ! 。 简证：构造函数 1ln)( += xxxxf ， 易得 .1ln0)1()( = xxxfxf 1)ln()(iiinpnpnp .1)ln(npnppiii故 .0lnln01)ln(11+=iniiiniiippnpnpp 10. 构造辅助函数法 例 23 【解析】 (1) 求导可得 ()
21、fx在1-,0 2上是增函数 ,( ) ( )max min5f =2;f -ln2.2xx=（ 2）（ 数学归纳法 证明）当 n=时，由已知成立；假设当 nk时命题成立，即102kag(0)=f(0)-2=0， ( )nanaf+12 0,即nnaa +112210，得1+na 。 无师自通 核心讲义 严禁复制 12 例 24 【解析】 （）332nnna =+（ ） 提 供 如 下 两 种 思 路 ： 思路 1 观察式子右边特征，按11 x+为元进行配方 ，确定其最大值。 法 1 由（）知3032nnna =+，21121(1)3nxxx+2112111(1)3nxxx= +2111(1
22、)1(1)nxxxa= +211 2(1 ) 1nax x= +g 2111nnnaaax= +na， 原不等式成立 思路 2 将右边看成是关于 x的函数，通过求导研究其最值来解决 ： 法 2 设2112()1(1)3nfx xxx= +，则222 222(1 ) 2(1 ) 21 33()(1 ) (1 ) (1 )nnxxx xfxxx + + = =+ +g0xQ， 当23nx ；当23nx 时， () 0fx ，有 12222112 111(1)31(1)3naa a x xxx xx + + + + L21121(1)3nxxx+ +L 22122 21(1)33 3nnnxxx=
23、+L 取2211122 2 1 1331133 3 313nnnxnnn=+= =L， 则2212111111133nnnnnnaa annn+ = +L 原不等式成立 【注】本解法的着眼点是 对上述不等式中的 x进行巧妙赋值 ，当然，赋值方法不止一种，如：还可令1xn= ，得 222122 2 1 111111(1)33 3 31(1)nnnnnx nxxnn+=+L22211.1131(1 )nnnn=+ +思路 2 所证不等式是与正整数 n有关的命题，能否直接用 数学归纳法 给予证明？尝试： 无师自通 核心讲义 严禁复制 13 12 21233 3.3232 32 1nnnn+ +L（
24、1）当 n=时1213311325211=+，成立； （ 2）假设命题对 nk=成立，即12 21233 3.3232 32 1kkkk+ +L 则当 1=+时，有 12 12 112 1 133 33 33232 323 2 13 2kk kkk kkk+ + + +L， 只要证明21 213(1)13 2 2kkkk+；即证12 23(1) (1)(2)3132 2 1(2)(1) 32kkkkkk kkkk kk kk+= =+ + +， 即证121212322 321 2 1322(32)32 32 32 32kkkkkkkkkk kk+ + + +用二项式定理（展开式部分 项）证明，
25、再验证前几项即可。如下证明是否正确，请分析：易于证明332 1nnnnan=+对任意 nN 成立；于是23.32 1 1nnnnnann=+ 【注】 上述证明是错误 的！因为： ()1kfkk=+是递增的，不能逐步“缩小”到所需要的结论。可修改如下： 考虑21nn+是某数列 nb 的前 n项和 ，则2222(1) 11nnn nnbnnnn+= =+， 只要证明2223132 22.32kkkkkkkab k kkk+ +思路 3 深入观察所证不等式的结构特征 , 利用 均值不等式 可得如下妙证： 由1321nnnaaa+=+取倒数易得：3032nnna =+， 用 n项的均值不等式： 121
26、21211 1 2 2 211 133 3nnnaa a nnnaa a+=+ +LLL11111 ( ) 12331313nnnnnnnn=+， 212.1nnaa an+L 例 25 【解析】 ( ) .2121nnnxxx+=+（）使不等式1nnxx+ 对一切正整数 n都成立的充要条件是 x1 1. ( ) 基本思路：寻求合适的放缩途径。 探索 1 着眼于通项特征，结合求证式特点，尝试进行 递推放缩 ： +=+nnnxxx2)1(121)2(12)1(2)1(2)1(2111211211+=+=+nxxxxxxnnnnnn即 )2(12111+nxxnn。于是由此递推放缩式逐步放缩得.3
27、212121211111221=+nnnnnxxxx!无师自通 核心讲义 严禁复制 14 探索 2 从求证式特征尝试分析：结论式可作如下 变形 ： .312)2221(311111111221=+nnnxxx!逆向思考，猜想应有： .32111+nnx（用 数学归纳法 证明，略）。 探索 3 探索过渡“桥”，寻求证明加强不等式：由（ 2）知 xn 1，由此得 )2(2111+nxn。有 .213111111121+nxxxn! 尝试证明3122131 +nn.1321+nn证法 1（ 数 学归纳法 ，略）； 法 2 （用 二项展开式 部分项）：当 n 2时 2n=(1+1)n222210+=+nnCCCnnn.02)1(2132213222=+nnnnnn此题还可发现一些放缩方法，如： )(11111121=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+=+kkkkkk (15) )2(1)1(1+nnnnn(15) 111)11)(1122222222+=+=+jijijijijijiji
