1、学科：高等数学第一章 函数与极限知识点6 证明极限式与证明极限不存在的方法 精选习题作者：邹群例6.1(难度系数0.2) 证明： .arctnlim0x解析：利用函数极限的定义进行证明，即设 找X .证明：对于任意的 ，因 为 ，只要 ，取 ，则当0arctn2x2xX时，恒有 ，即 .xXarctnxarctlim0x例6.2(难度系数0.2) 设 ，证明：当 时 的极限存在 .222113nxn nnx解析：此题数列通项的因子个数趋于无限，思路是将无限个因子化为有限个因子.利用阶乘将数列通项化简，然后再直接求解 .证明： 22211limli3nxn 222131limn23li !n n
2、 21!1lilinn所以，当 时 的极限存在.nx例6.3(难度系数0.4) 证明：当 时， 的极限不存在.0x2sinfx解析：利用反证法，假设极限存在，通过函数极限与子列极限的关系，找到两个 趋于不同值的子列，再利用极限的唯一性得到矛盾.证明：不妨设 的极限存在 ，取两个趋于0的子列 ，02limsnx 2k， .2/kk但 ， sinsin212kk2sin3k，两个子列的极限值不相等.根据函数极限与子列极限的关系3sin1可得 的极限不存在. 2sifx例6.4(难度系数0.4) 证明： 不存在.01arctnlim2xx解析：由 ， ，可知需要通过讨论左右极限来证01limarct
3、nx01liarctnx明.证明： ， ，左右极限0rt2li142acnxx 01arctn2lim42xx不相等，故 不存在 .10elimx例6.6(难度系数0.6) 证明 lim1.n解析: 利用二项式定理及数列极限的定义来证明，注意定 义中 的选择要保证不等式N恒成立即可.证明：令 ，则1nnh.2 2(1)(1)() ()!nnn nhh即当 时， ，于是得 .也就是 .2n2(1)nh2n21n故对于任意的 取 ,当 时，便有 ，0,24maxNNnnh所以 lim1.n例6.7(难度系数0.4) 设 ，证明: 112,(),(12,3)nnaa存在，limna并求出其极限 .解析：由数学归纳法来证明数列 单调和有界，然后由单调有界准则可知na极限必存在.最后通过解方程可求解其极限.此方法在知 识点10将有详细介绍，这里仅举一例.证明： 首先易见 且 .即数列有下界.0na11()2nnnaa， ，则 .12a15()412假设 ，下面对n用数学归纳法证明.上面已经证实n=1时成立.1n设n=k时结论成立，即 ，则当n=k +1时：1ka，即 .121 11()()()()022kkk kka a 1na故数列 单调递减.所以由单调有界准则可知， 存在.n limn令 ，对方程 两边取极限得 ，解得 . limna1()2nnaa1()2a1a
