将军饮马的六大常见模型.pdf

1、小马成群 -初三数学丏题复习之将军饮马 page 1 of 7 将军饮马 问题 线段和最短 一 六大 模型 1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、 B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、 B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 3.如图，点 P 是 MON 内的一点，分别在 OM， ON 上作点 A， B。使 PAB 的周长最小 4.如图，点 P， Q 为 MON 内的两点，分别在 OM， ON 上作点 A， B。使四边形 PAQB 的 周长最小。 5.如图，点 A 是 MON 外的一点，在射线 ON 上作点

2、P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小 6. .如图，点 A 是 MON 内的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小 小马成群 -初三数学丏题复习之将军饮马 page 2 of 7 DAB CME HMDACBEFEB DBACMN30 2ABCMN30 2MNBBAC二 、 常见题目 Part1、 三角形 1 如图，在等边 ABC 中， AB = 6， AD BC， E 是 AC 上的一点， M 是 AD 上的一点，丐 AE = 2，求 EM+EC 的最小值 解 ： 点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B， 连接 BE，交 AD 于点

3、 M，则 ME+MD 最小， 过点 B 作 BH AC 于点 H， 则 EH = AH AE = 3 2 = 1， BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3 在直角 BHE 中， BE = BH2 + HE2 = (3 3)2 + 12 = 2 7 2 如图，在锐角 ABC 中， AB = 4 2， BAC 45， BAC 的平分线交 BC 于点 D， M、 N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 _ 解 ： 作点 B 关于 AD 的对称点 B， 过点 B作 BE AB 于点 E，交 AD 于点 F， 则线段 BE 的长就是 BM的最小值 在等腰

4、RtAEB中， 根据勾股定理得到， BE = 4 3 如图 ， ABC 中， AB=2， BAC=30， 若在 AC、 AB 上各取一点 M、 N， 使 BM+MN 的值最小， 则 这个最小值 解 ： 作 AB 关于 AC 的对称线段 AB， 过点 B作 BN AB，垂足为 N，交 AC 于点 M， 则 BN = MB+MN = MB+MN BN 的长就是 MB+MN 的最小值 则 BAN = 2BAC= 60， AB = AB = 2， ANB= 90， B = 30。 AN = 1 在直角 ABN 中，根据勾股定理 BN = 3 小马成群 -初三数学丏题复习之将军饮马 page 3 of

5、7 MB CDANPEB CDAPQB CDAEB CDAPart2、 正方形 1 如图，正方形 ABCD 的边长为 8， M 在 DC 上，丐 DM 2， N 是 AC 上的一动点， DN MN 的最小值为 _。 即在直线 AC 上求一点 N，使 DN+MN 最小 解 ： 故作点 D 关于 AC 的对称点 B，连接 BM， 交 AC 于点 N。则 DN BN 线段的长就是 DN的最小值 在直角中， 则 故 DN的最小值是 2 如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12， ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使PD PE 的和最小，则这个最小值为

6、（ ） A 2 3 B 2 6 C 3 D 6 解 ： 即在 AC 上求一点 P，使 PE+PD 的值最小 点 D 关于直线 AC 的对称点是点 B， 连接 BE 交 AC 于点 P，则 BE = PB+PE = PD+PE， BE 的长就是 PD+PE 的最小值 BE = AB = 2 3 3 在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、 PQ，则 PBQ 周长的最小值为 _ （结果不取近似值） . 解 ： 在 AC 上求一点 P，使 PB+PQ 的值最小 点 B 关于 AC 的对称点是 D 点， 连接 DQ，与 AC 的交

7、点 P 就是满足条件的点 DQ = PD+PQ = PB+PQ 故 DQ 的长就是 PB+PQ 的最小值 在直角 CDQ 中， CQ = 1 ， CD = 2 根据勾股定理，得， DQ = 5 4 如图， 四边形 ABCD 是正方形 ， AB = 10cm， E 为边 BC 的中点， P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值； 解 ： 连接 AE，交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值 在直角 ABE 中，求得 AE 的长为 5 5 小马成群 -初三数学丏题复习之将军饮马 page 4 of 7 PA DCBAPECADBHPEC DACBPart3、 矩 形 1

8、 如图， 若四边形 ABCD 是矩形 ， AB = 10cm， BC = 20cm， E 为边 BC 上的一个动点， P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PD的最小值； 解 ： 作点 C 关于 BD 的对称点 C，过点 C， 作 CB BC，交 BD 于点 P，则 CE 就是 PE+PC 的最小值 直角 BCD 中， CH = 205直角 BCH 中， BH = 8 5 BCC的面积为： BHCH = 160 CEBC = 2160 则 CE = 16 Part4、 菱 形 1 如图， 若四边形 ABCD 是菱形 ， AB=10cm， ABC=45， E 为边 BC 上的一个动点， P 为

9、BD上的一个动点，求 PC+PE的最小值； 解 ： 点 C 关于 BD 的对称点是点 A， 过点 A 作 AE BC， 交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值 在等腰 EAB 中，求得 AE 的长为 5 2 Part5、 直角梯 形 1 已知直角梯形 ABCD 中， ADBC， AB BC， AD=2， BC=DC=5，点 P 在 BC 上秱动，则当 PA+PD 取最小值时，APD 中边 AP上的高为（ ） A、 17172B、 17174C、 17178D、 3解 ： 作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AD，交 BC 于点 P 则 AD = PA+PD = PA+P

10、D AD 的长就是 PA+PD 的最小值 SAPD = 4 在直角 ABP 中， AB = 4， BP = 1 根据勾股定理，得 AP = 17 AP 上的高为： 2417= 8 1717小马成群 -初三数学丏题复习之将军饮马 page 5 of 7 PA BADOCPA BANOMxyC DCBAOPPart6、 圆 形 1 已知 O 的直径 CD 为 4， AOD 的度数为 60，点 B 是 AD的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值 解 ： 在直线 CD 上作一点 P，使 PA+PB 的值最小 作点 A 关于 CD 的对称点 A，连接 A

11、B， 交 CD 于点 P， 则 AB 的长就是 PA+PB 的最小值 连接 OA， OB，则 AOB=90， OA = OB = 4 根据勾股定理， AB = 4 2 2 如图， MN 是半径为 1 的 O 的直径，点 A 在 O 上， AMN 30， B 为 AN 弧的中点， P 是直径 MN 上一动点，则PA PB 的最小值为 ( ) A 2 2 B 2 C 1 D 2 解 ： MN 上求一点 P，使 PA+PB 的值最小 作点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，交 MN 于点 P， 则点 P 就是所要作的点 AB 的长就是 PA+PB 的最小值 连接 OA、 OB，则 OAB 是

12、等腰直角三角形 AB = 2 Part7、 一 次函数 20 一次函数 y=kx+b 的图象与 x、 y 轴分别交于点 A（ 2， 0）， B（ 0， 4） （ 1）求该函数的解析式； （ 2） O 为坐标原点，设 OA、 AB 的中点分别为 C、 D， P 为 OB 上一动点，求 PC PD 的最小值，并求取得最小值时 P 点坐标 解 ： (1)由题意得： 0 = 2x+b， 4 = b 解得 k = -2， b= 4， y = -2x+4 (2)作点 C 关于 y 轴的对称点 C，连接 CD，交 y 轴于点 P 则 CD = CP+PD = PC+PD CD 就是 PC+PD 的最小值 连

13、接 CD，则 CD = 2， CC = 2 在直角 CCD 中，根据勾股定理 CD = 2 2 求直线 CD 的解析式，由 C(-1， 0)， D(1， 2) ，有 0 = -k+b， 2 = k+b 解得 k = 1， b = 1， y = x+1 当 x = 0 时， y =1，则 P(0， 1) 小马成群 -初三数学丏题复习之将军饮马 page 6 of 7 xyPBCAOxyCBA ODxyBA OCPart8、 二 次函数 1 如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（ -2， 0），连结 0A，将线段 OA绕原点 O 顺时针旋转 120。，得到线段 OB. （ 1）求点 B 的坐标；

14、 （ 2）求经过 A、 O、 B 三点的抛物线的解析式； （ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使 BOC 周长最小？若存在 求出点 C 坐标；若不存在，请说明理由 . 解 ： (1)B(1， 3 ) (2) y = 33x2 + 2 33x (3)点 O 关于对称轴的对称点是点 A，则连接 AB， 交对称轴于点 C，则 BOC 的周长最小 y = 33x2 + 2 33x ，当 x=-1 时， y = 33C(-1，33) 2 如图，在直角坐标系中， A， B， C 的坐标分别为（ -1， 0），（ 3， 0），（ 0， 3），过 A， B， C 三 点的抛物线的对称轴为直线

15、l， D 为直线 l 上的一个动点， (1)求抛物线的解析式； (2)求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标； (3)以点 A 为圆心，以 AD 为半径作圆 A； 解 ： （ 1） 证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与圆 A 相切； 写出直线 BD 与圆 A 相切时，点 D 的另一个坐标。 （ 2） 连接 BC，交直线 l 于点 D，则 DA+DC = DB+DC = BC， BC 的长就是 AD+DC 的最小值 BC： y = -x + 3 则直线 BC 与直线 x = 1 的交点 D(1， 2)， 3 抛物线 y = ax2+bx+c(a0)对称轴为 x = -1，与 x 轴交于

16、A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 A(-3， 0)、 C(0， -2) （ 1）求这条抛物线的函数表达式 （ 2）已知在对称轴上存在一点 P，使得 PBC 的周长最小请求出点 P 的坐标 （ 3）若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O、点 C 重合）过点 D 作 DEPC 交 x 轴于点 E，连接 PD、 PE设 CD的长为 m， PDE 的面积为 S求 S 与 m 之间的函数关系式 试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由 (1)由题意得 b2a= 19a-3b+c = 0c = -2解得 a =23， b = 43， c = - 2 抛物线

17、的解析式为 y = 23x2 + 43x - 2 小马成群 -初三数学丏题复习之将军饮马 page 7 of 7 xyEPBCAOD(2)点 B 关于对称轴的对称点是点 A，连接 AC 交对称轴于点 P，则 PBC 的周长最小 设直线 AC 的解析式为 y = kx +b， A(-3， 0)， C(0， -2)，则 0 = -3k + b-2 = b 解得 k = - 23， b = -2 直线 AC 的解析式为 y = - 23x 2 把 x = -1 代入得 y = - 43， P(-1， - 43) (3)S 存在最大值 DEPC，OEOA= ODOC，即OE3= 2-m2OE = 3 - 32m ， AE = OAOE = 32m 方法一，连接 OP S = S 四边形 PDOE SOED = SPOE + SPOD SOED = 12(3 - 32m)43+ 12(2 - m)1 - 12(3 - 32m)(2 - m) = - 34m2 + 32m = - 34(m-1)2 + 34，当 m = 1 时， S 最大 = 34方法二， S = SOAC SAEP SOED SPCD = - 34m2 + 32m = - 34(m-1)2 + 34