1、高考资源网黄冈中学高考数学二轮复习考点解析 07：数列的综合考查数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数
2、列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 （2 ）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 （3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 （文科考查以基础为主，有可能是压轴题）一、知识整合1在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2在解
3、决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力3培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法二、方法技巧1判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于 n2 的任意自然数,验证 为同一常数。11(/)nnaa(2)通项公式法：若 = +（n-1）d= +（n-k）d ，则 为等差数列；
4、n若 ，则 为等比数列。na(3)中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列 中,有关 的最值问题常用邻项变号法求解： nanS(1)当 0,d0 时，满足 的项数 m 使得 取最小值。1a10ma在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1证明数列 是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或 而得。na 11nnaa1na2在解决等差数列或等比数列的相关问题时， “基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3注意 与 之间关系的转化。如：
5、= ， = nsana10nS21nankka211)(4数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路5解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略四典型考例【问题 1】等差、等比数列的项与和特征问题 P49 例 1 3。P 50 例 2 P56 例 1 P59 T6【注 1】文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题例（四川卷）数列 的前 项和记为 （）求 的通项公式；na 11, 1nn
6、SaSna（）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 成等比数列，bT3523,bb求 nT本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分 12 分。解：（）由 可得 ，两式相减得12naS12naS112,32nnnaa又 故 是首项为 ，公比为 得等比数列 213aS21ana1313na（）设 的公比为 由 得，可得 ，可得 25bnbd35T123b故可设 又15,9由题意可得 解得2912,0d等差数列 的各项为正， nb0d23nTn1.设等差数列a n的首项 a1 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn.()若 a11=0,S14=98,求数
7、列a n的通项公式；()若 a16 ，a 110，S 1477，求所有可能的数列a n的通项公式2 (上海卷 )设数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ， 。 （1）求数列 的通项nnS4096naSna公式？（2）设数列 的前 项和为 ,对数列 ，从第几项起 ？2logTn5nT.解(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048.当 n2 时 , an= SnS n1 =(4096a n)(409 6a n1 )= an1 a n = an=2048( )n1 .1n2(2) log2an=log22048( )n1 =12n, T n= (n 2+23n).由
8、 Tn ,而 n 是正整数,于是,n46. 从第 46 项起 Tn .3原式=( b 1)+( b 2)+( b k)+(bk+1 )+(b2k )23323=(bk+1+b2k)(b 1+bk)= = .12)0(2( kk12当 4,得 k28k+40, 42 k4+2 ,又 k2,13当 k=2,3,4,5,6,7 时, 原不等式成立.4 例，已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，设数列nanS1 142(,)nSaa，求证：数列 是等比数列；设数列 ，求证：),21(1abnn nb ),2(,ncn数列 是等差数列；求数列 的通项公式及前 项和。ncna分析：由于b 和c 中的项都和
9、a 中的项有关，a 中又有 S =4a +2，可由 S -S 作切入点探n n1n2n1索解题的途径【注 2】本题立意与 2007 年高考题文科 20 题结构相似.解：(1)由 S =4a ，S =4a +2，两式相减，得 S -S =4(a -a )，即 a =4a -4a ( 根据1n2n12n1n2n1nb 的构造，如何把该式表示成 b 与 b 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)n na -2a =2(a -2a )，又 b =a -2a ，所以 b =2b 21nn11n已知 S =4a +2，a =1，a +a =4a +2，解得 a =5，b =a -2a =3 12
10、221由和得，数列b 是首项为 3，公比为 2 的等比数列，故 b =32 n n1当 n2 时，S =4a +2=2 (3n-4)+2；当 n=1 时，S =a =1 也适合上式n1n 1综上可知，所求的求和公式为 S =2 (3n-4)+2n1说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前 项n和。解决本题的关键在于由条件 得出递推公式。241nna2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用【问题 3】函数与数列的综合题 P51 例 3数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化
11、时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.P51 例 3（2006 湖北卷）已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 ，数()yfx=()62fx=-列 的前 n 项和为 ，点 均在函数 的图像上。 （） 、求数列 的通项公anS(,)nN*()yfxna式；（） 、设 ， 是数列 的前 n 项和，求使得 对所有 都成立的最小正1nba+=Tb20nmTN*整数 m；点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数 f(x) ax2+bx (a 0) ,则 f(x)=2ax
12、+b,由于 f(x)=6x 2,得a=3 , b= 2, 所以 f(x) 3x2 2x.又因为点 均在函数 的图像上，所以 3n 2 2n.(,)nSN()yfxnS当 n2 时，a nS nS n1 （3n 22n） 6n5.)1(32n（当 n1 时，a 1S 131 22615，所以，a n6n5 （ ）N（）由（）得知 ，13nb)1(6(3)165(2n故 Tn （1 ）.ib12 )651(.)371()( n26n因此，要使 （ 1 ） （ ）成立的 m,必须且仅须满足 ，即 m 10，所以6n20mnN0满足要求的最小正整数 m 为 10.5设 ，定义 ，其中 nN*.xf12
13、)( 2)0(1),()(11 nnn faxff（1 ）求数列a n的通项公式；（2 ）若 ，,3212 nn aT解：（1） 2， ， ，)0(1f 41a )0(1)()0(11nnn fff nnnnn affffa 2)(2)0(2)0(12)0(1 ，数列a n上首项为 ，公比为 的等比数列，1n 41 1)(4nn（2 ） ,2321 naT ,2)1(3)1()()( nn aa两式相减得： ,)(421423122nnnT )213(9nT6 （湖北卷）设数列 的前 n 项和为 ，点 均在函数 y3x 2 的图像上。anS,)nN（）求数列 的通项公式；（ ）设 ， 是数列
14、的前 n 项和，求使得 对n 13nabTb20nmT所有 都成立的最小正整数 m。N本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。解：（I）依题意得， 即 。32,nS23n当 n2 时，a ;221(3)1()65nnnns当 n=1 时， -21-1-61-51所以 。5()6nNA（II）由（I）得 ，1311(65)(265nbann 故= 。126因此，使得 成立的 m 必须满足 ，即 m10,故满足要求的最小整数1n20NA120m 为 10。【问题 4】数列与解析几何数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要
15、充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解.例 3在直角坐标平面上有一点列 ，对一切正整数 ，点 位于 ),(,),(),(21 nyxPyxP nnP函数 的图象上，且 的横坐标构成以 为首项， 为公差的等差数列 .41xyn51x求点 的坐标；子设抛物线列 中的每一条的对称轴都垂直于 轴，第 条抛物线nP ,321ncc的顶点为 ，且过点 ，记与抛物线 相切于 的直线的斜率为 ，求：c),0(Dn nDnk.nkk1321解：（1） 23)(5xn 533,)44n nyP（2 ） 的对称轴垂直于 轴，且顶点为 . 设 的方程为：ncxnnc ,4512)3(nxay把 代入上式，
16、得 ， 的方程为： 。)1,0(2D1a)22nx，3| ykxn 31(1)32(1 nknnkk1321 )321()917()5(2n= 640)5(n点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。 （1） 、 （2 ）两问运用几何知识算出 nk7 已知抛物线 ，过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 ，又过点 作斜率为 的2xy 1P12直线交抛物线于点 ，再过 作斜率为 的直线交抛物线于点 ， ，如此继续，一般地，过点 作2P243 nP斜率为 的直线交抛物线于点 ，设点 1n 1n(,)nPxy（）令 ，求证：数列 是等比数列并求数列 的前 项和为21nbxbnbnS解：
17、（1）因为 、 在抛物线上，故 ，又因为直线(,)Py11(,)nxy24,nxy2114xy的斜率为 ，即 ，代入可得1n2n12n112nnnx ， 故 是21221()()nnnbxxx 232nn14nnb以 4为公比的等比数列； ，413()4nnnnSS【问题 5】数列与算法8. 数列 的前 项和为 =n2+2n-1,试用程序框图nan表示数列通项 的过程,并写出数列的前 5 项和通项公式 .na9.根据流程图,(1)求 ;(2)若 ,求 n. 3140na【问题 6】数列创新题10.（安徽卷）数列 的前 项和为 ，已知nnS()21,1,2,nnaSa=-=（）写出 与 的递推关
18、系式 ，并求 关于 的表达式；S1-()2（）设 ，求数列 的前 项和 。()/,nnnfxbfpR+=nbnT解：由 得： ，即)2a-( ()21()nSS-=-开 始输 入 n开 始 1()3fn2(1)()3nfn=1否是 开 始输 入开 始 否是 开 始输 入开 始 否是，所以 ，对 成立。()221()nSn-=11nnS-+-=2由 ， ， 相加得：S-+12- 13S-=，又 ，所以 ，当 时，也成立。12nS-12anS+n（）由 ，得 。()1nnSfxx+=()/bfp=而 ，23()nnTpp-，4 1+231 1()(1) nnnn pPp- +-=+=11.（福建卷
19、）已知数列a n满足 a1=a, an+1=1+ 我们知道当 a 取不同的值时，得到不同的数列，如当 a=1n时，得到无穷数列： .0,12:,2;,352, 得 到 有 穷 数 列时当（）求当 a 为何值时 a4=0；（）设数列b n满足 b1=1, bn+1= ，求证 a 取数列b n)(Nn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列a n；（I）解法一： ,1,1nna2 34 41 2312, .0.13aaa a故 当 时+=+=-43322 43111213 21 21 2:0,.,.,. .(),., . .nnn nnn nnabIbababaab 解 法 二 故 当 时解 法 一 取 数 列 中 的 任 一 个 数 不 妨 设+- - =-=2.0.na+故 a 取数列 bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列a n12. (全国卷 III) 在等差数列 中，公差 的等比中项.n 412,ad与是已知数列 成等比数列，求数列 的通项 ,213nkkank.n解：由题意得： 1 分42a
