1、高考数学知识模块复习指导系列学案直线与圆【考点梳理】一、考试内容1有向线段。两点间的距离。线段的定比分点。2直线的方程。直线的斜率。直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程。直线方程的一般式。3两条直线平行与垂直的条件。两条直线所成的角。两直线交点。点到直线的距离。4圆的标准方程和一般方程。二、考试要求1理解有向线段的概念。掌握有向线段定比分点坐标公式，熟练运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式。2理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。熟练掌握直线方程的点斜式，掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式。能够根据条件求出直线的方程。3掌握两条直线平行与垂直的条件，能够
2、根据直线的方程判定两条直线的位置关系。会求两条相交直线的夹角和交点。掌握点到直线的距离公式。4熟练掌握圆的标准方程和一般方程。能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程。掌握直线和圆的位置关系的判定方法。三、考点简析1有向线段。有向线段是解析几何的基本概念，可用有向线段的数量来刻划它，而在数轴上有向线段 AB 的数量 AB=xB-xA。2两点间的距离公式。不论 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有 d=|AB|=，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2-x1|或|AB|=|y 2-y1|。211)()(yx3定比分点公式。定比分点公式是解决共线三点 A(x1
3、，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x，y) 之间数量关系的一个公式，其中 的值是起点到分点，分点到终点的有向线段的数量之比。这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后 的值也就随之确定了。若以 A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是 。当 P 点为 AB 的中点时，121yx=1 ，此时中点公式是 。212yx4直线的倾斜角和斜率的关系（1 ）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。（2 ）斜率存在的直线，其斜率 k 与倾斜角 之间的关系是 k=tan。5确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称 方程
4、 说明 适用条件斜截式 y=kx+b k斜率b纵截距 倾斜角为 90的直线不能用此式点斜式 y-y0=k(x-x0) (x0，y 0)直线上已知点，k 斜率 倾斜角为 90的直线不能用此式两点式 =12y12x(x1，y 1)，(x 2，y 2)是直线上两个已知点 与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式 + =1axba直线的横截距b直线的纵截距过（0，0 ）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式 Ax+By+C=0 ， ， 分别BAC为斜率、横截距和纵截距 A、B 不能同时为零6平面上直线与二元一次方程是一一对应的。7两条直线的夹角。当两直线的斜率 k1，k 2 都存在且 k1k2 -1 时，
5、tan= ，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断。另外还应注意到：“到角”公21k式与“夹角”公式的区别。8怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。（1 ）斜率存在且不重合的两条直线 l1 y=k1x+b1， l2 y=k2x+b2，有以下结论：l 1l 2 k1=k2l 1l 2 k1k2= -1（2）对于直线 l1 A1x+B1y+C1=0， l2 A2x+B2y+C2=0，当 A1，A 2，B 1，B 2 都不为零时，有以下结论：l 1l 2 = 12B1Cl 1l 2
6、 A1A2+B1B2 = 0l 1 与 l2 相交 2l 1 与 l2 重合 = =21AB21C9点到直线的距离公式。（1 ）已知一点 P（x 0，y 0）及一条直线 l：A x+By+C=0，则点 P 到直线 l 的距离 d=；20|BAyx（2 ）两平行直线 l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0 之间的距离 d= 。21|BAC10确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围。（1 ）圆的标准方程：(x-a) 2+(y-b)2=r2，其中（a ，b）是圆心坐标，r 是圆的半径；（2 ）圆的一般方程：x 2+y2+Dx+Ey+
7、F=0（D 2+E2-4F0） ，圆心坐标为（ - ，- ） ，半径为2DEr= 。4FED11直线与圆的位置关系的判定方法。（1 ）法一：直线：Ax+By+C=0；圆：x 2+y2+Dx+Ey+F=0。一元二次方程02FEyDyCBA 消 元 acb42 判 别 式 相 离 相 切 相 交 0（2 ）法二：直线:Ax+By+C=0；圆：(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d= 2|BAba 相 交相 切相 离rd12两圆的位置关系的判定方法。设两圆圆心分别为 O1、O 2，半径分别为 r1，r 2，|O 1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+r2
8、 两圆外离；|O1O2|=r1+r2 两圆外切；| r1-r2|0，x 20由 0)34)(316408221kkxk解得 k23。由双曲线左准线方程 x=-1 且 e=2，有|AM1|BM1|=e|x1+1|e|x2+1|=4x1x2+(x1+x2)+1=4( + +1)36k8k=100+ 2k 2-30，|AM 1|BM1|100又当直线倾斜角等于 时，A(4，y 1)，B(4 ，y 2)，|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10|AM1|BM1|=100故 |AM1|BM1|100 。例 2 如图 9-1，已知圆 C：（x+4） 2+y2=4。圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆
9、C 外切。圆 D 与 y 轴交于 A、B 两点，点 P 为(-3，0)。（1 ）若点 D 坐标为（0，3 ） ，求APB 的正切值；（2 ）当点 D 在 y 轴上运动时，求APB 的最大值；（3 ）在 x 轴上是否存在定点 Q，当圆 D 在 y 轴上运动时，AQB 是定值？如果存在，求出点 Q 坐标；如果不存在，说明理由。解 （1）|CD|= =5， （O 为原点）且圆 D 与圆 C 外切，22DC圆 D 半径 r=5-2=3，此时，A、B 坐标分别为（ 0，0 ） 、 （0，6） ，PA 在 x 轴上，且 BP 的斜率 k=2，tanAPB=2 。（2 ）如图 9-2，设 D 的坐标为(0，
10、a)，圆 D 的半径为 r，则 (r+2)2=16+a2。 设 PA、PB 的斜率为 k1、k 2，又 A、B 的坐标分别为(0 ，a-r)、(0，a+r)。则k1= ，k 2= ，3rartanAPB= = 3ra962由解出 a2代入，得 tanAPB= = + ，而 8r-6 为单调增函数，34r68r 2，+ 。)tanAPB ( ，2351APB 的最大值为 arttan 。（3 ）假设存在 Q 点，设 Q(b，0) ，QA、QB 的斜率分别为 k1，k 2，则 k1= ，k 2=bra，bratanAQB=| |=| |=| |12kbra22ra将 a2=(r+2)2 16 代入
11、上式，得tanAQB=| |=| |rb412412欲使AQB 大小与 r 无关，则应有 b2=12，即 b=2 ，3此时 tanAQB= ，AQB=60 。3存在 Q 点，当圆 D 变动时，AQB 为定值 60，这 Q 点坐标为（2 ，0 ） 。3例 3 设正方形 ABCD（A 、B、C、D 顺时针排列）的外接圆方程为 x2+y2-6x+a=0（a0)，由于 A，B 两点在抛物线上， 解出：r= ，p= 。)53(2)5(,rpr521得抛物线方程为 y2=x。由此可知 A 点坐标为（1 ，1） ，且 A 点关于 M(3，0) 的对称点 C 的坐标是(5，-1)，直线 l 的方程为 y -（
12、-1）= (x-5)，3即 x-3y-8=0。（3 ）将圆方程(x-3) 2+y2=(2 )2 分别与 AC、BD 的直线方程：5y= - (x-3)，y=2(x-3)联立，可解得 A(-1，2)，B(5 ，4)。21设抛物线方程为 y2=a(x-m) (*)将 A(-1， 2)、B(5，4) 的坐标代入(*)，得)5(164ma解得：a=2，m= -3，抛物线的方程为 y2=2(x+3)。A(-1，2)点关于 M(3，0)的对称点为 C(7，-2)，故直线 l 的方程为 y-(-2)= (x-7)，即 x-3y-13=0。31例 4 如图 9-3，已知：射线 OA 为 y=kx(k0，x0)
13、，射线 OB 为 y= -kx(x0)，动点 P(x，y)在AOx 的内部， PMOA 于 M，PN OB 于 N，四边形 ONPM 的面积恰为 k.（1 ）当 k 为定值时，动点 P 的纵坐标 y 是横坐标 x 的函数，求这个函数 y=f(x)的解析式；（2 ）根据 k 的取值范围，确定 y=f(x)的定义域。解 （1）设 M(a，ka)，N(b，-kb)，(a0，b0)。则|OM|=a ，|ON|=b 。2k21k由动点 P 在AOx 的内部，得 00，y= 12kx（2 ）由 0 。当 01 时，由不等式得 x2 ，且 12k但垂足 N 必须在射线 OB 上，否则 O、N、P、M 四点不
14、能组成四边形，所以还必须满足条件y1)，或 xk（0 ；2当 01 时，定义域为x| 0) ，圆心 O在抛物线 x2=2py 上运动，MN 为圆 O截 x 轴所得的弦，令 |AM|=d1，|AN|=d 2，MAN=。（1 ）当 O点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；（2 ）求 + 的最大值，并求取得最大值的 值。21d解 (1)设 O(x 0，y 0)，则 x02=2py0 (y00) ，O 的半径|O A|= ，O 的方程为(x-x 0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令 y=0，并把 x02=2py0202)(pyx代入得 x2-2x0x+x02-p2=0，解得 xM=x0 p，x N=x0+p，|MN|=| xN xM|=2p 为定值。（2 ） M(x 0-p，0) ，N(x 0+p，0) d 1= ，d 2= ，则02)(p20)(pd12+d22=4p2+2x02，d 1d2= ， + = = =2 =40x122140x40x2 2 =240xp20xp
