1、高中数学第二章- 函数2. 函数函数 知识要点知识要点一、本章知识网络结构：性 质图 像反 函 数F:AB对 数指 数 对 数 函 数指 数 函 数二 次 函 数具 体 函 数一 般 研 究函 数定 义映 射二、知识回顾：（一） 映射与函数1. 映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数 )(Axfy的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表示出，得到 x=(y). 若对于 y 在 C 中的任何一
2、个值，通过 x=(y)，x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数x= (y) (y C)叫做函数 )(f的反函数，记作 )(1f,习惯上改写成 )(1xfy（二）函数的性质函数的单调性定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,若当 x1f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性正
3、 确 理 解 奇 、 偶 函 数 的 定 义 。 必 须 把 握 好 两 个 问 题 ：（ 1） 定 义 域 在 数 轴 上 关 于 原 点 对 称 是 函 数 )(xf为 奇函 数 或 偶 函 数 的 必 要 不 充 分 条 件 ； （ 2） 或)()(xff是 定 义 域 上 的 恒 等 式 。 2 奇 函 数 的 图 象 关 于 原 点 成 中 心 对 称 图 形 ， 偶 函 数的 图 象 关 于 y轴 成 轴 对 称 图 形 。 反 之 亦 真 ， 因 此 ， 也可 以 利 用 函 数 图 象 的 对 称 性 去 判 断 函 数 的 奇 偶 性 。 3.奇 函 数 在 对 称 区 间
4、同 增 同 减 ； 偶 函 数 在 对 称 区 间 增减 性 相 反 . 4 如 果 )(xf是 偶 函 数 ， 则 |)()xff， 反 之 亦 成 立 。若 奇 函 数 在 0时 有 意 义 ， 则 0。 7. 奇函数，偶函数：偶函数： )(xff设（ ba,）为偶函数上一点，则（ ba,）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于 y轴对称，例如： 12xy在 ),上不是偶函数.满足 )(xff，或 0)(fxf，若 0(f时， 1)(xf.奇函数： ff设（ ba,）为奇函数上一点，则（ ba,）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称
5、，例如： 3xy在 )1,上不是奇函数.满足 )(xff，或 0)(fxf，若 0(f时， 1)(xf.8. 对称变换：y = f（x） ）（轴 对 称 xfyy y =f（x） ）（轴 对 称 xf xyy =f（x） ）（原 点 对 称 xfy 9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数 f（x ）= 1+ x1的定义域为 A，函数 ff（x） 的定义域是 B，则集合 A 与集合 B 之间的关系是 . 解： )(f的值域是 )(f的定义域 B， )(xf的值域 R，故 ，而 A 1|x，故A.1
6、1. 常用变换： )()()( yfxfyfxyf .证： )()( yffxfff )()()( yfyfxyf 证： )(fxfyff 12. 熟悉常用函数图象：例： |2xy |关于 y轴对称. |21xy|1xy|21xy x x(0,1) x(-2,)|12|y |y关于 x轴对称.熟悉分式图象：例： 3721xy定义域 ,3|Rx，值域 ,|R值域 前的系数之比.（三）指数函数与对数函数212122121 )()( bxxbxff ）（ xy23指数函数 )10(aayx且 的图象和性质a1 00 时，y1;x0 时，01.性质（5）在 R 上是增函数 （5）在 R 上是减函数对数
7、函数 y=logax 的图象和性质:对数运算： nanaaacbbaNana aaa NMNNM1121 loglog.logloglogloglog1logll logloglogll)(l 32l )12)1(推 论 ：换 底 公 式 ：（以上 10且.a,c0,b0,0,N0,M n21 ）注：当 0,ba时， )log()l()log(baba .：当 M时，取“+”，当 n是偶数时且 0M时， n，而 0，故取“”.例如： xxxaaal2(llog2中 x0 而 2lxa中 xR ）. y（ 1,0）与 ylog互为反函数.当 1a时， xalog的 值越大，越靠近 x轴；当 10
8、a时，则相反.（四）方法总结.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.对数运算：a1 01a0)1,0(x时 0y 时 性质（5）在（0，+）上是增函数 在（0，+）上是减函数nanaaacbbaNanaaaaNMNN1121 loglog.logllogll1logoglllogog)(3l )12)1( 推 论 ：换 底 公 式 ：（以上 10且.a,1c0,b0,0,N0,M n2 ）注：当 0,ba时， )log()l()log(bab .：当 M时，取“+”，当 n是偶数时且 0M时， n，而 0，故取“”.例如： xxaaal2(llog2中 x0 而 2lxa中 xR）.
9、y（ 1,0）与 ylog互为反函数.当 1a时， xalog的 值越大，越靠近 x轴；当 10a时，则相反.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法”；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法.单调性的判定法：设 x1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且 x1x 2；判定f(x1)与 f(x 2)的大小；作差比较或作商比较.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)f(-x)=-1 为奇函数.图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
