1、1第十一章 无穷级数11.1 常数项级数的概念和性质内容概要名称 主要内容常数项级数 （ 为常数）1nun常数项级数的收敛性若 则 收敛， （ :前 项部分和）,ssn 1nns常数项级数常用的性质1. ， 收敛 收敛,且0nu0nv )(0nnvu000 )(nnn vuvu2. 则 与 同收同发k0n0n3. 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.1nu4 收敛 (收敛的必要条件)0n0limnu常用的结论 当 时收敛其和为 ，当 时发散.0nar1 ra1 例题分析1. 已给级数 ，1)12(n1)写出此级数的前二项 , ;1u22) 计算部分和 , ;s3) 计算第 项部分和 ;
2、n14) 用级数收敛性定义验证这个级数是收敛的，并求其和.知识点：前 项部分和 ,常数项级数的收敛性.ns2解： 1) ,31)2(1u 531)4(2u2) ;31s)51(2)3()(2522 u3) 11)(nnn )12()12()53(2(21 nnusn 4) , 收敛,其和为 .)1limlinnn 1)(n s2. 求常数项级数 之和. 0an知识点：前 项部分和 .s思路: 利用 1)( 10nnnaa0nar11r解： 令 123ns 则 23n aa以上两式相减得 12)1( nn as即 )1(122nn aas )1(1na, ， .nslim)1(a2)(0na2)
3、( 注：利用等比级数 判别级数的收敛性及求 和是常用的方法.0nrr1nu3设 收敛,讨论下列级数的敛散性:1nu31) 2) ; 3) .;)01.(1nu10nu1nu知识点：常数项级数的收敛性.思路: 利用常数项级数的性质.解：1) 0.0.lim)0.(li nnuu发散.1n注： ，则 发散是判别级数发散常用的方法.0limnu1nu2) 常数项级数的性质: 加入有限项或去掉有限项 ,不改变级数的敛散性.1n去掉 前 1000 项得的级数 仍收敛1nu10nu3) , 发散.0limn1n课后习题全解习题 11-1 1.写出下列级数的前五项：(1) (2)12n 124)(3nn(3
4、) (4)13)n 1!n解：(1) .22222 5431 137523(2) .1086970548(3) .54321(4) !2.写出下列级数的一般项：(1) (2) 6754321 36827195434(3) (4) 864242xx 9753542aa(5) (6)1531 432170xx解：(1) .)3,1 )()(11 nnunn(2) .)3,2 !2(3) .),1( !)(642 nxnxunn(4) .)3,2( 212)11aann(5) .)3,( un(6) .,21 12nxn3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:(1) ; (2) ;)(1n
5、 )15(416n(3) . sin63si2i6si 解：(1) .nnu 1211221 )( )2341()23nnsn 所以 ,原级数收敛.limns(2) .)154(1)5(4nun5)15( )14(1 )61(5)(1 nnsn 所以 ,原级数收敛.limn(3) ,6sin2sis12)co(1)co(12in6i kkk)5s3()s(si n )12co(12)(co nnssi2所以 ,原级数发散.不nlm注：另解 16)3(sin,06si366 kukukk1lilk所以 不存在，原级数发散.ni4.判定下列级数的收敛性:(1) (2) n98)1(9832 n31
6、29163(3) (4)1)(nn 12cosn(5) (6);32l1nn 1)(nn解：(1)此为等比级数，因公比 ，且 ，故此级数收敛于98q1798q(2) 级数的一般项： ,由调和级数 发散和级数的性质，知题设级数发散 .nu131n6(3) 原级数发散.03)1(lim)1(3lilimennunn(4) , 原级数发散.2licoslili 22nnn(5) 均为等比级数且公比分别为113,lnn 13ln21q，q均收敛， 故原级数 收敛.11,2lnn nnl1(6) . 原级数发散.0)(lim)(lilim2nnnnu5.求级数 的和.1)(n解： .)2121)(nun
7、 41s lim)212(1 )2( )21( )543 31n nnnsn 6.求常数项级数 之和.13n解： , nns2 1324 13 ns(上两式相减)nn31 12 n3 .4) 1( lim2s lin1 nnn77.设级数 的前 项和为 ，求级数的一般项1nanns1 na及和 .s解： ,11 nsann 121且 .ln1 lims li 10dxnn8.利用柯西审敛原理判别下列级数的收敛性：(1) ； (2) ； (3) .1)n12sinxnn1cos解：(1)对于任意自然数 ，因为p )( )1()312(1541)(21 )()()( 13221 不pnpnnpnn
8、 puu nnnnn （令 解得 ）,故 不妨设 当 时，对于任意自然数 ，都有,0,01NNp21nuupn由柯西审敛原理，知所给级数收敛.(2) 对于任意自然数 ，因为 npnpn pnnnpnn xxx xuu21)(21)21( sisi()si 2)si(2)()1i(221 故 不妨设 当 时，对于任意自然数 ，都有,0,0l,NNp8npnuu2121由柯西审敛原理，知所给级数收敛.(3) ，因为cos,不 nnnuun 1cos21s1s21 项( c co2 )2( 1s cs1nn故取 对于任意 ，使得, 2o0pN ,021pnnuu由柯西审敛原理，知所给级数发散.提高题
9、1.判定下列级数的收敛性:1) ; 2) ; 1)5(n 1)cos(2n3) ; 4) . 1)(2nne1)(!nne解：1) 收敛， 发散， 发散 .15n1n15(n2) un2)(cos2发散.0limn1csn3) nulixxxxn ee )1ln(222 im1)(li)(li0 12121li21lim)1l(im0020 ext ttt ttt发散.1)(2nne94) nu1 enenen 111 )()2()(!2)(由数列 单调递增趋于 知：1e)(即 ， , 发散.1nu11un0limn12)(!nne2. 求下列级数的和.1) ; 2) 1239n 1248ar
10、ctn解：1) .)321(2nu)13( )1( )743)( nnsn , .1limn 32912n2) )14()(arct48arct2 nun)3tn()1t( ns1arctn5rt5arcn9rt )3arct(arct)4(, .nslim24182arctn111.2 正项级数判别法内容概要名称 主要内容正项级数 （ 为常数， ）1nun0nu正项级数敛散性判别法10一般形式若当 为大于的常数 ，则Cvun(0)1) 收敛 收敛. 2) 发散 发散0nv0n0nu0nv1.比较判别法 极限形式若 ，则lunlim1) ,这两级数同时收敛同时发散 .02) , 收敛 收敛.l
11、0nv0nu3) , 发散 发散.l0n0n2比值判别法,则nu1lim1) ,级数收敛；2) ,级数发散;3) ,本法失效.13.根值判别法 ,则nli1) ,级数收敛；2) ,级数发散;3) ,本法失效.114. 积分判别法若存在 上单调减少的连续函数 ，使得 ，则 )(xf)(nfu1） 收敛 收敛.2) 发散 发散.0nu1)(dxf0n1dxf常用的结论当 时收敛其和为 ，当 时发散.0nar ra1 级数 时收敛， 时发散p,1npp例题分析1. 用比较判别法或极限判别法判别下列级数的收敛性：1) 2) 3) 4) .;142n ;2)1(nn;2tan11ln1知识点：比较判别法
12、.思路:比较判别法的特点：先要初步估计一下被判级数的敛散性，然后找一个已知敛散性级数与之对比。这就要求我们初步判断正确，同时要掌握一些已知其敛散性的级数。常用的级数有两个：11等比级数 时收敛， 时发散, 级数 时收敛， 时发散.1,1ran 1rp1,1npp解： 1) 分析： 与 当 时是同阶无穷小.估计 是发散的。24n124n41lim1li2nn而 发散, 由比较判别法知 发散.1n12n2) 分析：此题无法直接用比较判别法，因 随 的增加而变化，当 为奇数时等于 1，nnu)(n当 为奇数时等于 3，即分母不超过 3，因此有 。n nn23)1(， 而 收敛, 由比较判别法知 收敛
13、nnnu2)1(1n12)(nn3) 分析： （ ） ，估计 是收敛的.tan12tann, 而 收敛, 收敛.12tlimn1n1tnn4) 分析： （ ）23)2l(l ，而 收敛, 收敛.12lim21lnli nnnn1ln1小结：比较判别法判断级数的敛散性，一般可从等价无穷小量出发，找一个已知敛散性的级数与之比较.2. 用比值判别法判别下列级数的收敛性：1) ; 2) 3)1!2n1!3)12(5nn 12)3(nn12解：1) nnnu!2)1(limli1nn)1(2li)1(li)(li ennn由比值判别法知 收敛.1!2n2) !3)2(5limli11nunn132lim
14、n由比值判别法知 收敛.1!)1(nn3) nnnu)13(limli211 1313lim2nn由比值判别法知 发散.12)(nn小结：通过上面 1)- 3)题，当一般项 中含有 等，或 与 有公因子时，常用比值判别法.nu!,an1nu3.用根值判别法与积分判别法判别下列级数的收敛性： 1) ; 2) nn1arcsi1)l(n解：1) nnuarcsilimli10arcsinln由根值判别法知，级数 收敛.n1ri2)设 则显然 在 时非负且连续，因)l(1)(xxf )(xf113)1( 0)1ln()(2 xxxf故在 时 单调减少. 1xf 111 )(ln)1l()ln()ln
15、( xxddx由积分判别法知 发散.1)l(n小结：当一般项 中含有 等时，常用根值判别法.una,课后习题全解习题 11-2 1.用比较判别法或极限判别法判别下列级数的收敛性：(1) (2) (3) ;)0,(1nba;12n ;2sin1(4) (5) (6)1)4(n ;1n ;i1nn(7) (8) (9) n2si1 )0(1ann1)l(n解： (1) abu1, 而 发散, 发散.nnalim)/(li1n1nba(2) 法一: ,u12,而 发散, 发散.)(li)/1(li 22nnn1n12n法二: ,而 发散, 由比较判别法知 发散.un1221n12n(3) ,与 级数
16、 比较.2np)(,而 收敛, 收敛.1)/1(lim2n2n12n14(4) ,与 级数 比较.)4(1nunp)2(,而 收敛, 收敛./)(lim2n12n1)4(n(5) ,与 级数 比较.231unp)3(， 收敛.)/(li23nn 1n(6) ,与几何级数 比较.nnusi1n，而 收敛, 收敛.1)2/(ilmnn2n12sin(7) ,与调和级数比较.unsi，而 发散, 发散.2)1/i(linn 1n12sinn(8) ; 0; 1limliaaunnn当 时, 发散.当 时, ,这时 a1n1nnau1由几何级数 收敛,知 收敛.)0(1an 1na(9) 法一： ,与
17、调和级数比较.)l(un)1ln(im)1ln(i/)1l(imxxn而 发散, 发散.1n1)l(n15法二: ,而 发散, 发散.1)ln(un1)ln(2.用比值判别法判别下列级数的收敛性：(1) (2) (3)123n 4327512)(n(4) (5);!453! ;51(6) (7) (8);0(1ank ;3541nn1)53(n解： (1) nnnu2)(limli 112)(li由比值判别法知 发散.13n(2) ， 由比值判别法知,原级数收敛 .27limli1nnu(3) ， 由比值判别法知 ,题设级数收敛.14)2(1lili21 nunn(4) ， 由比值判别法知 ,
18、题设级数收敛.105lim)!1(lilim1 nunn(5) 12li)1(2lili1 nnunn由比值判别法知,题设级数发散.16(6) anukknn)1(limli1当 时，由比值判别法知 发散;1a)0(1nk当 时，由比值判别法知 收敛；)(1ank当 时，级数为 ；当 时发散，当 时收敛.1a1nk1k(7) nnnu354limli 11543li1n由比值判别法知,题设级数收敛.(8) ， 由比值判别法知 ,题设级数收敛.153)1(lili1 nnnu3.用根值判别法判别下列级数的收敛性： (1) (2) (3);)12(nn;)1ln(1n112)3(nn(4) (5)
19、 (6);312nn ;312n ;1ne解：(1) nnnu)2(limli2li由根值判别法知，级数 收敛.1)(nn(2) nnnu)l(ili10)l(i由根值判别法知，级数 收敛.1)l(nn17(3) nnnu12)3(limli 19)3(li2n由根值判别法知，级数 收敛.112)(nn(4) nnnu23lili13lien由根值判别法知，级数 发散.12nn(5) nnnu13limli213li2由根值判别法知，级数 发散.12nn(6) nnneu3lili 13lien由根值判别法知，级数 发散.12nn4.用积分判别法判别下列级数的收敛性： (1) (2);)(ln
20、13p ).1(ln3p解：(1)设 则显然 在 时非负且连续，因pxf)(l)(xf)( 0)(ln21exxfp 故在 时 单调减少.由积分判别法ex)(f当 时 1p22 ln)(l1)(lnxddxpp 21)(lnpx18 1 )2(ln11pp当 时 222 lnl)(lnxdxx综合上述知：当且仅当 时 收敛.1p3)(lnp(2)设 则显然 在 时非负且连续，因pxfln)(xf)( 0)(ln1)(l)( /12211 ppp exxf 故在 时 单调减少.由积分判别法3xf当 时 1p313ln1lnppxddx 1213ln)(3p当 时题设级数发散.(例 11)故当且仅
21、当 时 收敛.1p3lnp5.若 及 收敛。证明下列级数也收敛：12na12nb（1） （2） （3）;1n ;)(12nnba.1na解：(1) ， 收敛.)(2nba1n(2) ， 收敛.22)( nnn12)(nnba(3) 在(1)中取 ，得 收敛.bn11na6.判别级数 的收敛性，其中 且1na),(n,ban均为正数.19解： baunnlimli所以当 时，级数 收敛；1b1nn当 时，级数 发散；1nnab当 时，不能判别级数 的敛散性b1nn7.设 若 收敛,则不不,),2(0, 1nn vuvu 1nv1nu也收敛.解： ,nvvuvu1342312, 111,nnvvu
22、不故 收敛,则 也收敛.1n1n8.设 ,试讨论正项级数 的收敛性.)0(3l)l(imnnV1nV解： nnn 1liml1li 3i1nn故当 时，级数 收敛；当 时，级数 发散.2,1不1nV2,1不1nV提高题1.判定下列级数的收敛性:1) ; 2) ; 213nnne12)(nn3) ; 4) . 13)(nn )1(,102dxn解：1) （ ） ，nne32 23en220nnnelim21lim31213nne而 收敛, 收敛.12n132nnne2) 法一 ： ,)(limn 2221 )1(3)()()( nnn又级数 发散.12)(n ,31)(li2n2)(n发散12)
23、(nn法二： nenn 1)()1()( 22 而 发散, 由比较判别法知 发散.1n 12)(nn3) nnnu33)(2由比值判别法易知 收敛， 收敛.1nn13)(2nn4) 11202102 )(2()()()( ndxndxn同时 110102 )( nxxn原级数与 同时收敛，同时发散，故原级数在 时收敛，在 时发散.1)(n 001212.求级限 .0,!liman解: 考虑级数 ,其通项为1!n !nau10)(li)!(lili1 aunnn由比值判别法知,级数 收敛.1!n由级数收敛的必要条件知 . 0!liman11.3 一般常数项级数内容概要名称 主要内容绝对收敛 1n
24、u条件收敛 发散, 收敛.1n1n莱布尼兹判别法:交错级数 满足下面两条件:1)(nnu1) , 2) ,2,1un 0limn则级数 收敛，且其和的绝对值小于首项 .1)(nn 1u例题分析1. 判别级数下列级数的收敛性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?1) 2) 3) ;21)(1nn ;1)(1nn.!)12()1nn知识点：绝对收敛, 条件收敛.思路:先要判别级数的绝对收敛性，若不绝对收敛，再判别级数的条件收敛性。 22解：1) 121)(nnn123lim21lilim1 unnn收敛，故 绝对收敛.1n1)(nn2) 1)(n 1nnun 211lim1li nnn而 发散, 由比
25、较判别法知 发散.1n1nn但 1) 0limlilimunnn2) )12()1(1 0)12)( nnnn,即01u1u由莱布尼兹判别法知， 条件收敛.1)(nn注：考察 与 的大小，常用的方法有如下三种：1nu法一，看 是否小于 . 法二， 看 是否大于 .nnu10法三，看 对 的导数是否小于 .（此时将 看成连续自变量） 。u0此题用法二，法一，法三留给读者自己分析。233) ， 原级数发散.0)12(53164limnn 问题：1)一个交错级数，如果它不满足莱布尼兹条件是否一定发散.2) 交错级数 ,如果 ，该级数是否一定发散1)(nnu)0limnu课后习题全解习题 11-31.
26、判别级数下列级数的收敛性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?(1) (2) (3) .;1)1n ;3)1nn12)sin(4) (5) );0(1an ;0320(6)1122)(.nn解：(1)显然原级数不是绝对收敛（ 的 级数）p,且1nnuu01limn由莱布尼茨判别法知，原级数条件收敛.(2) , 绝对值级数 收敛，原级数绝对收敛 .13lilim11nnu0nu(3) ，且 收敛， 原级数绝对收敛 .22)()(si02)1(n(4) anunn)1(limli 21当 时，原级数绝对收敛；当 时，原级数发散；,a不 1,a不当 时，原级数为 条件收敛.11)(n24(5) nnvu
27、103, 2因 ,所以 收敛; 因 ,所以 收敛;1q2nu102q2nv原级数绝对收敛.(6) , 由比值判别法知 ,原级数绝对收敛.12)(3limli11nnnu2数 是绝对收敛，条件收敛，还是发散.1lsin解： nnl1sicol1sili nl1si)(原级数为交错级数1lsi)(n上单调递增,且20(si不x0ln1im单调下降且 , 原级数收敛.nlslin又 发散( )1lsin n1li2所以原级数条件收敛.3判别级数 的收敛性.)0()1(1pnn解： , 当且仅当 时,原级数绝对收敛;1)(1lim)(li pnnpn1p当 时1p25)1()()1( )1(1)()(
28、)()(111nonp nopppnpnpnpn 由 条件收敛; 收敛; 绝对收)(1np )11pn )1()1(pnonp敛，知原级数条件收敛.4讨论 取何值时，下列级数绝对收敛，条件收敛.x(1) (2) ;21n ).0()1pxn解：(1) ,0nxu22limxn由根值判别法知，当 时原级数绝对收敛.当 时原级数发散.( 当 时显然发散)21x21x(2) 显然 ，当 充分大时)3,(kn0x， pnnxu)(11)(limli pnpnu由比较判别法知，当 时原级数绝对收敛.当 时，原级数条件收敛.05.设 在 的某一邻域内具有二阶连续导数。且)(xf0)(lim0xf试证明：级
29、数 绝对收敛.1)(nf证明：由 ，知 ，且0li0xf 0)(lim)0(xffx22/31)(lim)(linfnf)(21)(li)(li020 fffxx 26又 收敛， 绝对收敛.12/3n1)(nf提高题1. 判别级数下列级数的收敛性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?1) ; 2) . )0(sin(12a10ln解：1) naann 222 si)(si()1i( 当 充分大时， ,na20 1si02na由 , 而 发散知 发散,2silmnan 1n12in原级数去掉有限项后为交错级数，且此时 单调减少趋于 ， 原级数条件收敛.a2si 02) , 发散. xxnnxn 91
30、01010 lnimlilili10ln2.设 为实数,讨论级数 收敛性.a5432aa解：1)当 时，级数 是莱布尼兹型交错级数，故条件收敛 .11)(n2)当 时，取前 项之和：a1321)(253(2 aaan ns 发散， 收敛1n1na（常数）snaan 1321lim,)253(lim，原级数发散.ns23)当 时，取前 项之和：1ans2 )2(1()413()( aaa n27考虑级数 ，1)2(1(nanaananan 212lim2)1(lim)(lim 且 发散， . 发散1)(na1)(na从而 发散，且 （当 充分大时） ，1)2(na 0)2(an，原级数发散.sl
31、im综合上述：当且仅当 时原级数收敛.1a2.若级数 绝对收敛，试证级数 ， ， 绝对收敛.1n12na1n12na解： 绝对收敛, 1na0limn当 充分大时 , 此时 , 绝对收敛.nna212n又 ,由比值判别法知, 绝对收敛.1lim1linnnaa1na, 收敛,即绝对收敛.21n12n11.4 幂级数内容概要名称主要内容幂级数0nxa28收敛半径若 或na1limnali则 收敛半径 lim 为 0, 0 , 1naR注意：利用此公式时要求 的幂级数不能有间隔.x幂级数常用的性质1 幂级数 的和函数 在其收敛域 上连续.0na)(sI2 幂级数 的和函数 在其收敛域 上可积，并在
32、 上有逐项积分公式0nx)(xII 01000)( nnxnxnx xadadads且逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.3 幂级数 的和函数 在其收敛区间 内可导，并在 内有逐项求导公0nxa)(xs),(1R),(1R式 1100)()( nnnn xaxxas且逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例题分析1.求下列幂级数的收敛域.（1） （2） （3） ;4)(11nnx;12nnx19)(nnx知识点：收敛半径，收敛域.思路:先求出幂级数的收敛半径 ,然后,再判别级数在收敛区间端点处的收敛性,得出幂级数的收敛域.R解：（1） ， 收敛半径4lim4lilim11
33、nnna4R当 时，数项级数 发散;当 时，数项级数 发散. 4x1)(nx1n29从而幂级数收敛域为 )41,(（2）法一： 22211 11limlimli xnxnunnn 当 ，即 时，级数绝对收敛.2x当 ，即 时，级数发散.1xx2,当 时，级数为 发散2x1n综上所述，原幂级数的收敛域为 .)2,(注：此幂级数中， 的幂缺奇次幂故不能直接用公式,直接用比值判别法.但令 则原幂级数变为x 2xy可用此公式,112nny法二：令 则原幂级数变为 , 2x112nny2)1(limlilim11 aRnnn20 ,2xyx当 时，级数为 发散. 故原幂级数的收敛域为 .x1)(n )2
34、,(（3）法一：令 ，原级数变为y19ny因为 )(limli 11 nnnnaR当 时，数项级数 发散,当 时，数项级数 收敛，9y1n9y1)(n从而幂级数 的收敛域为1ny30原级数 的收敛域为 ,即 .19)(nnx91x)08法二：因为 )(limli1 nnnnaR当 ，即 时，原级数绝对收敛.9x08x当 时，数项级数 发散,当 时，数项级数 收敛，101n81)(n故原级数的收敛域为 .)0,2.求 的收敛域及和函数，并求级数 .0)1(nnx012n知识点：收敛域, 和函数思路:先求收敛域,再用幂级数的性质及 求和函数 ，最后利用),( 10xxn )(xs，选取适当的 值计算 .0)1()nnxxs 012n解： 求 的收敛域.0)(nn因为 ，且当 时，数项级数 发散.12limli1aRnn 1x0)1(n所以原幂级数的收敛域为 ),(求 的和函数20)1(nnxxs设 0)()nnxs)1,(则 2010 )1()1() xxxnn 也可如下计算:xdtdtdts nnxxnx )()()( 01000
