1、第二章 解析函数1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程教学目的与要求: 了解复变函数的导数与微分; 掌握复变函数解析的充要条件; 理解柯西-黎曼条件.重点：函数解析的概念与柯西-黎曼方程.难点：函数在一点解析的概念.课时：2 学时.复变函数的导数与微分定义 2.1 设函数 在点 的邻域内（或含 的区域 内）有定义，若极限()wfz00zD（ ） （2.1）存在，则称此极限为函数00()limzfzf在点 的导数，记为 ，这时也称 在点 可导)f00()fz()fz0定义 2.2 若函数 在点 可导，则称 为函数 在点 的微wz()wfz0分，记为 或0zdf0()z即 （2.2）0()zf此时也称
2、 在点 可微f特别地，当 时， ，于是（2.2）变为()zdz即00zdwf 00()zwf由此可见，在复变函数中， 在点 可导与 在点 可微是等价的z()f0z函数由 在点 可导与可微的概念与数学分析中的可导与可微这两个概念相类似，()fz因此数学分析中求导基本公式，均可类似地推广到复变函数中来同时，与数学分析中一样，函数 在点 可微，则 在点 连续，反之不一定成立，但在数学分析中，要()f()fz构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得例 2.1 在 平面上处处不可微()fz证明：由第一章习题 11，知 在 平面上处处连续，但对于任
3、意一点 ()fz0z0000()(fzfzz当 取实数趋于零时，上述极限为 ，而当 取纯虚数趋于零时，上述极限为 ，因此1 1上述极限不存在，即 在点 不可导，由 的任意性知 在点 平面上处处不可()fz00z()fz微如果函数 在区域 内每一点都可微，则称 在区域 内可微()fD()fD例 2.2 （ 为正整数）在 平面上可微，且nzz0000()()limlimnz zff z121100 0li()nnnnzC即 ()f解析函数及其简单性质定义 2.3 若函数 在区域 内可微，则称 为区域 内的解析函数（或全()wfzD()fzD纯函数、正则函数） 此时也称 在区域 内解析解析函数是复变
4、函数论研究的主要对象，它与相伴区域密切相关以后说到 在某()fz点解析则表示 在该点的某一邻域内解析，说 在闭域 上解析，则表示()fz ()fzD在包含 的某个区域内解析因而解析这个概念要比可微的概念条件要强得多()fzD与数学分析一样，解析函数也有如下基本性质：（）若 在区域 内解析，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母在12(),fz内不为零）也在 内解析，且1212()()ffz12()zfz 112222()() 0)ffzff（） （复合函数求导法则）设 在区域 内解析， 在区域 内解析，()D(wgG若 均有 ，则 在 内解析，且zD()fzGwgf()dgdz例 2.3 设
5、多项式 ，则由例 2.2 及基本性质（）知，10()()nnnPzaa在 平面上解析，且()Pz 1211()()nnPzaaza例 2.4 设 ，则由例 2.2 及基本性质（）知有326(45f52)6)(10)zzz 对于参数方程 ，则可直接由定义 2.1 求得(),txiyt)()z柯西（ ）黎曼（ ）条件（简称 条件）CauchyRiemanCR设 (),)(,)wfzxvy下面我们来探讨 的可微性与二元实函数 及 之间存在的关系,ux(,)vy若 在点 可微，且设(),)(,)fzuxyivziy（2.3）0lim()zfff又设 ，xy(fzzuiv其中 (,),uuxy(vxyv
6、则（2.3）变为 （2.4）0lim)zyifz由于当 不论按什么方向趋于零时， （2.4）式总是成立，因此我们可以先设xi，即点 沿着平行于实轴的方向趋于点 （图） ，0,yz z图 2.1则此时（2.4）变为 00limli()xxuvfz由此即知 均存在，且有 （2.5）,uv同理，设 ，即点 沿着平于虚轴的方向趋于点 （图） ，此时（2.4）0,xyzz变为 limli()uvf故 亦都存在，且有 （2.6）,y()uvifzy由（2.5） ， （2.6）及复数相等性质可得 ， （2.7）xvyx（2.7）称为柯西黎曼条件或柯西黎曼方程，简称为 条件CR总结上述讨论，即得：定理 2.1
7、 （可微的必要条件）设函数 在区域 内有定义，且在(),)(,)fzuxyivD内一点 可微，则有Dzxiy（）在点 处偏导数 都存在；(,),xyuv（） ， 在点 满足 条件，但定理 2.1 的逆不成立,uxy,v(,)CR例 2.5 函数 在 满足定理 2.1 的条件，在 不可微()fzx0z 0z证明 ,y(,)vxy0()lim0(,)x yxuuv0(,)(,li ,y xyy但是由于 ()xfzfi因此当 沿着射线 随着 时，(0)yk0x1xkii它是一个与 有关的值，故不存在，即 在 不可微，k()fz00()limzff但是，只要适当加强定理 2.1 的条件，就可得到定理
8、2.2 设 在区域 内有定义，则 在 内一点(),)(,)fzuxyivD()fzD可微（或在 内解析）的充要条件是：zxiyD（） ， 在点 （或在 内）可微；(,)uxy(,)v(,)xyD（） ， 在点 （或在 内）满足 条件CR当上述条件满足时，有(2.8)()uvufziixy例 2.6 讨论 的解析性2f解： (,),()0uxyvxy2,2,0xyxxyuvv只在 处满足 条件，故 只在 可微，因此 在 平vzCR()fz()fz面上处处不解析例 2.7 试证 在 平面上处处解析，且 ()cosin)xfeyz()fzf证明： ,(sixuvey，csxxyein,cosxvve
9、在 平面上处处可微，且满足 条件，故由定理 2.2 知 在 平面(,),uyzCR()fz上处处解析且由公式（2.8）知()cosin()xxxfuiveyfz作业: 第 90 页 2, 3, 4(1) (3) 5(2) (4), 6(1) (3) 初等解析函数教学目的与要求: 掌握指数函数与三角函数的性质,掌握它们与数学分析中的指数函数与三角函数的性质的异同点.重点：指数函数与三角函数的性质与数学分析中的指数函数与三角函数的性质的异同点.难点：指数函数与三角函数的性质.课时：2 学时. 指数函数定义 2.3 对于任意复数 ，则规定zxiy（2.9）(cosn)zxiye为复指数函数复指数函数
10、 具有以下基本性质：z(1) 当 （ 为实数）时，则 即为通常的实指数函数zx0,yzxe(2) （故 ） ， ezeargzy(3) 在平面上解析，且 （例 2.7）z ()zz(4) 加法定理成立，即 1212zze(5) 以 为基本周期因为对任意整数， ze2i22zkizkizee(6) 不存在因为当 沿实轴趋于 时， ，当 沿实轴趋于 时，lmzzze在关系式(2.9)中，当 时就得到欧拉公式0x即(2.9)是欧拉公式的推广cosiniyy三角函数由(2.9)式，当 时，有 0xcosiniyeycosiniyey从而有 sin,22iyiii据此，我们给出复三角函数的定义如下：定义
11、 2.4 规定 为复数 的正弦函数和余弦函数si,cosiziizieez容易验证，这种定义的正弦和余弦函数具有如下性质：(1) 当 为实数时,与通常的实正弦和余弦函数一致z(2) 它们都在 平面上解析，且 (sin)cos,()sinzz(3) 是奇函数， 是偶函数，且通常的三角恒等式亦成立，如sincoz，22i1，12212s()sincosinzzz1co等等例如 2222sin()()iziizieez222211)144izizizize(4) 及 均以 为基本周期sinzco2()(2)()izize22siniziiziizieez同理可证 (cos)cszz(5) 的零点（即
12、 的根）为 （ ）inin0zn0,1的零点为 （ ）csz1()2z,(6) 在复数域内，不等式 不成立si,cos1z例如，取 （ ） ，则ziy0()()22iyiyyee当 时， ，故 不成立2yecos1z例 2.8 对任意复数 ，若 ，则必有 （ 为整数）zin()iw2wk证明： si()szs()sin0zz即有 2nco02wz从而 或 sis()w由性质(5)知 或 故推得 （ 为整数）k1(2k2wk与实三角函数一样，我们可定义其它的复三角函数：定义 2.5 规定 ， sintacozcostinz， 1e1为复数 的正切、余切、正割、余割函数z这四个函数均在 平面上除坟
13、墓为零的点外解析，且z2(tan)sec2(cot)sczztanzz2sot正切、余切的基本周期为 ，正割、余割的基本周期为 作业:第 91 页 7, 9 10 (1) (3), 13 (1)3 初等多值解析函数教学目的与要求: 了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质.重点：初等多值解析函数多值产生的原因.难点：支点与单叶性区域的划分；初等多值解析函数多值产生的原因.课时：4 学时.定义 2.6 设函数 在区域 内有定义，且对 内任意不同的两点 及 ，都有()fzD1z2，则称函数 在 内是单叶的.并且称区域 为 的单叶性区域.12()fzf D()f1 根式函数定义
14、 2.7 规定根式函数 为幂函数 的反函数 .nwznzw,1zn（1） 幂函数的变换（映射）性质及其单叶性区域.幂函数 在 平面上单值解析，它把扩充 平面变成扩充 平面，且(1)nz z分别对应于 .可是由 知道，0,0,arg2(0,1)zkinnzen每一个不为零或 的 ，在 平面上有几个原像.且此 个点分布在以原点为中心的正zw角形的顶点上.于是 在 平面上就是 值的.nnz设 则 成为,iizre1.,(2)n由（2）知， （1）把从原点出发的射线 变成从原点出发的射线 ，并把圆周00n变成 .(如图 2.2)00nr图 2.2当 平面上的动射线从射线 扫动到射线 时，在变换 下的像
15、，就在w00nzw平面上射线 扫动到射线 ，从而， 平面上的三角形 就被变成 平0nw0z面上的角形 .0n特别，变换（1）把 平面上的角形 变成 平面除去原点及负实轴的区域.wnz一般地，变换（1）把张度 的 个角形.2n都变成 平面除去原点及负实轴2:()()(30,1)k kTkn z的区域.下图是 的情形. 3图 2.3区域 是（1）的单叶性区域的充要条件是：对于 内任一点 ，满足下面等式的点TT1w不属于 .即：幂函数 的单叶性221,argkwwn(,)nzZ区域，是顶点在原点 ，张度不超过 的角形区域.0z2（2） 分出 的单值解析分支.n设 出现多值性的原因是由于 确定后，2,
16、(0,1)kii nzrewzren z其辐角并不唯一确定.今在 平面上从原点 到点 任意引一条射线（或一条无界简单曲线）.将 平面割破.割破了的 平面构成一个以此割线为边界的区域，记为 .在 内随意指定G一点 ，并指定 的一个辐角值，则在 内任意的点 ，皆可根据 的辐角，依连续变0z0zGz0z化而唯一确定 的辐角.设 （给定 ，2arg,()(arg,1,)kinnkkzwzezkn k只有一个 与之对应）则 是区域 上的单值解k ):0析函数.事实上，由于 与 都是连续函数.故 也是 的连续nzragz()kwzG函数. (0,1)k又 22cossin)(,)(,).nkkkwr ur
17、iv12cos,nrku12sin.kur1 1i,co.n nrvv,.rruu解每一个 为 的一个解析分支.()kwznz（3） 的支点与支割线.n定义：设 为多值函数， 为一定点，作小圆周 ，若变点 沿()fza:Czarz转一周，回到出发点时，函数值发生了变化，则称 为 的支点，如Ca()f就是其一个支点，这时绕 转一周也可看作绕 点转一周，故 点,0nwz:Czr也是其一个支点.定义 2.8 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数的支割线.如 可以以负实轴为支割线.nz附： 支割线可以有两岸.)a单值解析分支可连续延拓到岸上.b支割线改变各单值分支的定义域，值
18、域也随之改变.)c对 ，当以负实轴为支割线时，当 时取正值的那个分支称为主值支.dnwz0zx例 2.9 设 定义在从原点起沿负实轴，割开了的平面上，且 .求 的值.3 ()wi()i解：2(0,1)kikze求 ：当 时，i.2rz由 知()wi23kie.472363()iiii e作业：第 93 页 22 ，23二、对数函数1、定义 2.9 方程 的根 称为 的对数，记为 .(0,)wezwzwLnz设 则izruivuivierln2()ln(2)ln(l)2lnuvkZLzkriAgzrikizki (,01,)当 时，称 为主值（支）.argzlarwziz注：区别 和 .Lnl例
19、 2.10 (2)(2).0,12,iikik2、性质： 11)azLnz122(b证： )a1Lnze2Lnze121212zz注： nz()2nnzLllLriAgzrig三、指数函数的变换性质及其单叶性区域设 wzeiwuiv由 知 （ ）iuivr2rkZ0z故变换 1):2(,):21)wvzukee 00 00 w=把 平 面 平 行 实 轴 直 线 变 为 z平 面 上 从 原 点 出 发 的 直 线 =u把 线 段 变 为 z平 面 上 的 圆 周 =,于 是 把 平 行 于 实 轴 的带 形 +变 为 平 面 单 叶 性 区 域 . v1ii设若 即21wez12iivue为
20、单叶性区域 若12kuv11iwuv则 12)(ikvu故 (,): wuvkze都 是 的 单 叶 性 区 域四分出 的单值解析分支Lnz设 ，令 （ 为固定的整数）则arg()ln(arg2)kkwLzik在 内单值解析.()kwz(,):0,G证： ln2)krik(,rG都连续，故 连续.显然 在 内单值连续，与 kw()kz记 它们都在 内可微.l,urv10,1rrv（极坐标下的 条件）,.rrvu.CR在 内解析.这时，()kwzG1().krwzuivz， 0lnri1ln2ri五 以 为支点，连接 任一（广义）简单曲线可作为其支割线.Lzz与 0与（支割线通常是连接支点的简单
21、曲线）.例 2.10 设 定义在沿负实轴割破的平面上，且 （是下岸相应点的函数wn(1)3wi值）求 的值.()i解： l(arg2)kkLzizk(arg)z3ln1(r4)ii求值： 9)a(4)2wiii六、一般幂函数与一般指数函数定义 2.10： 为一般的幂函数.(0,)aLnze一般地说，它是多值函数.并以 为支点，又称 为一般的指数函,zzLnawe记数，它是无穷多个独立的单值函数.例 2.11 1）求 i解： (2)(2)ikkiiLneeZ2）求 1i解： ()2(1)ln2)ln2(l2)ln2(coslinl2)iiLnikikikke(kZ七、反三角函数1）反正切：反正切
22、 规定为方程 的根的全体.wArctgzztgw它与对数函数有如下关系： 21iwiieeiz1122iziziLnLni即 Arctgi例 2.12 求 1.t解： 1(2).()24ircLnikkZi 2、反正弦反正弦 规定为方程 的全体根，它与对数函数有如下关系：s.wAzsinwz210iiiiwee2 21().ieLniz即 （其中 表示双值函数）21sin()rczLiz2z例 2.13 求 .A解： 1i2(3)ln(3)()2ln(3)i ikkii3、反余弦反余弦 规定为方程 的根的全体.它与对数函数的关系为coswrzcoswz（其中 表双值函数）21().Lnzii八
23、、具有有限个支点的情形函数 的支点，其中 为任意的 次多项式.()1np ()pzN是 的一切相异零点. 分别11(),mzAaza 12,m是它们的重数，合于 1N有以下结论：（a） 、(1)的可能支点为 和 .1,ma （b） 、当且仅当 不能整除 时， 是 的支点.nii()npz（c） 、当且仅当 不能整除 时， 是 的支点.N（d） 、若 能整除 中若干个之和，则 中对应的几个就可以联结成1,ma 12,ma割线，即变点 沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值不变.z例 2.14 求 的支点；及 的支点.()fz3()fzz解：1） 可能的支点是1z0,1.图 2.4 0
24、 0011arg()argr()(20)2cccfzzz的终值较初值增加了一个因子 是支点.同理 是支点.ie1ar()arrg(1)()22cccfzzz的值并不改变，故 不是支点.2） 、 3()1)fzz解：可能的支点为 0,.，故 是支点.0 2arg()arg(1)33cfzzz0同理 是支点.1114arg()arg()(2)333cfzzz故 是支点.例 2.15 试证 在将 平面适当割开后能分出三个单值解析分支，并求出在3()f点 取负值的那个分支在 的值.2zzi解：设 .1.ire2re则1()3312() .(,01,2)zkikfzzG当 时，120,r(21)3(),)kikfze当且仅当 取负值;kf故所取分支为12()33112().zizre55621()iifie作业 第 9394 页 20（1） （3）
