1、青岛理工大学 土木工程学院 QQ：774626975 11996年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题一、填空题（本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分）(1)设 8)2(lim0xxa,则 _.(2)设一平面经过原点及点 )2,6(,且与平面 824zyx垂直,则此平面方程为_.(3)微分方程 xey2的通解为_.(4)函数 点在 )1,0()ln(2Azxu处沿 点指向 ),3(B点方向的导数为_.(5)设 34是A矩阵,且 的秩 2)(r,而,3012则)(Br_.二、选择题（本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求；把所选项前的字
2、母填在题后的括号内）(1)已知 2)(yxda为某函数的全微分,则 a等于)A-1 B0 )(C1 )(D2 【 】(2)设 (f有二阶连续导数,且1lim,0xff,则)是 )(xf的极大值0是 的极小值(C,是曲线 )(xfy的拐点)Df不是 )(f的极值 , 0也不是曲线 )(xfy的拐点【 】(3)设 ),21(0na,且 1na收敛,常数 )2,(,则级数n1)t)(A绝对收敛 )(B条件收敛C发散 D敛散性与 有关 【 】(4)设 )(xf有连续的导数, 0)(f, )(f, xdtftF02)(),且当0x时, kF与是同阶无穷小 ,则 k等于A1 )(B2 C3 4 【 】青岛
3、理工大学 土木工程学院 QQ：774626975 2(5)四阶行列式 4432110abba的值等于)(A321321axB44C)(b)(D132b【 】三、 （本题共 2小题,每小题 5分,满分 10分）(1)求心形线 )cos(ar的全长,其中 0a是常数 .(2)设 ),2(6,10nxxn ,试证数列 nx极限存在,并求此极限.四、 （本题共 2小题,每小题 6分,满分 12分）(1)计算曲面积分 Szdxy),其中 S为有向曲面)(2zyxz,其法向量与 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 ayxvu可把方程0622yzx化简为 02vuz,求常数 a.五、 （本题满分 7分）求级数
4、 2)1(nn的和.六、 （本题满分 7分）设对任意 0x,曲线 )(xfy上点 )(,xf处的切线在 y轴上的截距等于xdtf0)(1,求 )(f的一般表达式.七、 （本题满分 8分）设 f在0,1上具有二阶导数,且满足条件 baxfaf ,)(,)(其 中都是非负常数, c是(0,1)内任意一点,证明 2)(bcf八、 （本题满分 6分）设 TIA,其中 I是 n阶单位矩阵, 是 n维非零列向量, T是 的转置,证明：(1) 2的充要条件是 1T；(2)当 1T时, 是不可逆矩阵 .九、 （本题满分 8分）已知二次型 3231212321321 65),( xxcxxf 的秩为 2.(1)
5、求参数 c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程 ,表示何种二次曲面.青岛理工大学 土木工程学院 QQ：774626975 3十、填空题（本题共 2小题,每小题 3分,满分 6分）(1)设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由 A和 B的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属 生产的概率是_.(2)设 、 是两个相互独立且服从正态分布)21(,0N的随机变量,则随机变量 的数学期望 E_.十一、 （本题满分 6分）设 、 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知 的分布律为3,21)(iP,又设 ),max(X, ),in(Y.(1)(1)写出二维随机变量 的分布律：Y1 2 31 2 3 (2)求随机变量 X的数学期望 )(XE.X
