1、中国古代在数的发展方向的贡献：两汉时期魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃，它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高，所以魏、晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中吴国赵爽注周髀算经 ，汉末魏初徐岳撰九章算术注，魏末晋初刘徽撰九章算术注、 九章重差图都是出现在这个时期。而赵爽与刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端，为中国古代数学体系奠定了理论基础。徐岳汉 （？ 220 年）徐岳，字公河，东莱今山东掖县 人，相传师从刘洪约公元 206 年左右学历算，对九章算术有研究。他搜集我国先秦以来大量数学资料，撰写出数术记遗、 算经要用等具有历史意
2、义的数学著作。数术记遗详细的记录了他与刘洪算术的精华，全书以与刘洪问答的形式，介绍了14 种计算方法，其中第一种叫“积算”，就是当时通用的算筹计算方法。还有太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数。 数术记遗中还介绍的一种心算方法。原文说：“既舍数术，宜从心计。 ”注中说:“言舍数术者，谓不用算筹，当以意计之。 ”这说明计算时不用珠、筹、针等工具，只用心算完成。但从注中所举各例来看，此处“计算“ ，有现代对心算的相同的地方，又有不同之处。现在的心算，指在数字运算时，不用计算工具，只用意念完成。而“计数 “的范围颇广，在测量及其它方面，不但
3、不用计算工具，而且想出巧妙办法，不通过数字运算，直接可得所要求的数字结果。“在这部书中，徐岳上还第一次在中国也是在世界历史记载了算盘的样式，书中至少提到了四种算盘，并第一次为“珠算”定名， “珠算，刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位，位各五珠，上一珠与下四珠色别，其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一”。是谈到算盘的最古老的书籍，在世界珠算史上写下了光辉的一页。数术记遗把数的名称按不同的涵义排列三个不同的数列，成为 “九宫图”，是关于一个幻方的清楚的说明，它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一。赵爽约公元 220 年赵爽，又名婴，字君卿，东汉末至三国时代的吴国人。赵爽是中国古代对
4、数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一，他深人研究了周牌算经 ，为该书写了序言，并作了详细注释。在周髀注中，他撰写的勾股圆方图说注文是数学史上极有价值的文献,附录于周髀首章的注文中。其中的“弦图”相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”证明方法叙述为：“ 按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实”。即：考虑以一个直角三角形的勾和股（即直角边和）为边的两个正方形的合并图形（如图） ，其面积应该为。如果将这个合并图形所含的两个三角形补到图中所示的位置，就得到一个以原三角形的弦（即）为边长的正方形，
5、其面积应为，所以有= 勾股图说短短五百多字，附图六张，简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成就，不只勾股定理和其它关于勾股胘的恒等式获得了相当严格的证明，并且对二次方程解法提供了新的意见。他在书中补充的“勾股圆方图及注”和“ 日高图及注 ”，是十分重要的数学文献。在“日高图及注” 中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，这些工作都是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。刘徽约公元 3 世纪关于刘徽的生卒年代和身世履历不详，据考证他可能是现今山东省临淄或淄川一带人。刘徽继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“
6、析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的九章算术注不仅是对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。他的主要贡献有：1.定义了若干数学概念，全面论证了九章算术的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，在数学理论方面成绩斐然。刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。而且他使用概念时也保持了其同一性。如他提出“凡数相与者谓之率”，把“率”定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为“今两算得失相反，要令正负以名之”，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。九章算术的算
7、法抽象，相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了中国算术中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪，许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”，都可以归结为今有术（比例算法）求解。2.发展了“出入相补” 原理。一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。把一个平面（或立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。基于这两条不言自明的前提出的“出入相补”原理， ，是我国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了“出入相补”原理，创立了“ 以盈补虚法 ”，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、
8、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。3.割圆术。在数学证明中成功地运用无穷小分割和极限思想，是刘徽最杰出的贡献。九章算术提出圆面积公式 S/2r （S 为圆面积，为圆周长，r 为半径） 。为证明这个公式，刘徽从圆内接正六边形 S6（称为六觚）开始割圆，依次得圆内接正十二边形S12，圆内接正二十四边形 S24，S6 所有 S6S，但“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。 ”这相当于：于是刘徽就把圆化为与之合体的内接正多边形来求面积，再把这个正多边形分割成以每边为底以圆心为顶点的无穷多个小三角形之和，所谓“觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂”。从明证明
9、了 Sl/2r。(l 表示圆的周长， r 表示圆的半径。)刘徽批评了以往“圆径一而周三”的错误，指出此公式中周径比是“至然之数”，即圆周率。他从圆的内接正六边形出发，一直计算到 192 边形，得到圆周率精确到小数点后两位数，求出了 的两个近似值 157/50（约为 3.14） ，这就是有名的 “徽率”，他还声明“此率尚微小”，根据需要算出圆周率为 3927/1250，并且他更进一步算出 3.14+载，唐朝初年曾任算历博士。武德九年(626)任通直郎太史丞，并参与修改历法工作。王孝通的主要贡献在数学方面，著有(或称)，后被列为之一。王孝通时代，土木建筑发展很快，一些复杂问题超出了原有数学知识的范
10、围王孝通曾研究过九章算术和缀术 ，但当他运用这些书中的数学去解决实际问题时，感到满足不了需要于是他结合实际，钻研数学多年，创立了不少解决工程问题的新术，成书缉古算经 全书共 20 题，大部分与土木工程有关，也有天文和勾股问题题目虽然不多，但难度较大，王孝通是特地找那些前人没有研究过或未解决的问题加以研究的。在缉古算经中，王孝通在代数、几何方面有所创新。它的主要数学成就有：1、堤坝型体积公式早在九章算术商功章中，就有许多体积公式，但都比较规则，对于上下宽窄不一，前后高低不同的堤坝型体积计算则无能为力王孝通研究了筑坝、挖河等工程建设中提出的这类问题，在缉古算经第 3 题中建立了新的公式：“堤积术”
11、，这是王孝通一生中的得意创作。原题为：“假令筑堤，西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸，东头高少于西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多于东头高四百七十六尺九寸。”王孝通用文字叙述的方法给出了求这类堤坝体积的一般公式。设西头上宽 a，下宽b，东头上宽 a，下宽 b，西头高 h，东头高 h，东西水平长 l（如图） ，则王孝通的公式相当于 题中 a 与 a等长，即使不等长，这一公式也适用凡是有两个面平行的六面体体积都可用这一公式求出来。王孝通创立的堤坝型体积公式，在九章算术商功的基础上又前进了一部，在土木工程中有重要意义，遗憾的是他没有留下公式的推导过程。2、三次方程 缉古算经
12、20 道题中，绝大部分是三次方程问题，它是世界上最早在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，并提出求三次方程的正根方法，书中给出了 28 个形如的正系数方程和它的正有理根，其中 a，b，c 是非负有理数且 c 不为 0，王孝通称 c 为实，b 为方法，a 为廉法。以第 2 题为例。该题为：“假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕”所求为台的长、宽、高 仰观台实际是一个长方台，即九章算术中的刍童王孝通先求上宽，相当于以上宽为 x，于是下宽为 x2，上长为 x
13、+3，下长为 x+7，高为 x11(见图 412)若以V 表示台的体积，则根据王孝通的术文，有 V(14183222)0.07551740( 立方丈) 代入九章算术中的刍童体积公式，得 化简，得， 不过，题中并无设未知数的明确步骤，也没有数学符号。王孝通是通过几何方法，以文字形式建立方程的。至于方程解法，王孝通只说“开立方除之”，估计是用九章算术开立方法中求方根第二位及以后各位的方法来求三次方程正根的。为了简化开方程序，王孝通把所有三次方程的最高项系数化为 1经验证，其解答都是正确的。这项成就不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次
14、方程解决的。这不仅是中国现存典籍中这方面的最早记叙，亦是世界数学史上关于三次方程数值解法及其应用的最古老的杰作。13 世纪斐波那契才得出一个三次方程的数值解，比王孝通晚 600 多年。至于一般三次方程的代数解法直到 16 世纪才出现在意大利人的著作中。算经十书唐朝建立后，在隋朝的基础上继续进行数学教育，把数学与明经、明法、明书等并列为六科，称作明算科。656 年，国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学习内容主要是十部算经，所采用的教材，是由国家统一编订、由太史令李淳风等编纂注释算经十书 ，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等人选定数学课本时，认为周髀是一个最宝贵的数学
15、遗产，将它作为 “十部算经”的第一种书，并给它一个周髀算经的名称，第二部算经便是九章算术 。其它八部算经是：海岛算经(公元 3 世纪，刘徽着) ；孙子算经 (约公元 45 世纪)；夏候阳算经 ；张邱建算经 ；缀术 ；五曹算经 、 五经算经(公元 6 世纪，均为甄鸾着)；缉古算经 。 （后来 缀术失传，用 2 世纪徐岳着、6 世纪甄鸾注的数术记遗代替） 。这是十部记载汉唐数学成就的算经，成为后人教学和研究的重要依据。算学馆由算学博士“掌教文武八品以下及庶人之子为生者 ”，共招收学生三十人分为两组，学制均为七年。其中一组十五人学习九章算术 、 海岛算经 、 孙子算经 、 五曹算经 、张丘建算经 、
16、 夏侯阳算经 、 周髀算经和五经算术 ，另一组十五人学习缀术和缉古算经 。按当时规定， 孙子和五曹共限习一年， 九章和海岛共三年，张丘建和夏侯阳各一年， 周髀和五经算共一年， 缀术四年， 缉古三年，此外还要兼习数术记遗和三等数 。李淳风(公元 604-672 年) ，唐代岐州雍人( 今陕西风翔 )。约生于隋文帝仁寿四年(604)，卒于唐高宗咸亨三年(672)。精通天文、历算、阴阳之说。 641 年任太史丞( 相当于天文台副台长)，648 年升为太史令(台长)。656 年因修订国史有功被封为昌乐县男(爵位) ，662 年改为书阁郎中，后复为太史令至终。李淳风注释的十部算经(现称算经十书) ，于
17、656 年被定为国子监教科书刊用全国，每卷第一页都题有“唐朝议大夫、行太史令，上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释”。与李淳风同做注释工作的还有国子监算学博士梁述，太学助教王真儒等。李淳风等人在注释中提出不少新算法，纠正原书存在的缺点错误。此外， 缀术失传，幸有李淳风等在注九章算术时征引了祖冲之父子在缀术中对球体积的研究，后人才得知这一宝贵的成果。他们给周髀算经 、 九章算术以及海岛算经所作的注解，详细指明了解题中的演算步骤，在一定程度上为当时及后人的学习和研究提供了方便，对读者是有帮助的。同时，通过编撰算经十书 ，这些算书又被采用为数学教材，从而使这些反映唐代以前中国古代数学发展情形的最重要的原始文
18、献得以流传至今。对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料也具有非常积极的意义，同时对数学的普及与传播起到非常重要的作用。但李淳风等人的注释工作也存在不少缺点，例如，赞扬祖冲之圆周率 “更开密法”，而没有充分认识到刘徽割圆术的重要意义，认为“徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也”；在九章算术有关圆面积的问题答案下，添加“按密率”计算所得答案，结果使后来不少人误认为“约率”22/7 是祖冲之的“ 密率 ”。算盘与珠算唐中期以后，唐朝中叶的安史之乱虽然不久就被平定，但它对于唐朝的政治、经济、文化发生了巨大的影响，封建土地占有形式发生变化，手工业和商业获得一定程度的发展。工商业的发展促进了数学知识和计算技
19、能的普及，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算工具与方法。劳动人民简化了筹算乘除的演算手续，减轻了数字计算的工作，现在有传本的韩延算术 （后被误以为夏侯阳算经 ）就是其中的一部。在中国古代，算筹是的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点。因此，对于算筹的改革很早就开始进行了，唐朝时已经出现了算盘，其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。在算法上，从新唐书等文献留下来的算书书目可以看出，这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用
20、于珠算。尤其是“珠算” ，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此还没有普遍应用。僧一行公元 683-727 年僧一行是唐朝卓越的天文学家、高僧。他原名张遂，魏州吕乐 今河南北端与河北交界处的南乐县人。其曾祖为唐代开国功臣。张遂自幼博学，因不满武则天擅权而剃度为僧，后来成为天台密宗的领袖。武氏退位后一行应召入京主持修历。公元 724 年，张遂发起与组织一次大规模的天文测量活动，实测出地球子午线一度的长；在测量过程中，一行除推广了刘焯公元 544-610 年的内插法外，还
21、建立了不等问题的二次内插公式，即数学史上有名的“张遂内插法公式”。公元 727 年，一行又编成了大衍历 ， 大衍历不仅使用了等间距二次内插公式，和不等间距二次内插公式，还涉及到三次内插公式。有些数学史家认为该书由北周甄鸾著。世界珠算通典第 279 页。设原直角三角形为 rtABC，其面积为 S=2 朱实，按原文的意思应该直译为：ab=2朱实，2ab=4 朱实，=黄实，所以有+2ab=。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿 ”。吴文俊先生说：“从对数学贡献的角度来衡量，刘徽应该与欧几里德、阿基米德等相提并论。 ”有人认为祖冲之圆周率中“盈数”是用作圆的外切正多边形的方法求
22、得的，从祖冲之的数学水平来看，突破刘徽的方法，从外切正六边形算起，逐次试求圆周率，也是可能的。如果祖冲之把外切正六边形的边数成倍增加，到正 24576 边形时，他所求得的圆周率应该是 3.14159270208。这个数是用外切方法求得的。由于外切正多边形各边边长的总和永远大于圆周的长度，这正多边形的面积也永远大于圆面积，所以这个数总比真实的圆周率大。用四舍五入法舍去小数点七位以后的数字，就得出盈数。在现代数论中，如果将 表示成连分数，则其渐进分数为：3/1，22/7，333/106，355/113 ，103993/33102 ，104348/33215第一项与九章算术里的结果相同，可称作古率，
23、第二项是约率，第四项是密率，这是分子和分母都不超过1000 的分数里最接近 真值的。 1913 年，日本数学史家三上义夫（1875-1950）在其有重大影响的著作中国和日本的数学之发展里，主张把这一圆周率数值称为“祖率”。但时至今日，我们仍然无法知晓祖冲之当初是如何计算出这个分数的。没有任何证据可以说明，中国古代已有连分数的概念或应用，而割圆术是无法直接得到祖率的。因此有史家猜测，他是用同样发明于南北朝的“调日法”测得的。所谓“调日法” 的基本思想如下：假如 a/b，c/d 分别为不足和过剩近似分数，那么适当选取 m、n，新得出的分数（ma+nc）/（mb+nd ）有可能更接近真值。这个方法是
24、由刘宋政治家何承业首先提出来的，他同时还是著名的天文学家和文学家。如果在 157/50（刘徽）和22/7（约率）之间选择 m=1，n=9，或在 3/1（古率）和 22/7 之间选择 m=1，n=16，均可获得 355/113（密率） 。我们可以推测，祖冲之用 “调日法”求得密率后，再用割圆术加以验证，如同阿基米德运用平衡法和穷竭法一样。据钱宝琮考证，祖冲之已能解负系数三次方程。：两汉时期魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃，它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高，所以魏、晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中吴国赵爽注周髀算经 ，汉末魏初徐
25、岳撰九章算术注，魏末晋初刘徽撰九章算术注、 九章重差图都是出现在这个时期。而赵爽与刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端，为中国古代数学体系奠定了理论基础。徐岳汉 （？ 220 年）徐岳，字公河，东莱今山东掖县 人，相传师从刘洪约公元 206 年左右学历算，对九章算术有研究。他搜集我国先秦以来大量数学资料，撰写出数术记遗、 算经要用等具有历史意义的数学著作。数术记遗详细的记录了他与刘洪算术的精华，全书以与刘洪问答的形式，介绍了14 种计算方法，其中第一种叫“积算”，就是当时通用的算筹计算方法。还有太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、
26、计数。 数术记遗中还介绍的一种心算方法。原文说：“既舍数术，宜从心计。 ”注中说:“言舍数术者，谓不用算筹，当以意计之。 ”这说明计算时不用珠、筹、针等工具，只用心算完成。但从注中所举各例来看，此处“计算“ ，有现代对心算的相同的地方，又有不同之处。现在的心算，指在数字运算时，不用计算工具，只用意念完成。而“计数 “的范围颇广，在测量及其它方面，不但不用计算工具，而且想出巧妙办法，不通过数字运算，直接可得所要求的数字结果。“在这部书中，徐岳上还第一次在中国也是在世界历史记载了算盘的样式，书中至少提到了四种算盘，并第一次为“珠算”定名， “珠算，刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位，
27、位各五珠，上一珠与下四珠色别，其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一”。是谈到算盘的最古老的书籍，在世界珠算史上写下了光辉的一页。数术记遗把数的名称按不同的涵义排列三个不同的数列，成为 “九宫图”，是关于一个幻方的清楚的说明，它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一。赵爽约公元 220 年赵爽，又名婴，字君卿，东汉末至三国时代的吴国人。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一，他深人研究了周牌算经 ，为该书写了序言，并作了详细注释。在周髀注中，他撰写的勾股圆方图说注文是数学史上极有价值的文献,附录于周髀首章的注文中。其中的“弦图”相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理：“勾
28、股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”证明方法叙述为：“ 按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实”。即：考虑以一个直角三角形的勾和股（即直角边和）为边的两个正方形的合并图形（如图） ，其面积应该为。如果将这个合并图形所含的两个三角形补到图中所示的位置，就得到一个以原三角形的弦（即）为边长的正方形，其面积应为，所以有= 勾股图说短短五百多字，附图六张，简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成就，不只勾股定理和其它关于勾股胘的恒等式获得了相当严格的证明，并且对二次方程解法提供了新的意见。他在书中补充的“勾股圆方图及注”和“ 日高图及注 ”，是十分重
29、要的数学文献。在“日高图及注” 中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，这些工作都是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。刘徽约公元 3 世纪关于刘徽的生卒年代和身世履历不详，据考证他可能是现今山东省临淄或淄川一带人。刘徽继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的九章算术注不仅是对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。他的主要贡献有：1.定义了若干数学概念，全面论证了九章算术的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，
30、在数学理论方面成绩斐然。刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。而且他使用概念时也保持了其同一性。如他提出“凡数相与者谓之率”，把“率”定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为“今两算得失相反，要令正负以名之”，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。九章算术的算法抽象，相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了中国算术中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪，许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”，都可以归结为今有术（比例算法）求解。2.发展了“出入相补”
31、原理。一平面（或立体）图形经过平移或旋转，其面积（或体积）不变。把一个平面（或立体）图形分解成若干部分，各部分面积（或体积）之和与原图形面积（或体积）相等。基于这两条不言自明的前提出的“出入相补”原理， ，是我国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了“出入相补”原理，创立了“ 以盈补虚法 ”，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。3.割圆术。在数学证明中成功地运用无穷小分割和极限思想，是刘徽最杰出的贡献。九章算术提出圆面积公式 S/2r （S 为圆面积，为圆周长，r 为半径） 。为证明这个公式，刘徽从圆内接正六边形 S6（称为六觚）
32、开始割圆，依次得圆内接正十二边形S12，圆内接正二十四边形 S24，S6 所有 S6S，但“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。 ”这相当于：然后他证明而于是刘徽就把圆化为与之合体的内接正多边形来求面积，再把这个正多边形分割成以每边为底以圆心为顶点的无穷多个小三角形之和，所谓“觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂”。从明证明了 Sl/2r。(l 表示圆的周长， r 表示圆的半径。)刘徽批评了以往“圆径一而周三”的错误，指出此公式中周径比是“至然之数”，即圆周率。他从圆的内接正六边形出发，一直计算到 192 边形，得到圆周率精确到小数点后两位数，求出了 的两
33、个近似值 157/50（约为 3.14） ，这就是有名的 “徽率”，他还声明“此率尚微小”，根据需要算出圆周率为 3927/1250，并且他更进一步算出 3.14+载，唐朝初年曾任算历博士。武德九年(626)任通直郎太史丞，并参与修改历法工作。王孝通的主要贡献在数学方面，著有(或称)，后被列为之一。王孝通时代，土木建筑发展很快，一些复杂问题超出了原有数学知识的范围王孝通曾研究过九章算术和缀术 ，但当他运用这些书中的数学去解决实际问题时，感到满足不了需要于是他结合实际，钻研数学多年，创立了不少解决工程问题的新术，成书缉古算经 全书共 20 题，大部分与土木工程有关，也有天文和勾股问题题目虽然不多
34、，但难度较大，王孝通是特地找那些前人没有研究过或未解决的问题加以研究的。在缉古算经中，王孝通在代数、几何方面有所创新。它的主要数学成就有：1、堤坝型体积公式早在九章算术商功章中，就有许多体积公式，但都比较规则，对于上下宽窄不一，前后高低不同的堤坝型体积计算则无能为力王孝通研究了筑坝、挖河等工程建设中提出的这类问题，在缉古算经第 3 题中建立了新的公式：“堤积术”，这是王孝通一生中的得意创作。原题为：“假令筑堤，西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸，东头高少于西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多于东头高四百七十六尺九寸。”王孝通用文字叙述的方法给出了求这类堤坝体积的一般公式
35、。设西头上宽 a，下宽b，东头上宽 a，下宽 b，西头高 h，东头高 h，东西水平长 l（如图） ，则王孝通的公式相当于 题中 a 与 a等长，即使不等长，这一公式也适用凡是有两个面平行的六面体体积都可用这一公式求出来。王孝通创立的堤坝型体积公式，在九章算术商功的基础上又前进了一部，在土木工程中有重要意义，遗憾的是他没有留下公式的推导过程。2、三次方程 缉古算经20 道题中，绝大部分是三次方程问题，它是世界上最早在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，并提出求三次方程的正根方法，书中给出了 28 个形如的正系数方程和它的正有理根，其中 a，b，c 是非负有理数且 c 不为 0，王孝通称 c
36、为实，b 为方法，a 为廉法。以第 2 题为例。该题为：“假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕”所求为台的长、宽、高 仰观台实际是一个长方台，即九章算术中的刍童王孝通先求上宽，相当于以上宽为 x，于是下宽为 x2，上长为 x+3，下长为 x+7，高为 x11(见图 412)若以V 表示台的体积，则根据王孝通的术文，有 V(14183222)0.07551740( 立方丈) 代入九章算术中的刍童体积公式，得 化简，得， 不过，题中并无设未知数的明确步骤，也没
37、有数学符号。王孝通是通过几何方法，以文字形式建立方程的。至于方程解法，王孝通只说“开立方除之”，估计是用九章算术开立方法中求方根第二位及以后各位的方法来求三次方程正根的。为了简化开方程序，王孝通把所有三次方程的最高项系数化为 1经验证，其解答都是正确的。这项成就不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。这不仅是中国现存典籍中这方面的最早记叙，亦是世界数学史上关于三次方程数值解法及其应用的最古老的杰作。13 世纪斐波那契才得出一个三次方程的数值解，比王孝通晚 600 多年。至于一般三次方程的代数解法直到 16 世纪才出现在意
38、大利人的著作中。算经十书唐朝建立后，在隋朝的基础上继续进行数学教育，把数学与明经、明法、明书等并列为六科，称作明算科。656 年，国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学习内容主要是十部算经，所采用的教材，是由国家统一编订、由太史令李淳风等编纂注释算经十书 ，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等人选定数学课本时，认为周髀是一个最宝贵的数学遗产，将它作为 “十部算经”的第一种书，并给它一个周髀算经的名称，第二部算经便是九章算术 。其它八部算经是：海岛算经(公元 3 世纪，刘徽着) ；孙子算经 (约公元 45 世纪)；夏候阳算经 ；张邱建算经 ；缀术 ；五曹算经 、 五经算
39、经(公元 6 世纪，均为甄鸾着)；缉古算经 。 （后来 缀术失传，用 2 世纪徐岳着、6 世纪甄鸾注的数术记遗代替） 。这是十部记载汉唐数学成就的算经，成为后人教学和研究的重要依据。算学馆由算学博士“掌教文武八品以下及庶人之子为生者 ”，共招收学生三十人分为两组，学制均为七年。其中一组十五人学习九章算术 、 海岛算经 、 孙子算经 、 五曹算经 、张丘建算经 、 夏侯阳算经 、 周髀算经和五经算术 ，另一组十五人学习缀术和缉古算经 。按当时规定， 孙子和五曹共限习一年， 九章和海岛共三年，张丘建和夏侯阳各一年， 周髀和五经算共一年， 缀术四年， 缉古三年，此外还要兼习数术记遗和三等数 。李淳风
40、(公元 604-672 年) ，唐代岐州雍人( 今陕西风翔 )。约生于隋文帝仁寿四年(604)，卒于唐高宗咸亨三年(672)。精通天文、历算、阴阳之说。 641 年任太史丞( 相当于天文台副台长)，648 年升为太史令(台长)。656 年因修订国史有功被封为昌乐县男(爵位) ，662 年改为书阁郎中，后复为太史令至终。李淳风注释的十部算经(现称算经十书) ，于 656 年被定为国子监教科书刊用全国，每卷第一页都题有“唐朝议大夫、行太史令，上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释”。与李淳风同做注释工作的还有国子监算学博士梁述，太学助教王真儒等。李淳风等人在注释中提出不少新算法，纠正原书存在的缺点错误。此外
41、， 缀术失传，幸有李淳风等在注九章算术时征引了祖冲之父子在缀术中对球体积的研究，后人才得知这一宝贵的成果。他们给周髀算经 、 九章算术以及海岛算经所作的注解，详细指明了解题中的演算步骤，在一定程度上为当时及后人的学习和研究提供了方便，对读者是有帮助的。同时，通过编撰算经十书 ，这些算书又被采用为数学教材，从而使这些反映唐代以前中国古代数学发展情形的最重要的原始文献得以流传至今。对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料也具有非常积极的意义，同时对数学的普及与传播起到非常重要的作用。但李淳风等人的注释工作也存在不少缺点，例如，赞扬祖冲之圆周率 “更开密法”，而没有充分认识到刘徽割圆术的重要意义，
42、认为“徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也”；在九章算术有关圆面积的问题答案下，添加“按密率”计算所得答案，结果使后来不少人误认为“约率”22/7 是祖冲之的“ 密率 ”。算盘与珠算唐中期以后，唐朝中叶的安史之乱虽然不久就被平定，但它对于唐朝的政治、经济、文化发生了巨大的影响，封建土地占有形式发生变化，手工业和商业获得一定程度的发展。工商业的发展促进了数学知识和计算技能的普及，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算工具与方法。劳动人民简化了筹算乘除的演算手续，减轻了数字计算的工作，现在有传本的韩延算术 （后被误以为夏侯阳算经 ）就是其中的一部。在中国古代，算筹是的主要计算工具，它具有简单、形象、具
43、体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点。因此，对于算筹的改革很早就开始进行了，唐朝时已经出现了算盘，其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。在算法上，从新唐书等文献留下来的算书书目可以看出，这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。尤其是“珠算” ，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此还没有普遍应用。僧一行公元 683-727
44、年僧一行是唐朝卓越的天文学家、高僧。他原名张遂，魏州吕乐 今河南北端与河北交界处的南乐县人。其曾祖为唐代开国功臣。张遂自幼博学，因不满武则天擅权而剃度为僧，后来成为天台密宗的领袖。武氏退位后一行应召入京主持修历。公元 724 年，张遂发起与组织一次大规模的天文测量活动，实测出地球子午线一度的长；在测量过程中，一行除推广了刘焯公元 544-610 年的内插法外，还建立了不等问题的二次内插公式，即数学史上有名的“张遂内插法公式”。公元 727 年，一行又编成了大衍历 ， 大衍历不仅使用了等间距二次内插公式，和不等间距二次内插公式，还涉及到三次内插公式。有些数学史家认为该书由北周甄鸾著。世界珠算通典
45、第 279 页。设原直角三角形为 rtABC，其面积为 S=2 朱实，按原文的意思应该直译为：ab=2朱实，2ab=4 朱实，=黄实，所以有+2ab=。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿 ”。吴文俊先生说：“从对数学贡献的角度来衡量，刘徽应该与欧几里德、阿基米德等相提并论。 ”有人认为祖冲之圆周率中“盈数”是用作圆的外切正多边形的方法求得的，从祖冲之的数学水平来看，突破刘徽的方法，从外切正六边形算起，逐次试求圆周率，也是可能的。如果祖冲之把外切正六边形的边数成倍增加，到正 24576 边形时，他所求得的圆周率应该是 3.14159270208。这个数是用外切方法求得的
46、。由于外切正多边形各边边长的总和永远大于圆周的长度，这正多边形的面积也永远大于圆面积，所以这个数总比真实的圆周率大。用四舍五入法舍去小数点七位以后的数字，就得出盈数。在现代数论中，如果将 表示成连分数，则其渐进分数为：3/1，22/7，333/106，355/113 ，103993/33102 ，104348/33215第一项与九章算术里的结果相同，可称作古率，第二项是约率，第四项是密率，这是分子和分母都不超过1000 的分数里最接近 真值的。 1913 年，日本数学史家三上义夫（1875-1950）在其有重大影响的著作中国和日本的数学之发展里，主张把这一圆周率数值称为“祖率”。但时至今日，我
47、们仍然无法知晓祖冲之当初是如何计算出这个分数的。没有任何证据可以说明，中国古代已有连分数的概念或应用，而割圆术是无法直接得到祖率的。因此有史家猜测，他是用同样发明于南北朝的“调日法”测得的。所谓“调日法” 的基本思想如下：假如 a/b，c/d 分别为不足和过剩近似分数，那么适当选取 m、n，新得出的分数（ma+nc）/（mb+nd ）有可能更接近真值。这个方法是由刘宋政治家何承业首先提出来的，他同时还是著名的天文学家和文学家。如果在 157/50（刘徽）和22/7（约率）之间选择 m=1，n=9，或在 3/1（古率）和 22/7 之间选择 m=1，n=16，均可获得 355/113（密率） 。我们可以推测，祖冲之用 “调日法”求得密率后，再用割圆术加以验证，如同阿基米德运用平衡法和穷竭法一样。据钱宝琮考证，
