1、2014-2015 学年安徽省黄山市田家炳实验中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分）1设 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi=2+i，则 z 等于（ ）A 2i B 2i C 1+2i D 12i2设集合 A=x|1x4，集合 B=x|x22x30，则 A（ RB）=（ ）A （1，4） B （3，4） C （1，3） D （1，2）（3，4）3各项为正的等比数列a n中，a 4与 a14的等比中项为 2 ，则 log2a7+log2a11=（ ）A 4 B 3 C 2 D 14某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）A B C D 5
2、已知 a，b 是实数，则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab0”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件6一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A B （4+） C D 7设变量 x，y 满足约束条件 目标函数 z=ax+2y 仅在（1，0）处取得最小值，则 a 的取值范围为（ ）A （1，2） B （2，4） C （4，0 D （4，2）8在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步，程序 B 和 C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
3、A 24 种 B 48 种 C 96 种 D 144 种9如图，F 1，F 2是双曲线 C： （a0，b0）的左、右焦点，过 F1的直线 l与 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A B C 2 D 10定义域为a，b的函数 y=f（x）图象的两个端点为 A、B，M（x，y）是 f（x）图象上任意一点，其中 x=a+（1）ba，b，已知向量 ，若不等式 恒成立，则称函数 f（x）在a，b上“k 阶线性近似” 若函数 在1，2上“k 阶线性近似” ，则实数 k 的取值范围为（ ）A 0，+） B C D 二、填空题（共
4、 5 小题，每小题 5 分）11若在 的展开式中，第 4 项是常数项，则 n= 12随机变量 XN（1， 2） ，若 P（|X1|1）= ，则 P（X0）= 13已知| |=1，| |1，且 SOAB = ，则 与 夹角的取值范围是 14在直角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的极坐标为（4 ， ） ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，则过点 M 与曲线 C 相切的直线方程为 15设函数 f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：当 c=0 时，有 f（x）=f（x）成立； 当 b=0，c0 时，方程 f（x）=0，只有一个实数根；
5、函数 y=f（x）的图象关于点（0，c）对称 当 x0 时，函数 f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是 c 其中正确的命题的序号是 三、解答题（共 6 小题，共 75 分，解答时需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知函数 f（x）= sin2x+cos2x+3（）求 f（x）的最小正周期与单调递减区间；（）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 a= ，f（A）=4，求 b+c 的最大值17乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换，每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分设在甲、乙的
6、比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 ，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球（）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；（） 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 的分布列与数学期望18如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE平面 ABCD，AFDE，DE=3AF，BE 与平面 ABCD所成角为 60（）求二面角 FBED 的余弦值；（）设 M 是线段 BD 上的一个动点，问当 的值为多少时，可使得 AM平面 BEF，并证明你的结论19已知 P 为抛物线 C：y 2=2px（p0）的图象上位于第一象限内的一点，F 为抛物线 C 的焦点，O 为坐
7、标原点，过 O、F、P 三点的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物线的准线的距离为 （）求抛物线 C 的方程；（）过点 N（4，0）作 x 轴的垂线 l，S、T 为 l 上的两点，满足 OSOT，过 S 及 T 分别作 l 的垂线与抛物线 C 分别相交于 A 与 B，直线 AB 与 x 轴的交点为 M，求证：M 是定点，并求出该点的坐标20已知函数 f（x）=x（xa） 2+b 在 x=2 处有极大值（）求 a 的值；（）若过原点有三条直线与曲线 y=f（x）相切，求 b 的取值范围；（）当 x2，4时，函数 y=f（x）的图象在抛物线 y=1+45x9x 2的下方，求 b 的取值范围21已知数列a
8、 n满足 a1=1，a n+1=2an+1（nN *） （）求数列a n的通项公式；（）若数列b n滿足 ，证明：数列b n是等差数列；（）证明： 2014-2015 学年安徽省黄山市田家炳实验中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分）1设 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi=2+i，则 z 等于（ ）A 2i B 2i C 1+2i D 12i考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 计算题分析： 将 zi=2+i 变形，可求得 z，再将其分母实数化即可解答： 解：zi=2+i，z= = = =12i，故选 D点评： 本题考查复数代数
9、形式的乘除运算，将其分母实数化是关键，属于基础题2设集合 A=x|1x4，集合 B=x|x22x30，则 A（ RB）=（ ）A （1，4） B （3，4） C （1，3） D （1，2）（3，4）考点： 交、并、补集的混合运算专题： 集合分析： 由题意，可先解一元二次不等式，化简集合 B，再求出 B 的补集，再由交的运算规则解出 A（ RB）即可得出正确选项解答： 解：由题意 B=x|x22x30=x|1x3，故 RB=x|x1 或 x3，又集合 A=x|1x4，A（ RB）=（3，4）故选 B点评： 本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键3各项
10、为正的等比数列a n中，a 4与 a14的等比中项为 2 ，则 log2a7+log2a11=（ ）A 4 B 3 C 2 D 1考点： 等比数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 利用 a4a14=（a 9） 2，各项为正，可得 a9=2 ，然后利用对数的运算性质，即可得出结论解答： 解：各项为正的等比数列a n中，a 4与 a14的等比中项为 2 ，a 4a14=（2 ） 2=8，a 4a14=（a 9） 2，a 9=2 ，log 2a7+log2a11=log2a7a11=log2（a 9） 2=3，故答案为：3点评： 本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属
11、基础题4某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）A B C D 考点： 程序框图专题： 图表型分析： 由题意可知，该程序的作用是求解 n= 的值，然后利用裂项求和即可求解解答： 解：由题意可知，该程序的作用是求解 n= 的值，而 故选 C点评： 本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能5已知 a，b 是实数，则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab0”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 计算题分析： 因为“|a+b|=|a|+|b|” ，说明
12、 ab 同号，但是有时 a=b=0 也可以，从而进行判断；解答： 解：若 ab0，说明 a 与 b 全大于 0 或者全部小于 0，可得“|a+b|=|a|+|b|” ，若“|a+b|=|a|+|b|” ，可以取 a=b=0，此时也满足“|a+b|=|a|+|b|” ，“ab0”“|a+b|=|a|+|b|” ；“|a+b|=|a|+|b|”是“ab0”必要不充分条件，故选 B；点评： 此题主要考查充分条件和必要条件的定义，是一道基础题；6一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A B （4+） C D 考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题分析：
13、几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是 2，四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形，做出圆锥的高，根据圆锥和圆柱的体积公式得到结果解答： 解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是 2，四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是 = ，几何体的体积是 = ，故选 D点评： 本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察7设变量 x，y 满足约束条件 目标函数 z=ax+2y 仅在（1，0）处取得最小
14、值，则 a 的取值范围为（ ）A （1，2） B （2，4） C （4，0 D （4，2）考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线 z=ax+2y 过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到 a的取值范围即可解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：当 a=0 时，显然成立当 a0 时，直线 ax+2yz=0 的斜率 k= k AC=1，解得 a2当 a0 时，k= k AB=2解得 a4综合得4a2，故选：D点评： 本题主要考查线性规划的应用，体现了数形结合思想、化归思想线
15、性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定8在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步，程序 B 和 C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）A 24 种 B 48 种 C 96 种 D 144 种考点： 计数原理的应用专题： 计算题分析： 本题是一个分步计数问题，A 只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列，程序 B 和 C 实施时必须相邻，把 B 和 C 看做一个元素，同除 A 外的 3 个元素排列，注意 B 和 C 之间还有一个排列解答： 解：本题是一个分步计数问题，由题意知程序 A 只能
16、出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列，有 A21=2 种结果程序 B 和 C 实施时必须相邻，把 B 和 C 看做一个元素，同除 A 外的 3 个元素排列，注意 B 和 C 之间还有一个排列，共有 A44A22=48 种结果根据分步计数原理知共有 248=96 种结果，故选 C点评： 本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列9如图，F 1，F 2是双曲线 C： （a0，b0）的左、右焦点，过 F1的直线 l与 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点若|AB|：|
17、BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A B C 2 D 考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题分析： 根据双曲线的定义可求得 a=1，ABF 2=90，再利用勾股定理可求得 2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率解答： 解：|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF 2|=4，|AF 2|=5，|AB| 2+ = ，ABF 2=90，又由双曲线的定义得：|BF 1|BF 2|=2a，|AF 2|AF 1|=2a，|AF 1|+34=5|AF 1|，|AF 1|=3|BF 1|BF 2|=3+34=2a，a=1在 RtBF 1F2
18、中， = + =62+42=52，又 =4c2，4c 2=52，c= 双曲线的离心率 e= = 故选 A点评： 本题考查双曲线的简单性质，求得 a 与 c 的值是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题10定义域为a，b的函数 y=f（x）图象的两个端点为 A、B，M（x，y）是 f（x）图象上任意一点，其中 x=a+（1）ba，b，已知向量 ，若不等式 恒成立，则称函数 f（x）在a，b上“k 阶线性近似” 若函数 在1，2上“k 阶线性近似” ，则实数 k 的取值范围为（ ）A 0，+） B C D 考点： 函数与方程的综合运用专题： 压轴题；新定义分析： 本题求解的关键是得出 M、N 横
19、坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题解答： 解：由题意，M、N 横坐标相等， 恒成立即 k 恒大于等于 ，则 k的最大值，所以本题即求 的最大值由 N 在 AB 线段上，得 A（1，0） ，B（2， ）AB 方程 y= （x1）由图象可知，MN=y 1y 2=x （x1）= （ + ） （均值不等式）故选 D点评： 解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分）11若在 的展开式中，第 4 项是常数项，则 n= 18 考点： 二项式系数的性质专题： 计算题分析： 利用 的展开式的通项公式 Tr+1= （1） r xr ，由第 4
20、 项是常数项即可求得 n 的值解答： 解：设 的展开式的通项公式为 Tr+1，则 Tr+1= （ 1） r xr =（1） r ，第 4 项是常数项， （n3）3=0，n=18故答案为：18点评： 本题考查二项式系数的性质，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题12随机变量 XN（1， 2） ，若 P（|X1|1）= ，则 P（X0）= 考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题： 计算题；概率与统计分析： 根据 XN（1， 2） ，可得图象关于 x=1 对称，利用 P（|X1|1）= ，即可求得结论解答： 解：P（|X1|1）= ，P（0X2）= ，XN（1， 2） ，图象关于 x=
21、1 对称，P（X0）=P（X0）=1 = ，故答案为：点评： 本题考查正态分布的特点，是一个基础题，解题时注意正态曲线的对称性和概率之和等于 1 的性质13已知| |=1，| |1，且 SOAB = ，则 与 夹角的取值范围是 考点： 数量积表示两个向量的夹角；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 设 与 夹角为 ， （0，） ，由于 ，且 ，可得= ，化为 = ，再利用 ，可得 进而解出解答： 解：设 与 夹角为 ， （0，） ， ，且 ， = ， = ， ， ， 故答案为：点评： 本题考查了三角形的面积公式、向量的数量积和夹角公式和计算能力，属于中档题14在直
22、角坐标平面内，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的极坐标为（4 ， ） ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，则过点 M 与曲线 C 相切的直线方程为 7x24y+68=0 和 x=4 考点： 参数方程化成普通方程专题： 坐标系和参数方程分析： 把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，分切线的斜率不存在、存在两种情况，分别求得切线的方程解答： 解：根据点 M 的极坐标为（4 ， ） ，可得点 M 的直角坐标为（4，4） ，把曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数化为直角坐标方程为 （x1） 2+y2=9，表示以（1，0）为圆心、半径等于
23、3 的圆当切线的斜率不存在时，切线的方程为 x=4，当切线的斜率存在时，设切线的方程为 y4=k（x4） ，即 kxy+44k=0，由圆心到切线的距离等于半径，可得 6k 224k13=0，求得 k= ，故切线的方程为 7x24y+68=0，综上可得，圆的切线方程为：7x24y+68=0 和 x=4，故答案为：7x24y+68=0 和 x=4点评： 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题15设函数 f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：当 c=0 时，有 f（x）=f（x）成立； 当 b=0，c
24、0 时，方程 f（x）=0，只有一个实数根；函数 y=f（x）的图象关于点（0，c）对称 当 x0 时，函数 f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是 c 其中正确的命题的序号是 考点： 命题的真假判断与应用菁优网版权所有专题： 探究型；函数的性质及应用分析： c=0，f（x）=x|x|bx=x|x|bx=f（x） ，由奇函数的定义判断b=0，c0，f（x）=x|x|+c= ，根据函数的图象可得结论；因为 f（x）=|x|x+bx 为奇函数，所以图象关于（0，0）对称，而 f（x）=|x|x+bx+c 是把 f（x）=|x|x+bx 向上或向下平移了|c|各单位，故可得结论；当 x0
25、时，函数 f（x）=x|x|+bx+c=x 2+bx+c，若 b0，则 f（x）有最小值 解答： 解：c=0，f（x）=x|x|+bx，f（x）=x|x|+b（x）=f（x） ，故正确；b=0，c0，f（x）=x|x|+c= ，因为 c0，所以当 x0 时，函数顶点在 x 轴上方且开口向上，图象与 x 轴无交点，当 x0 时，图象顶点在 x 轴上方且开口向下，图象与 x 轴只有一个交点，故方程 f（x）=0 只有一个实数根，命题正确；因为 f（x）=|x|x+bx 为奇函数，所以图象关于（0，0）对称，而 f（x）=|x|x+bx+c 是把 f（x）=|x|x+bx 向上或向下平移了|c|各单
26、位，所以 y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故命题正确；当 x0 时，函数 f（x）=x|x|+bx+c=x 2+bx+c，若 b0，则 f（x）有最小值 ，故不正确综上，正确的命题的序号是故答案为：点评： 本题综合考查了函数的奇偶性、对称性及函数图象在解题中的运用，要求考生熟练掌握函数的性质，并能灵活运用性质求解三、解答题（共 6 小题，共 75 分，解答时需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知函数 f（x）= sin2x+cos2x+3（）求 f（x）的最小正周期与单调递减区间；（）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 a= ，f（A）=4，求
27、b+c 的最大值考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦定理专题： 三角函数的图像与性质；解三角形分析： （）利用两角和公式对函数解析式整理后，利用三角函数周期公式求得最小周期，然后利用三角函数性质求得函数的单调增区间（）利用 f（A）的值，求得 A，进而利用正弦定理分别表示出 b 和 c，然后利用两角和公式整理后，利用三角函数的性质求得 b+c 的最大值解答： 解：（） =2sin（2x+ ）+3 f（x）的最小正周期 T= = 由 得f（x）的单调递减区间为 ，（）由 f（A）=4 得 2sin（2A+ ）+3=4，sin（2A+ ）=0A， 2A+ ，2A+ =
28、，A= ，又 = = =2， =当 时，b+c 最大为 2点评： 本题主要考查两角和公式的运用，正弦定理的应用，三角函数的性质等知识点考查了学生对三角函数基础知识的综合运用17乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换，每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 ，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球（）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；（） 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 的分布列与数学期望考点： 离散型随机变量及其分布列；离散
29、型随机变量的期望与方差专题： 概率与统计分析： （1）记 Ai为事件“第 i 次发球，甲胜” ，i=1，2，3，则 P（A 1）=P（A 2）= ，P（A 3）= “开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2”为事件+ A2 + ，由此能求出开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率（2）由题意 =0，1，2，3分别求出 P（=0） ，P（=1） ，P（=2） ，P（=3） ，由此能求出 E解答： 解：（1）记 Ai为事件“第 i 次发球，甲胜” ，i=1，2，3，则 P（A 1）=P（A 2）= ，P（A 3）= “开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2”为事件
30、+ A2 + ，其概率为P（ + A2 + ）=2 + = ，即开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 （6 分）（2）由题意 =0，1，2，3P（=0）= = ，P（=1）=2 +（ ） 3= ，P（=2）=2 + = ，P（=3）= = ， 的分布列为： 0 1 2 3P 所以 E=0 +1 +2 +3 = （12 分）点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用18如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE平面 ABCD，AFDE，DE=3AF，BE 与平面 ABCD所成角为 60（）求二面
31、角 FBED 的余弦值；（）设 M 是线段 BD 上的一个动点，问当 的值为多少时，可使得 AM平面 BEF，并证明你的结论考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定专题： 计算题；综合题分析： （）说明 DA，DC，DE 两两垂直，以 D 为原点，DA，DC，DE 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz 如图所示求出 A，F，E，B，C 的坐标，设平面 BEF 的法向量为 =（x，y，z） ，利用 ，求出 ，说明 为平面 BDE 的法向量，通过 ，求出二面角FBED 的余弦值（）设 M（t，t，0） 通过 AM平面 BEF，通过 ，求出点 M 坐标为（2，2，0） ，
32、即可得到 的值解答： 解：（） 因为 DE平面 ABCD，所以 DEAC因为 ABCD 是正方形，所以 ACBD，从而 AC平面 BDE所以 DA，DC，DE 两两垂直，以 D 为原点，DA，DC，DE 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz 如图所示因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60，即DBE=60，所以 由 AD=2 可知 DE= ，AF= 则 A（3，0，0） ，F（3，0. ） ，E（0，0，3 ） ，B（3，3，0） ，C（0，3，0） ，所以 ， ， （8 分）设平面 BEF 的法向量为 =（x，y，z） ，则 ，即 ，令 z= ，则 =（4，2， ） 因为
33、AC平面 BDE，所以 为平面 BDE 的法向量， =（3，3，0） ，所以 = = 因为二面角为锐角，所以二面角 FBED 的余弦值为 （8 分）（）解：点 M 是线段 BD 上一个动点，设 M（t，t，0） 则 ，因为 AM平面 BEF，所以 ，即 4（t3）+2t=0，解得 t=2此时，点 M 坐标为（2，2，0） ， 符合题意 （12 分）点评： 本题考查用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，空间向量与空间直角坐标系的应用，考查计算能力19已知 P 为抛物线 C：y 2=2px（p0）的图象上位于第一象限内的一点，F 为抛物线 C 的焦点，O 为坐标原点，过 O、F、P 三点
34、的圆的圆心为 Q，点 Q 到抛物线的准线的距离为 （）求抛物线 C 的方程；（）过点 N（4，0）作 x 轴的垂线 l，S、T 为 l 上的两点，满足 OSOT，过 S 及 T 分别作 l 的垂线与抛物线 C 分别相交于 A 与 B，直线 AB 与 x 轴的交点为 M，求证：M 是定点，并求出该点的坐标考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （）由题意得 ，由此能示出抛物线 C 的方程（）设 ，由题意推导出 A（4，4） ，B（4，4） ，直线 AB 过定点（4，0） ，由此能证明 M 为定点（4，0） 解答： （）解：由题意得：点 Q 的横坐标为 ，则所以抛
35、物线 C 的方程为 y2=4x（）证明：设，所以由题意 ， ，当 y1+y2=0 时，y 1=y 2，则 y1=4，y 2=4，A（4，4） ，B（4，4） ，直线 AB 过定点（4，0） ，当直线 AB 方程为 yy 1= 即 M（4，0） ，综上过定点 M（4，0） 点评： 本题考查抛物线方程的求法，考查直线与 x 轴的交点为定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用20已知函数 f（x）=x（xa） 2+b 在 x=2 处有极大值（）求 a 的值；（）若过原点有三条直线与曲线 y=f（x）相切，求 b 的取值范围；（）当 x2，4时，函数 y=f（x）的图象在抛物线 y=
36、1+45x9x 2的下方，求 b 的取值范围考点： 等比关系的确定；利用导数研究函数的极值专题： 计算题分析： （）通过对函数 f（x）求导，根据函数在 x=2 处有极值，可知 f（2）=0，解得a 的值（）把（1）求得的 a 代入函数关系式，设切点坐标，进而根据导函数可知切线斜率，则切线方程可得，整理可求得 b 的表达式，令 g（x）=0 解得 x1和 x2进而可列出函数g（x）的单调性进而可知64b0 时，方程 b=g（x）有三个不同的解，结论可得（）当 x2，4时，函数 y=f（x）的图象在抛物线 y=1+45x9x 2的下方，进而可知x312x 2+36x+b1+45x9x 2在 x2
37、，4时恒成立，整理可得关于 b 的不等式，令h（x）=x 3+3x2+9x+1，对 h（x）进行求导由 h（x）=0 得 x1和 x2分别求得h，h（1） ，h（3） ，h（4） ，进而可知 h（x）在2，4上的最小值是，进而求得 b 的范围解答： 解：（）f（x）=x（xa） 2+b=x32ax+a 2x+b，f（x）=3x 24ax+a 2，f（2）=128a+a 2=0，解得 a=2，a=6，当 a=2 时，函数在 x=2 处取得极小值，舍去；当 a=6 时，f（x）=3x 224x+36=3（x2） （x6） ，函数在 x=2 处取得极大值，符合题意，a=6（）f（x）=x 312x
38、2+36x+b，设切点为（x 0，x 0312x 02+36x0+b） ，则切线斜率为 f（x）=3x 0224x 0+36，切线方程为yx 03+12x0236x 0b=（3x 0224x 0+36） （xx 0） ，即 y=（3x 0224x 0+36）x2x 03+12x02+b，2x 03+12x02+b=0b=2x 0312x 02令 g（x）=2x 312x 2，则 g（x）=6x 224x=6x（x4） ，由 g（x）=0 得，x 1=0，x 2=4函数 g（x）的单调性如下：当64b0 时，方程 b=g（x）有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线 y=f（x）相切（）当 x2，
39、4时，函数 y=f（x）的图象在抛物线 y=1+45x9x 2的下方，x 312x 2+36x+b1+45x9x 2在 x2，4时恒成立，即 bx 3+3x2+9x+1 在 x2，4时恒成立令 h（x）=x 3+3x2+9x+1，则 h（x）=3x 2+6x+9=3（x3） （x+1） ，由 h（x）=0 得，x 1=1，x 2=3h（2）=3，h（1）=4，h（3）=28，h（4）=21，h（x）在2，4上的最小值是4，b4点评： 本题主要考查了用导函数求函数的单调性和极值问题综合性强，难度大，属中档题21已知数列a n满足 a1=1，a n+1=2an+1（nN *） （）求数列a n的通
40、项公式；（）若数列b n滿足 ，证明：数列b n是等差数列；（）证明： 考点： 等差关系的确定；数列递推式专题： 计算题；综合题；压轴题分析： （）整理题设递推式得 an+1+1=2（a n+1） ，推断出a n+1是等比数列，进而求得an+1，则 an可求（）根据题设等式可推断出 2（b 1+b2+bn）n=nb n和 2（b 1+b2+bn+bn+1）（n+1）=（n+1）b n+1两式相减后整理求得 bn+2b n+1=bn+1b n进而推断出b n是等差数列（）利用（）中数列a n的通项公式，利用不等式的传递性，推断出 ，进而推断出 ；同时利用不等式的性质推断出 ，进而代入 证明原式解
41、答： 解：（）a n+1=2an+1（nN *） ，a n+1+1=2（a n+1） ，a n+1是以 a1+1=2 为首项，2 为公比的等比数列a n+1=2n即 an=2n1N *） （）证明： 2（b 1+b2+bn）n=nb n，2（b 1+b2+bn+bn+1）（n+1）=（n+1）b n+1，得 2（b n+11）=（n+1）b n+1nb n，即（n1）b n+1nb n+2=0，nb n+2（n+1）b n+1+2=0，得 nbn+22nb n+1+nbn=0，即 bn+22b n+1+bn=0，b n+2b n+1=bn+1b n（nN *） ，b n是等差数列（）证明： ，k=1，2，n， ，k=1，2，n， ， 点评： 本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力
