1、 2014 届高三数学（理科）试题 第 1 页 图 1江门市 2014 年普通高中高三调研测试数 学（理科）试 题本试卷共 4 页，21 题，满分 150 分，测试用时 120 分钟参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高ShV31h一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知集合 ， ，则21|xA31|xBBAA B C D)3,(),(, 2,1若复数 是纯虚数（ 是虚数单位） ，则实数imm36522i mA B C D 或03已知平面向量 ， ，若 ，则实数),(a),4(bbaA B C
2、D232366已知点 ， ，则线段 的垂直平分线的方程是),1()1,(AA B C D0yx0yx0yx0yx设 、 ，若 ，则下列不等式中正确的是aRb|baA B C D32baba如图 1， 、 分别是正方体 中 、 上的动点（不含端点） ，则四边形EF1BADB1的俯视图可能是DBA B C D已知函数 ，则该函数是, 0 ,12)(xxfxA偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增 D奇函数，且单调递减平面直角坐标系中，抛物线 与函数 图象的交点个数为xy21xylnA B C D0132、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 3
3、0 分(一)必做题（913 题） （填 “ ”或“ ” ） 3log22log3在 中， ， ， ，则 ABCc045A07Ba2014 届高三数学（理科）试题 第 2 页若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线方程是 xy3)0,1(若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是 xy40yxyz若 、 是不重合的平面， 、 、 是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是 abc （写出所有真命题的序号） 若 ， ，则/a/b/ 若 ， ，则cbc 若 ， ，则/ 若 ， 且 ， ，则baa(二)选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）直线 和抛物线 所围成封闭图形的面积 xy
4、2xyS在数列 中， ， （ ） ，试归纳出这个数列的通项 na1nnaNna三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤（本小题满分 12 分）已知 ， 1)2cosin3(2cos)( xxf R 求 的最小正周期； 设 、 ， ， ，求 的值) ,0(f58)(f )(f2014 届高三数学（理科）试题 第 3 页 ABCMN1A1B1C2图（本小题满分 13 分）如图 2，直三棱柱 中， ， ，棱 ， 、 分别是1CBABCA21N、 的中点1BA 求证： 平面 ；NC1 求直线 与平面 所成角 的正弦值M1（本小题满分 13 分）为配制一种药液
5、，进行了三次稀释，先在体积为 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出 升V10后用水补满，搅拌均匀第二次倒出 升后用水补满，然后第三次倒出 升后用水补满810 求第一次稀释后桶中药液的含量； 若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的 60%，求 的取值范围； 在第问的条件下，第三次稀释后桶中的药液能否达到容积的 50%，为什么？（本小题满分 14 分）如图 3，椭圆 的中心在坐标原点 ，过右焦点 且垂直于椭圆对称轴的弦 的长为 3O)0 ,1(FMN 求椭圆 的方程； 直线 经过点 交椭圆 于 、 两点， ，求直线 的方程 lPQN l图 32014 届高三数学（理科）试题 第 4 页（本小题满
6、分 14 分）已知正项等比数列 （ ） ，首项 ，前 项和为 ，且 、 、naN31annS3a5S成等差数列4aS 求数列 的通项公式；n 求数列 的前 项和 S nT21（本小题满分 14 分）已知函数 ，曲线 经过点 ，且在点 处的切线为 ：)()baxef)(xfy)2 ,0(PPl 24xy 求常数 ， 的值； 求证：曲线 和直线 只有一个公共点；)(xfy l 是否存在常数 ，使得 ， 恒成立？若存在，求常数 的取值范围；k1,2)24()xkf k若不存在，简要说明理由2014 届高三数学（理科）试题 第 5 页 数学（理科）评分参考一、选择题 BAAC DBCD二、填空题 21
7、92yx0（对 1 个 3 分，错 1 个 分） 6n三、解答题解： 2 分， 4 分，xxfcosin)()si(2x的最小正周期 5 分T因为 ， ， 6 分，2)6si(21)6si(326所以 ， 7 分，3， ， 8 分，58)6sin(254)6sin(326因为 ，所以 ， 9 分，425)cos(所以 10 分，cos2in)6sin(2)( f11 分 12 分。6in)i(cos6cos2 543（或者在第 7 分之后： 8 分， cos2si2)6in(2)( f9 分，ini(cos6s6)cos(2因为 ， ，所以 10 分，58in54)in(53)6cos所以 1
8、1 分，34)(f因为 ， ，所以 12 分）2 ,00cos2)(f 534)(f证明与求解： ， 底面，11CANCA41NCA1 分， ， 2 分，因为 ，211 BC2014 届高三数学（理科）试题 第 6 页， ，所以 平面 3 分， 4 分，1CBCA1B1CANCB1因为 ，所以 平面 5 分NN（方法一）以 C 为原点，CA、CB、CC 1在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系6xyz分，则 、 、 7 分， 、 8 分，)0 ,()2 ,(1 )2 ,0(1B)2 ,1(M)1 ,0(N、 、 9 分， ,21MC ,1NC ,01C设平面 的一个法向为 ，则 10
9、分，1 ) ,( cban 1Nn即 ，取 11 分，0cab)1 ,( 所以 12 分， 13 分。| | ,os|in11CBn 15（方法二） ， ， 6 分，所以21ANM21MNAMNAB1， ， 7 分，BNA由知 ， ，所以 平面 8 分。C1C1延长 到 ，延长 到 ，使 ，连接 、 9 分，12222B2BN在 中， ， ， 10 分，B350N11 分，22cosCN15是平面 的法向量，由所作知 ，从而 ，MC1 B12/ 2NBC所以 13 分。51cosin2B其他方法，例如将直三棱柱补成长方体，可参照给分。解：第一次稀释后桶中药液为 （升）2 分10V第 2 次倒出
10、后桶中剩余农药 升3 分，依题意8)(5 分，即 6 分，%6081)0(V 02452V2014 届高三数学（理科）试题 第 7 页 解得 7 分，又 ，所以 8 分。405V10V40V不能达到 9 分，再次倒出 10 升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过%10 分，因为 ，1604所以 12 分，答：（略）13 分。%45)01(6)10(60VV解：设椭圆 的方程为 （ ）1 分2byaxa依题意， 2 分， 4 分12c 3)(22c解得 ， 6 分，椭圆 的方程为 7 分a3b142yx（方法一）连接 ON，由椭圆的对称性 8 分，因为 ，所OQPNQP以 9 分，依题意，
11、10 分，所以 11 分，PQON)23 ,1(N23ONk13 分，所以直线 的方程为 14 分。321Nlk lxy（方法二）设直线 的方程为 8 分，解 9 分， lkxykxy1342得 ， 10 分，)3412 ,(2kkP )2 ,12(kQ依题意， 11 分，由 得) ,NNP= 12 分，22)341(341( kk 22)341()341( kk解得 13 分，所求直线 的方程为 14 分。 lxy解：依题意，设 1 分， 、 、 成等差数列，所以1nqa3aS54aS2 分，即)()()(2435SS，)2()22 4321315421 化简得 4 分，从而 ，解得 5 分
12、，35aqq因为 （ ）是单调数列，所以 ， 6 分nN2na62014 届高三数学（理科）试题 第 8 页由知 7 分，)21(6nnS8 分，)2(6)3()( nnT 9 分，21(633nn设 ，则 11 分，nnR23 1231nR两式相减得 13 分，nnn2113所以 14 分。12)()(6)(3nnnT21 解： 1 分，/ baxef依题意， 即 3 分，4)0(2/f4)0(解得 5 分。ba记 ，)12()(2)()() xexexgx则 6 分，42(/当 时， ；当 时， ；当 时， 8 分，所以00)(/ 0)(/g0)(/xg，等号当且仅当 时成立，即 ，等号当且仅当 时成立，曲线)(gxx24xf 和直线 只有一个公共点9 分。fy l 时， ，所以 恒成立当且仅当1,224)()kxf10 分，)(4)(xefk记 ， ， 11 分，12)(h1 ,22/ )1(3)xeh由 得 （舍去） ， 12 分0/x3x当 时， ；当 时， 13 分，230)(/h120)(/xh所以 在区间 上的最大值为 ，常数 的取值范围为1)(xeh ,2341ek14 分 ,41(23e
