1、三垂线定理练习课一教学目标1进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理；2理解公式 cos 1cos 2cos 的证明及其初步应用；（课本第 122页第 3 题）3理解正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直及其应用；4了解课本第 33 页第 11 题教学重点和难点教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题教学的难点是在讲公式 cos 1cos 2cos 应用时比较 2与 的大小教学设计过程师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步应用了这两个定理来解一些有关的题今天我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题，先看例 1例 1 如图 1，AB 和平面 所成的角
2、是 1；AC 在平面 内，BB平面 于 B，AC 和 AB 的射影 AB成角 2，设BAC求证：cos 1cos 2cos师：这是要证明三个角 1， 2和 的余弦的关系， 1已经在直角ABB中，我们能否先作出两个直角三角形分别使 2和 是这两个直角三角形中的锐角生：作 BDAC 于 D，连 BD，则 BDAC 于 D这时 2是直角BDA 中的一个锐角， 是直角ABD 中的一个锐角师：刚才的表述是应用三垂线定理及其逆定理时常常使用的“套话”，我们一定要很好理解并能熟练地应用现在已经知道 1、 2和 分别在三个直角三角形中，根据三角函数中的余弦的定义分别写出这三个角的余弦，再来证明这公式师：这个公
3、式的证明是利用余弦的定义把它们转化成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理当然也可用它的逆定理这个公式是在课本第 121 页总复习参考题中的第 3 题我们为什么要提前讲这个公式呢？讲这个公式的目的是为了用这个公式，因为在解许多有关题时都要用到这公式那我们要问在什么条件下可用这个公式？生：因为 1是斜线 AB 与平面 所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式师：为了在使用这个公式时方便、易记，我们规定 1表示斜线与平面所成的角， 2是平面内过斜足的一条射线与斜线射影所成的角， 是这条射线与斜线所成的角下面我们来研究一下这个公
4、式的应用应用这个公式可解决两类问题第一是求值即已知这公式中的两个角，即可求出第三个角或其余弦值例如：60，这时 2；当 145， 2135时，coscos45cos135第二是比较 2与 的大小因为我们已经规定 1是斜线与平面所成的角，一定有 0 190，它的大小不变，为了比较 2与 的大小，下面分三种情况进行讨论（1） 290，因为 290，所以 cos 20，因此coscos 1cos 20，故 90当 90时，我们也可以证明 290一条直线如果和斜线的射影垂直，那么它就和斜线垂直这就是三垂线定理一条直线如果和斜线垂直，那么它就和斜线的射影垂直这就是三垂线定理的逆定理所以，我们可以这样说，
5、这个公式是三垂线定理及其逆定理的一般情况，而三垂线定理及其逆定理是这公式的特殊情况现在我们来研究在 2是锐角时， 2与 的大小（2）0 290师：在这个条件下，我们怎样来比较 2与 的大小？生：因为 0 190，所以 0cos 11，又因为 0 290，所以 0cos 21又因为 coscos 1cos 2，所以 0cos 11，而且coscos 1cos 2cos 2，在锐角条件下，余弦函数值大的它所对应的角小所以 2师：现在我们来讨论当 2是钝角时， 2与 的大小（3）90 2180在这个条件下，我们不再用公式 cos 1cos 2cos 做理论上的证明来比较 2与 的大小，而是一起来看模
6、型（或图形）我们假设 2的邻补角为 2， 的邻补角为 ，即 2 2180，180在模型（或图形）中我们可以看出当 2是钝角时， 也是钝角，所以它们的两个邻补角 2和 都是锐角，由对第二种情况的讨论我们知道 2由等量减不等量减去小的大于减去大的，所以由 2180 2，180，可得 2根据以上讨论现在小结如下：当 290时， 290，它们都是直角当 0 290时， 2，它们都是锐角；当 90 2180时， 2，它们都是钝角关于公式 cos 1cos 2cos 的应用，今后还要随着课程的进展而反复提到现在我们来看例 2例 2 如图 2，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）A 1C平面
7、 C1DB 于 G；（2）垂足 G 为正C 1DB 的中心；（3）A 1G2GC师：我们先来证明第（1）问要证直线与平面垂直即要证什么？生：要证 A1C 与平面 C1DB 内两条相交的直线垂直师：我们先证 A1C 为什么与 DB 垂直？生：连 AC，对平面 ABCD 来说，A 1A 是垂线，A 1C 是斜线，AC 是 A1C 在平面ABCD 上的射影，因为 ACDB（正方形的性质），所以 A 1CDB（三垂线定理）同理可证 A1CBC 1因为 A1C平面 C1DB（直线与平面垂直的判定理）（在证 A1CBC 1时，根据情况可详、可略，如果学生对应用三垂线定理还不太熟悉，则可让学生把这证明过程再
8、叙述一遍，因为这时是对平面 B1BCC1来说，A 1B1是垂线，A 1C 是斜线，B 1C 是 A1C 在平面 B1BCC1上的射影，由 B1CBC 1，得 A1CBC 1）师：现在来证第（2）问，垂足 G 为什么是正C 1DB 的中心？生：因为 A1BA 1C1A 1D，所以 BGGC 1DG，故 G 是正C 1DB 的外心，正三角形四心合一，所以 G 是正C 1DB 的中心师：现在来证第（3）问，我们注意看正方体的对角面 A1ACC1，在这对角面内有没有相似三角形？生：在正方体的对角面 A1ACC1内，由平面几何可知A 1GC1OGC，且A1C1OCA 1GGC，所以 A1GGC21，因此
9、 A1G2GC师：例 2 是在正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直引申而来，而例 2 也是一个基本的题型，对于以后证有关综合题型时很有用所以对例 2的证明思路和有关结论，尽可能的理解、记住现在我们来看例 3例 3 如图 3，已知：RtABC 在平面 内，PC平面 于 C，D 为斜边AB 的中点，CA6，CB8，PC12求：（1）P，D 两点间的距离；（2）P 点到斜边 AB 的距离师：现在先来解第（1）问，求 P，D 两点间的距离师：现在我们来解第（2）问，求 P 点到 AB 边的距离生：作 PEAB 于 E，连 CE 则 CEAB（三垂线定理的逆定理）PE 就是 P点到 AB 边的距离
10、师：要求 PE 就要先求 CE，CE 是直角三角形 ABC 斜边上的高，已知直角三角形的三边如何求它斜边上的高呢？生：可用等积式 CEABACCB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积师：这个等积式是怎样证明的？生：有两种证法因 CEAB 是 RtABC 面积的二倍，而 ACCB 也是 RtABC 面积的二倍，所以它们相等；也可用BCEABC，对应边成比例推出这个等积式师：这个等积式很有用，根据这个等积式，我们可以由直角三角形的三边求出斜边上的高，这个等积式以后在求有关距离问题时会常常用到，所以要理解、记住、会用现在就利用这等积式先求 CE，再求 PE师：通过这一题我们要区分两种不同的距
11、离概念及求法；在求点到直线距离时，经常要用到三垂线定理或其道定理；在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高现在我们来看例 4例 4 如图 4，已知：BAC 在平面 内，PO ，PO平面 于 O如果PABPAC求证：BAOCAO（这个例题就是课本第 32 页习题四中的第 11 题这个题也可以放在讲完课本第 30 页例 1 以后讲不论在讲课本第 30 页例 1，还是在讲这个例时，都应先用模型作演示，使学生在观察模型后，得出相关的结论，然后再进行理论上的证明，这样使学生对问题理解得具体、实在，因而效果也较好）师：当我们观察了模型后，很容易就猜想到了结论即斜线 PA 在平面 上的射线
12、是BAC 的角平分线所在的直线，现在想一想可以有几种证法？生：作 ODAB 于 D，作 OEAC 于 E，连 PD，PE，则 PDAB，PEAC所以 RtPADRtPAE，因此 PDPE，故 ODOE，所以BAOCAO师：今天我们讲了公式 cos 1cos 2cos能否用这公式来证明这题（利用这公式来证明这个题，完全是由学生想到的，当然如果有的班学生成绩较差，思路不活，也可做些必要的提示）生：因为PAO 是斜线与平面 所成的角，所以可以考虑用公式cos 1cos 2cosPAO 相当于 1；PABPAC 它们都相当于 ，由公式可得 2 2，即BAOCAO师：今天我们是应用三垂线定理及其逆定理来
13、解这四个例题例 1、例 2、例 4 是三个基本题对这三个题一定要会证、记住、会用关于这三个题的应用，以后还会在讲课过程中反复出现在高考题中也曾用到作业课本第 33 页第 13 题补充题1已知：BSC90，直线 SA平面 BSCSASBASC60，求：SA 和平面 BSC 所成角的大小452已知：AB 是平面 的一斜线，B 为斜足，ABa直线 AB 与平面 所成的角等于 ，AB 在平面 内的射影 A1B 与平面 内过 B3已知：P 为 RtABC 所在平面外一点，ACB90，P 到直角顶点 C 的距离等于 24，P 到平面 ABC 的距离等于 12，P 到 AC4已知：BAC 在平面 内，PA 是平面 的斜线，BAC60，PABPAC45PAa，PO平面 于 OPDAC 于 D，PEAB 于E求：（1）PD 的长；
