1、第八章 圆锥曲线方程一 椭圆【考点阐述】椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质了解椭圆的参数方程【考试要求】（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程【考题分类】（一）选择题（共 6 题）1.（湖北卷理 10 文 10）如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞PF行，之后卫星在 点第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在 点第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用 和 分别表示椭轨道和的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道12c2 12a2和的长轴的长，给出下列式子： ;
2、; ; .12ac12ac12c1ca2其中正确式子的序号是A. B. C. D. 解：由焦点到顶点的距离可知正确，由椭圆的离心率知正确，故应选2.（江西卷理 7 文 7）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭1F2 120MF圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A B C D(0,1)(0,2(0,),)解： .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆, 则C2221cbace又 ,所以(01)e(0,)2e3.（上海卷文 12）设 是椭圆 上的点若 是椭圆的两个焦点，则p2156xy12F，等于（ ）12PFA4 B5 C8 D10 【答案】D【解析】 由椭圆的第一定义知 1210.PFa
3、4.（天津卷理 5）设椭圆 上一点 P 到其左焦点的距离为 3，到右焦12myx点的距离为 1，则 P 点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C) (D) 272解析：由椭圆第一定义知 ，所以 ，椭圆方程为a4m21432xyed所以 ，选 B2d5.（天津卷文 7）设椭圆21(0)xynn，的右焦点与抛物线 28yx的焦点相同，离心率为 12，则此椭圆的方程为（ ）A 6xyB216xyC21486xyD21648xy解析：抛物线的焦点为 ，椭圆焦点在 轴上，排除 A、C，由 排除 D，选 B(,0) e6.（上海春卷 14）已知椭圆 ，长轴在 轴上. 若焦距为 ，则 等于 2211x
4、ymy4m（ ）（A） . （B） . （C） . （D） .4578解析：由题意得 m-210-m 且 10-m0，于是 6m10，再有(m-2)-(10-m)=2 2，得 m=8。（二）填空题（共 7 题）1.（海南宁夏卷文 15）过椭圆 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于2154xyA、B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为_【标准答案】： 3【试题解析】：将椭圆与直线方程联立： ，得交点24501xy；540,2,3AB故 ；1245223OABSFy【高考考点】直线与椭圆的位置关系【易错点】：不会灵活地将三角形面积分解而导致运算较繁。【全品备考提示】：对于圆锥曲线目前主
5、要以定义及方程为主，对于直线与圆锥曲线的位置关系只要掌握直线与椭圆的相关知识即可。2.（湖南卷理 12）已知椭圆 （ab0 ）的右焦点为 F,右准线为 ,离心率 e=21xyl5.过顶点 A(0,b)作 AM ,垂足为 M，则直线 FM 的斜率等于 .l【答案】 12【解析】 (,)abc5,2,eacb201.FMbcka3.（江苏卷 12） 在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为 2，以 O 为圆21(0)xyba心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = 。a2(,0)ac e【解析】设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故
6、，解得 2c2cea【答案】 24.（全国卷理 15）在 中， ， 若以 为焦点的椭圆ABC 7cos18BAB，经过点 ，则该椭圆的离心率 Ce答案： .设 ， 则3817cos182225cos9AC， .5A832,23aa5.（全国卷文 15）在 中， ， 若以 为焦点的椭圆经过ABC 90tn4BAB，点 ，则该椭圆的离心率 Ce 4c112c=4,2,a=3+58a4,e=a22解 析 :本 题 主 要 考 查 了 椭 圆 的 定 义 及 基 本 量 的 求 法 ， 令 ，则 答 案 为 。6.（上海卷理 10）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界） ，
7、其边界是长轴长为 2a，短轴长为 2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 h1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计） ，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 1、 2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 【答案】 12cottha【解析】依题意， 12|MF；12ctt7.（浙江卷理 12 文 12）已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于21、 1952yx1FA、B 两点，若 ，则 =_。2BFAA解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线 过椭圆的左焦点 ,在AB1中， ，又 ，222|420a22|
8、FB|8.AB（三）解答题（共 18 题）1.（安徽卷理 22）设椭圆 过点 ，且着焦点为2:1(0)xyCab(2,1)M1(2,0)F（）求椭圆 的方程；（）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，(4,1)Pl ,ABQ满足 ，证明：点 总在某定直线上AQBAQ解 (1)由题意：，解得 ，所求椭圆方程为 2221cab24,ab214xy(2)方法一 设点 Q、A、B 的坐标分别为 。12(,),(,)xyxy由题设知 均不为零，记 ,则 且,APBQAPQB01又 A，P，B，Q 四点共线，从而 ,AP于是 ， 124x12y， 从而 ， （1） ， （2 ）2
9、14xx 21yy 又点 A、B 在椭圆 C 上，即21,(3)xy 24,()x （1）+（2 ）2 并结合（3 ） ， （4）得 y即点 总在定直线 上(,)Qxy20xy方法二设点 ，由题设， 均不为零。1,(),()AB,PABQ且 PQ又 四点共线，可设 ,于是,AB,(01)PAQB（1）114,xy（2 ）22由于 在椭圆 C 上，将（1 ） ， （2）分别代入 C 的方程1(,)(,)AxyB整理得 （3）24,224()140yxy(4)()x(4)(3) 得 8(2)xy0,0 即点 总在定直线 上()Qxyxy2.（安徽卷文 22）设椭圆 其相应于焦点 的准线方程为2:1
10、(0)xyCab(2,0)F.4x（）求椭圆 的方程；（）已 知 过 点 倾 斜 角 为 的 直 线 交 椭 圆 于 两 点 ， 求 证 ： ;1(2,0)FC,AB24ACOS（）过点 作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 和 ,求1, ,DE的最小值ABDE解 ：（1）由题意得：椭圆 的方程为22844caab C2184xy(2)方法一： 由（1）知 是椭圆 的左焦点，离心率1(2,0)F2e设 为椭圆的左准线。则l:4lx作 ， 与 轴交于点 H(如图)111,AB于点 A 在椭圆上112F1(cos)HAF121cosAF同理 12B。1 224cos2cossAF方法二： 当 时，记
11、 ，则2tank:(2)ABykx将其代入方程 得 28xy2(1)810设 ，则 是此二次方程的两个根.12(,)(,)AyB2,x12122(),.kkx22222211111()()()()4ABykxkxx.(1)2222834k代入（1）式得 .(2)2tan, 2cosAB当 时， 仍满足（2 ）式。AB24cos（3 ） 设直线 的倾斜角为 ，由于 由（2）可得AB,DEAB，24cos24sin222211inicosin4ABDE 当 时， 取得最小值34于ABDE633.（北京卷理 19）已知菱形 的顶点 在椭圆 上，对角线 所在C， 24xyBD直线的斜率为 1（）当直线
12、 过点 时，求直线 的方程；BD(0)， A（）当 时，求菱形 面积的最大值6ABD解：（）由题意得直线 的方程为 1yx因为四边形 为菱形，所以 ABCDACBD于是可设直线 的方程为 yxn由 得 234xyn， 226340因为 在椭圆上，所以 ，解得 AC， 216n43n设 两点坐标分别为 ， 12()xy， ， ，则 ， ， ， 123nx2141xn2yxn所以 所以 的中点坐标为 12yAC34，由四边形 为菱形可知，点 在直线 上， BDn， 1yx所以 ，解得 所以直线 的方程为 ，即 314n2AC220xy（）因为四边形 为菱形，且 ，AC60B所以 所以菱形 的面积
13、BD23S由（）可得 ，22211216()()nACxy所以 2343(6)4Snn所以当 时，菱形 的面积取得最大值 0ABCD434.（北京卷文 19）已知 的顶点 在椭圆 上， 在直线 B， 24xyC上，且 2lyx： l（）当 边通过坐标原点 时，求 的长及 的面积；ABOA（）当 ，且斜边 的长最大时，求 所在直线的方程90CCB解：（）因为 ，且 边通过点 ，所以 所在直线的方程为 l/B(0)， yx设 两点坐标分别为 AB， 12()xy， ， ，由 得 234xy， 所以 12ABx又因为 边上的高 等于原点到直线 的距离hl所以 ， hABCS（）设 所在直线的方程为
14、，AByxm由 得 234xym， 226340因为 在椭圆上，所以 AB， 216设 两点坐标分别为 ，则 ， ， 12()xy， ， ， 123mx214x所以 1236mAB又因为 的长等于点 到直线 的距离，即 C(0)， l2BC所以 22 210()1AB所以当 时， 边最长， （这时 ）1m64此时 所在直线的方程为 yx5.（福建卷理 21）如图、椭圆 的一个焦点是21(0)abF（ 1，0） ，O 为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动，值有 ,求 a
15、的取值范围.22A解：()设 M， N 为短轴的两个三等分点，因为 MNF 为正三角形， 所以 ,32OMNFBAoy x321,3.bA解 得 214,ab因此，椭圆方程为2.4xy() 设 12(,)(,).AB()当直线 AB 与 x 轴重合时，222,4(1),.OaAaOB因 此 ， 恒 有()当直线 AB 不与 x 轴重合时，设直线 AB 的方程为：21,1,xymyab代 入整理得 222()0,ab所以212122,yyab因为恒有 ，所以 AOB 恒为钝角.OAB即 恒成立.1212(,),0xyxy12 1212)()()xmmy2222( 0.bab又 ，所以 对 恒成立，20abm22abamR即 对 恒成立, 当 时， 最小值为 0，22Rmb所以 ， ,24(1)，即 ,20,aba 0a解得 或 (舍去) ，即 ,1552综合（i）(ii)，a 的取值范围为 .1(,)
