1、12.2 常见函数一、 一次函数和常函数：思维导图：2（一） 、一次函数 （二）、常函数定义域：（- ，+ ） 定义域: （- ，+ ）值 域：（- ，+ ） 正 k=0 反 值 域： b 解析式：y = kx + b( k 0 ) 解析式：y = b ( b 为常数)图 像：一条与 x 轴、y 轴相交的直线 图 像：一条与 x 轴平行或重合的直线y b0 b=0 b0o x 0 x o x b=0b0 b 0 k 0 ,在（- ，+ ） 单调性：在（- ，+ ）上不单调k 0 k 0,（- ，0）,（0，+ ） 单调性:在 和 上),(ab),(k 0 、 )1,0(1log,1l aaa对
2、任意 a0 且 a1， 都有 a 01 log a 1 0同样易知： log a a1、对数恒等式： 奎 屯王 新 敞新 疆),(logN如果把 a bN 中的 b 写成 log a N, 则有 a Nalog、指数恒等式： )1,0(la13、常用对数我们通常将以 10为底的对数叫做常用对数。为了简便, N的常用对数 Nlg,log10简 记 为例如：log 105简记作 lg 5 log103.5简记作 lg3.5.、自然对数在科学技术中常常使用以无理数 e2.71828为底的对数，以 e为底的对数叫自然对数，为了简便， N的自然对数 。Neln,log简 记 为例如：log e3简记作
3、ln3 loge10简记作 ln10（4）.运算性质：若 a 0，a1，M0，N0，则(1) ;Naalogllog(2) ;a(3) )(ll Rnna【现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用】.证明：(1)设 logaMp ，log aNq由对数的定义得：Ma p，Na q MNa paqa p+q再由对数定义得 logaMNpq ，即证得 logaMN logaMlog aN(2)设 logaMp ，log aN q 由对数的定义可以得Ma p，Na q， a pq ，MNapaq再由对数的定义
4、得 loga pqMN即证得 loga log aMlog aNMN(3)设 logaMp 由对数定义得 Ma p14Mn（a p） na np 再由对数定义得logaMnnp 即证得 logaMnnlog aM例：计算：（1）lg142lg lg7lg18 （2） （3） 73 lg243lg9【解析】(1)、解法一：lg14 2lg lg7lg18lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(3 22)73lg2lg72lg72lg3lg7 2lg3 lg20解法二：lg142lg lg7lg18lg14 lg （ ） 2lg7lg1873 73lg lg10（2） lg243lg9 lg35
5、lg32 5lg32lg3 52（3） 32（5）.对数换底公式： )0,10,10(logl NmaNma 且且证明：设 log a Nx , 则 a xN两边取以 m 为底的对数： log m axlog m N x log m a log m N从而得：x log a Nlog m Nlog m a log m Nlog m a两个常用的推论: 1llba ）且 均 不 为、 10(ogogbamn证：log a blog b a 1lg blg alg alg blog bn log a b malg bnlg am nlg bmlg a nm例：设 x、 y、 z（0，）且 3x4
6、y6 z 1 求证 ； 2 比较 3x，4 y，6 z的大小1x 12y 1z证明 1：设 3x4 y6 z k x、 y、 z（0，） k115取对数得： x ， y ， zlg klg 3 lg klg4 lg klg 6 1x 12y lg 3lg k lg 42lg k 2lg 3 lg42lg k 2lg 3 2lg22lg k lg 6lg k 1z2 3x4 y（ ）lg k lgk 03lg 3 4lg 4 lg64 lg81lg 3lg43 x4 y 又 4y6z（ ）lgk lgk 04lg 4 6lg 6 lg36 lg64lg 2lg64y6z 3x4y6z （二）、指
7、数函数、对数函数和幂函数已知 ，我们从函数的角度分别研究这三者之间的关系：Nab关系一：N 如何随着 b的变化而变化以指数为自变量、以幂为因变量的函数指数函数；关系二：N 如何随着 a的变化而变化以底数为自变量、以幂为因变量的函数幂函数；关系三：a 如何随着 b的变化而变化 (指数为自变量、幂为因变量) bbNa1指数函数；+ 关系四：b 如何随着 N的变化而变化 （以真数为自变量、以对数为因变量）balog对数函数；关系五：a 如何随着 N的变化而变化 （以底数为自变量、幂为因变量）bbN1指数函数关系六：b 如何随着 a的变化而变化 ； alog定义：函数 叫做指数函数，其中 x是自变量。
8、)1,0(yx函数 叫做对数函数。loga函数 叫做幂函数，其中 x是自变量。为 常 数 ）(xy161、指数函数 2、对数函数定义域：（- ，+ ） 定义域:（0，+ ）值 域：（0，+ ） 值 域：（- ，+ ）解析式： 解析式：)1()axf且0log(fa且17图 像：位于 x 轴上方，向 x轴无限接近 图 像：位于 y轴右侧，向y轴无限接近y y y y1 10 x 0 x 0 1 x 0 1 xaaaa【特殊点】恒过（0，1 ），（1 ，a) 【特殊点 】恒过（1 ，0)，（a，1）【y = 1】 【x = 1】或 或 x0x0logyax0x或 或 1xay1alxa11a【底数
9、的大小】 y 【底数的大小】 y xcxdxyxb xyalogbx0 x 0 xyclogabcd10 abd1单调性： 单调性：），在 （, ），在 （ 0,a），在 （ ），在 （奇偶性：无 奇偶性：无周期性：无 周期性：无反函数： 反函数： )1,0(logaxya )1,0(ayx3、幂函数 为 常 数 ）问题 1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？（1） y ；（2） y ；（3） y ；（4） y 1x1x32x34xd18思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是
10、使这些根式有意义的实数 x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断（1）定义域为0， ），（2）（3）（4）定义域都是 R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增问题 2：仿照问题 1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？（1） y x1 ；（2） y x2 ；（3） y ；（4） y 21x31x思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数 x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是 x|x0，（3）的定义域是（0， ）；
11、（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数 x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断问题 1和问题 2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比【五个重要的幂函数】：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） xy21xy2xy1xy3xyxy2xy3xy21xy1xy定义域值域奇偶
12、性19【幂函数性质】（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地， ),0当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；10（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右0),(x边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上yyx方无限地逼近 轴正半轴x例 1讨论函数 y 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图52x思路：函数 y 是幂函数（1）要使 y 有意义， x可以取任意实数，故函数定义域为 R52x5x2（2） x R， x20 y0（
13、3） f（ x） f（ x）， 函数 y 是偶函数；5（ x） 2 5x2 52x（4） n 0， 幂函数 y 在0， 上单调递增25 5由于幂函数 y 是偶函数，x幂函数 y 在（，0）上单调递减52（5）其图象如右图所示例 2比较下列各组中两个数的大小：（1）1.5 ，1.7 ；（2）0.7 1.5，0.6 1.5；（3）（1.2） ，（1.25） 53 3232解析：（1）考查幂函数 y 的单调性，在第一象限内函数单调递增，53x1.51.7 1.5 1.7（2）考查幂函数 y 的单调性，同理 0.71.50.6 1.523x（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，单调性定点20（1.2） 1.2 ，（1.25） 1.25 ，又 1.2 1.25 323232323232（1.2） （1.25） 点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小例 3求函数 y 2 x 4（ x32）值域51解析：设 t x ， x32， t2，则 y t22 t4（ t1） 231当 t1 时， ymin3函数 y 2 x 4（ x32）的值域为3，）51点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法
