1、第 1 页（共 62 页）点直线与圆的位置关系一、选择题1. （2016 湖北鄂州 ） 如图所示， AB 是O 的直径，AM、BN 是O 的两条切线，D、C 分别在 AM、BN 上，DC 切O 于点 E，连接 OD、OC、BE、AE，BE 与 OC 相交于点 P，AE 与 OD相交于点 Q，已知 AD=4，BC=9. 以下结论：O 的半径为 ODBE PB= tanCEP=21313832其中正确的结论有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个【考点】直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切） ，平行线的判定，矩形的判定和性质，直角三角形的性质及判定，相似三角形的判
2、定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等.【分析】连接 OE，则 OEDC，易证明四边形 ABCD 是梯形，则其中位线长等于 （4+9）21= ，而梯形 ABCD 的中位线平行于两底，显而易见，中位线的长（斜边）大于直角边（或213运用垂线段最短判定），故可判断错误；另外的方法是直接计算出O 的半径的长（做选择题时，不宜） ；先证明AODEOD，得出AOD=EOD= AOE，再运用同弧所对的圆周角等于圆21心角的一半证明AOD=ABE，从而得出 ODBE，故正确；第 2 页（共 62 页）由知 OB=6，根据勾股定理示出 OC，再证明OPBOBC，则 = ，可得出 PBBCPO的
3、长.易知CEPECP，所以 CPPE，故 tanCEP= 错误.32【解答】解法一：易知四边形 ABCD 是梯形，则其中位线长等于 （4+9）= ，OE 为O21213的半径，且 OEDC，而梯形 ABCD 的中位线平行于两底，显而易见，中位线的长（斜边）大于直角边的长（或运用垂线段最短判定），故可判断错误；解法二：过点 D 作 DFBC 于点 F，AM，BN 分别切O 于点 A，B，ABAD，ABBC，四边形 ABFD 是矩形，AD=BF，AB=DF，又AD=4，BC=9，FC=94=5，AM，BN，DC 分别切O 于点 A，B，E，第 3 页（共 62 页）DA=DE，CB=CE，DC=A
4、D+BC=4+9=13，在 RTDFC 中，DC 2=DF2+FC2，DF= = =12，FCD5132AB=12，O 的半径 R 是 6故错误；连接 OE，AM、DE 是O 的切线，DA=DE，OAD=OED=90，又OD=OD，在AOD 和EOD 中，DA=DEOD=ODAODEOD，AOD=EOD= AOE，21ABE= AOE，AOD=ABE，ODBE.故正确；第 4 页（共 62 页）根据勾股定理，OC= = =3 ；OBC2269213由知 OB=6，易知OPBOBC，则 = ，BCPPB= = = .OCB13698故正确；易知CEPECP，所以 CPPE，故 tanCEP= 错
5、误.32综上，正确的答案为：B【点评】在解决切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径. 在做判断题时，不需要计算出结果时，一定要灵活运用多种方法，以节约时间.2(2016 安徽，10，4 分)如图， RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段 CP 长的最小值为（ ）A B2 C D【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理【分析】首先证明点 P 在以 AB 为直径的O 上，连接 OC 与O 交于点 P，此时 PC 最小，利用勾股定理求出 OC 即可解决问题【解答】解：ABC=90，ABP+PBC=
6、90 ，PAB=PBC，BAP+ABP=90，APB=90，第 5 页（共 62 页）点 P 在以 AB 为直径的O 上，连接 OC 交O 于点 P，此时 PC 最小，在 RTBCO 中， OBC=90，BC=4 ，OB=3，OC= =5，PC=OC=OP=5 3=2PC 最小值为 2故选 B3. （2016,湖 北 宜 昌 ， 13， 3 分 ） 在公园的 O 处附近有 E、F、G、H 四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以 O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为（ ）AE、F、G BF、G、H CG 、H
7、、E DH 、E、F【考点】点与圆的位置关系【专题】应用题【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF ，OG ，OH 然后和 OA 比较大小最后得到哪些树需要移除【解答】解：OA= = ，OE=2OA，所以点 E 在O 内，OF=2OA ，所以点 E 在O 内，OG=1 OA，所以点 E 在O 内，OH= =2 OA，所以点 E 在 O 外，第 6 页（共 62 页）故选 A【点评】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内4.
8、（2016 年浙江省衢州市）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的点，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若A=30 ，则 sinE 的值为（ ）A B C D【考点】切线的性质【分析】首先连接 OC，由 CE 是 O 切线，可证得 OCCE，又由圆周角定理，求得BOC 的度数，继而求得E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案【解答】解：连接 OC，CE 是 O 切线，OCCE，A=30，BOC=2A=60，E=90BOC=30，sinE=sin30=故选 A5. （2016 年浙江省台州市）如图，在ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6 ，以边 AB 的中点O 为圆
9、心，作半圆与 AC 相切，点 P，Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ长的最大值与最小值的和是（ ）第 7 页（共 62 页）A6 B2 +1 C9 D【考点】切线的性质【分析】如图，设O 与 AC 相切于点 E，连接 OE，作 OP1BC 垂足为 P1 交O 于 Q1，此时垂线段 OP1 最短，P 1Q1 最小值为 OP1OQ1，求出 OP1，如图当 Q2 在 AB 边上时，P2与 B 重合时，P2Q2 最大值=5+3=8，由此不难解决问题【解答】解：如图，设O 与 AC 相切于点 E，连接 OE，作 OP1BC 垂足为 P1 交O 于Q1，此时垂线段 OP1 最短，P
10、1Q1 最小值为 OP1OQ1，AB=10，AC=8，BC=6 ，AB2=AC2+BC2，C=90，OP1B=90，OP1ACAO=OB，P1C=P1B，OP1=AC=4，P1Q1 最小值为 OP1OQ1=1，如图，当 Q2 在 AB 边上时，P2 与 B 重合时，P2Q2 最大值=5+3=8，PQ 长的最大值与最小值的和是 9故选 C第 8 页（共 62 页）6 （2016 山西）如图，在 ABCD 中，AB 为 的直径， 与 DC 相切于点 E，与 ADAOAA相交于点 F，已知 AB=12， ，则 的长为（ C ）60CFEA B C D 322考点：切线的性质，求弧长分析：如图连接 O
11、F，OE由切线可知 ，故由平行可知904903由 OF=OA，且 ，所以 所以OFA 为等6C61C边三角形 ，2从而可以得出 所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出AFE解答： 309-61803-180Or=122=6 =AFE180rn故选 C7 （2016上海）如图，在 RtABC 中， C=90，AC=4 ，BC=7，点 D 在边 BC 上，CD=3，A 的半径长为 3，D 与 A 相交，且点 B 在D 外，那么D 的半径长 r 的取值范围是（ ）第 9 页（共 62 页）A1r4 B2r4 C 1r 8 D2r 8【考点】圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系【分析】连接 AD，根据勾股
12、定理得到 AD=5，根据圆与圆的位置关系得到 r53=2，由点 B 在D 外，于是得到 r4，即可得到结论【解答】解：连接 AD，AC=4，CD=3， C=90，AD=5，A 的半径长为 3，D 与 A 相交，r 53=2，BC=7，BD=4，点 B 在D 外，r 4，D 的半径长 r 的取值范围是 2r4，故选 B第 10 页（共 62 页）【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为 d，则当 d=r 时，点在圆上；当 d r 时，点在圆外；当 dr 时，点在圆内8（2016江苏连云港）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为 1 个单位）选取 9 个格点（格线的
13、交点称为格点）如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为（ ）A2 r B r3 C r5 D5r 【分析】如图求出 AD、AB、AE、AF 即可解决问题【解答】解：如图，AD=2 ，AE=AF= ，AB=3 ，ABAE AD ， r 3 时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，故选 B第 11 页（共 62 页）【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型9 （2016江苏无锡）如图，AB 是O 的直径，AC 切 O 于 A，BC 交
14、O 于点 D，若C=70，则AOD 的度数为（ ）A70 B35 C20 D40【考点】切线的性质；圆周角定理【分析】先依据切线的性质求得CAB 的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到CBA 的度数，然后由圆周角定理可求得AOD 的度数【解答】解：AC 是圆 O 的切线，AB 是圆 O 的直径，ABACCAB=90又C=70，CBA=20DOA=40故选：D二、填空题1. （2016四川成都5 分）如图，ABC 内接于 O，AHBC 于点 H，若AC=24，AH=18，O 的半径 OC=13，则 AB= 第 12 页（共 62 页）【考点】三角形的外接圆与外心【分析】首先作直径 AE，
15、连接 CE，易证得 ABHAEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得O 半径【解答】解：作直径 AE，连接 CE，ACE=90，AHBC，AHB=90，ACE=ADB，B=E，ABHAEC， = ，AB= ，AC=24，AH=18，AE=2OC=26，AB= = ，故答案为： 第 13 页（共 62 页）2. （2016四川凉山州5 分）如图，四边形 ABCD 中，BAD=DC=90，AB=AD=，CD= ，点 P 是四边形 ABCD 四条边上的一个动点，若 P 到 BD 的距离为，则满足条件的点 P 有 2 个【考点】点到直线的距离【分析】首先作出 AB、AD 边上的点 P（点 A）到
16、 BD 的垂线段 AE，即点 P 到 BD 的最长距离，作出 BC、CD 的点 P（点 C）到 BD 的垂线段 CF，即点 P 到 BD 的最长距离，由已知计算出 AE、CF 的长为，比较得出答案【解答】解：过点 A 作 AEBD 于 E，过点 C 作 CFBD 于 F，BAD=ADC=90，AB=AD= ，CD=2 ，ABD=ADB=45，CDF=90ADB=45，sinABD= ，AE=ABsinABD=3 sin45=3，CF=2，所以在 AB 和 AD 边上有符合 P 到 BD 的距离为的点 2 个，故答案为：23（2016 呼和浩特）在周长为 26的O 中，CD 是O 的一条弦，AB
17、 是O 的切线，且 ABCD ，若 AB 和 CD 之间的距离为 18，则弦 CD 的长为 24 【考点】切线的性质第 14 页（共 62 页）【分析】如图，设 AB 与O 相切于点 F，连接 OF，OD，延长 FO 交 CD 于点 E，首先证明 OECD，在 RTEOD 中，利用勾股定理即可解决问题【解答】解：如图，设 AB 与O 相切于点 F，连接 OF，OD，延长 FO 交 CD 于点 E2R=26，R=13，OF=OD=13，AB 是O 切线，OFAB ，ABCD ，EFCD 即 OECD，CE=ED，EF=18，OF=13，OE=5，在 RTOED 中，OED=90，OD=13，OE
18、=5，ED= = =12，CD=2ED=24 故答案为 244.（2016.山东省泰安市，3 分）如图，半径为 3 的O 与 RtAOB 的斜边 AB 切于点 D，交 OB 于点 C，连接 CD 交直线 OA 于点 E，若B=30，则线段 AE 的长为 第 15 页（共 62 页）【分析】要求 AE 的长，只要求出 OA 和 OE 的长即可，要求 OA 的长可以根据B=30和OB 的长求得，OE 可以根据 OCE 和 OC 的长求得【解答】解：连接 OD，如右图所示，由已知可得，BOA=90，OD=OC=3，B=30， ODB=90，BO=2OD=6，BOD=60 ，ODC=OCD=60，AO
19、=BOtan30= ，COE=90，OC=3，OE=OCtan60= ，AE=OEOA= ，故答案为： 【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件5 （2016江苏无锡）如图，AOB 中，O=90 ，AO=8cm，BO=6cm，点 C 从 A 点出发，在边 AO 上以 2cm/s 的速度向 O 点运动，与此同时，点 D 从点 B 出发，在边 BO 上以1.5cm/s 的速度向 O 点运动，过 OC 的中点 E 作 CD 的垂线 EF，则当点 C 运动了 s时，以 C 点为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切第 16 页（共 62 页）【考点】直线与圆的位
20、置关系【分析】当以点 C 为圆心，1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切时，即 CF=1.5cm，又因为EFC=O=90，所以 EFCDCO，利用对应边的比相等即可求出 EF 的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出 t 的值，要注意 t 的取值范围为 0t4【解答】解：当以点 C 为圆心， 1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切时，此时，CF=1.5，AC=2t，BD=t，OC=82t，OD=6t，点 E 是 OC 的中点，CE=OC=4t，EFC=O=90， FCE=DCOEFCDCO =由勾股定理可知：CE 2=CF2+EF2，（ 4t） 2= + ，解得：t= 或 t= ，0t4，t
21、= 故答案为：三、解答题1. （2016湖北咸宁）（本题满分 9 分）如图，在ABC 中，C=90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC，AB于点 E，F.（1）试判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留 ）3第 17 页（共 62 页）【考点】直线与圆的位置关系，勾股定理，扇形面积，三角函数.【分析】（1）连接 OD，证明 ODAC 即可解决问题；（2）设O 的半径为 r，则 OD=r，OB= r+2，在 RtBDO 中， OD2+BD2=OB2
22、，求出r，利用 S 阴影 =SOBD -S 扇形 BDF即可解决问题.【解答】解：(1) BC 与O 相切，理由如下：连接 OD.AD 平分BAC，CAD=OAD.又OAD=ODA，CAD=ODA，ODAC； 2 分BDO=C=90，BC 与O 相切. 4 分（2）解：设O 的半径为 r，则 OD=r，OB= r+2.由（1）知BDO=90，第 18 页（共 62 页）OD 2+BD2=OB2，即 r2+(2 )2=( r+2)2，3解得 r=2. 5 分tanBOD= = = ,ODB23BOD=60. 7 分S 阴影 =SOBD -S 扇形 BDF= ODBD- r 2=2 - .2136
23、032.9 分【点评】本题综合考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，扇形面积，三角函数. 第（1）小题中，连接 OD，证明 ODAC 是解题的关键；第（2）小题中，利用勾股定理 r 和 S 阴影=SOBD -S 扇形 BDF是解题的关键.2. (2016四 川 资 阳 )如 图 ， 在 O 中 ， 点 C 是 直 径 AB 延 长 线 上 一 点 ， 过 点C 作 O 的 切 线 ， 切 点 为 D， 连 结 BD（ 1） 求 证 ： A=BDC；（ 2） 若 CM 平 分 ACD， 且 分 别 交 AD、 BD 于 点 M、 N， 当 DM=1 时 ， 求MN 的 长 【 考 点 】 切 线
24、的 性 质 【 分 析 】 （ 1） 由 圆 周 角 推 论 可 得 A+ABD=90， 由 切 线 性 质 可 得CDB+ODB=90， 而 ABD=ODB， 可 得 答 案 ；（ 2） 由 角 平 分 线 及 三 角 形 外 角 性 质 可 得 A+ACM=BDC+DCM， 即DMN=DNM， 根 据 勾 股 定 理 可 求 得 MN 的 长 【 解 答 】 解 ： （ 1） 如 图 ， 连 接 OD，第 19 页（共 62 页）AB 为 O 的 直 径 ，ADB=90， 即 A+ABD=90，又 CD 与 O 相 切 于 点 D，CDB+ODB=90，OD=OB，ABD=ODB，A=BD
25、C；（ 2） CM 平 分 ACD，DCM=ACM，又 A=BDC，A+ACM=BDC+DCM， 即 DMN=DNM，ADB=90， DM=1，DN=DM=1，MN= = 3. (2016四 川 自 贡 )如图， O 是 ABC 的外接圆，AC 为直径，弦 BD=BA，BEDC交 DC 的延长线于点 E（1）求证：1=BAD；（2）求证：BE 是O 的切线【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；切线的判定第 20 页（共 62 页）【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；（2）连接 BO，求出 OBDE，推出 EBOB，根据切线的判定得出即可；【解答】证明：（1）BD=BA，
26、BDA=BAD，1=BDA，1=BAD；（2）连接 BO，ABC=90，又BAD+BCD=180，BCO+BCD=180，OB=OC，BCO=CBO，CBO+BCD=180，OBDE，BEDE，EBOB，OB 是O 的半径，BE 是 O 的切线【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键4. (2016云 南 )如图，AB 为O 的直径，C 是 O 上一点，过点 C 的直线交 AB 的延长线于点 D，AEDC，垂足为 E，F 是 AE 与O 的交点，AC 平分 BAE（1）求证：DE 是O 的切线；第 21 页（共 62 页）（2）若
27、 AE=6，D=30，求图中阴影部分的面积【考点】切线的判定；扇形面积的计算【分析】（1）连接 OC，先证明OAC=OCA，进而得到 OCAE，于是得到 OCCD，进而证明 DE 是O 的切线；（2）分别求出OCD 的面积和扇形 OBC 的面积，利用 S 阴影 =SCODS 扇形 OBC 即可得到答案【解答】解：（1）连接 OC，OA=OC，OAC=OCA，AC 平分BAE，OAC=CAE，OCA=CAE，OCAE，OCD=E，AEDE，E=90，OCD=90，OCCD，点 C 在圆 O 上， OC 为圆 O 的半径，CD 是圆 O 的切线；（2）在 RtAED 中，D=30，AE=6，AD=
28、2AE=12，第 22 页（共 62 页）在 RtOCD 中，D=30 ，DO=2OC=DB+OB=DB+OC，DB=OB=OC= AD=4，DO=8，CD= = =4 ，SOCD= = =8 ，D=30，OCD=90，DOC=60，S 扇形 OBC= OC2= ，S 阴影 =SCODS 扇形 OBCS 阴影 =8 ，阴影部分的面积为 8 【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明OCDE，解（2）的关键是求出扇形 OBC 的面积，此题难度一般5. (2016云 南 )四边形 ABCD 的对角线交于点 E，有 AE=EC，BE=ED，以 AB 为直径的半圆过点 E
29、，圆心为 O（1）利用图 1，求证：四边形 ABCD 是菱形（2）如图 2，若 CD 的延长线与半圆相切于点 F，已知直径 AB=8连结 OE，求OBE 的面积求弧 AE 的长第 23 页（共 62 页）【考点】菱形的判定与性质；切线的性质【分析】（1）先由 AE=EC、 BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据 AEB=90可判定该平行四边形为菱形；（2）连结 OF，由切线可得 OF 为 ABD 的高且 OF=4，从而可得 SABD，由 OE 为ABD 的中位线可得 SOBE=SABD；作 DHAB 于点 H，结合 可知四边形 OHDF 为矩形，即 DH=OF=4，根据 sinDAB=知
30、EOB=DAH=30，即AOE=150，根据弧长公式可得答案【解答】解：（1）AE=EC，BE=ED，四边形 ABCD 是平行四边形AB 为直径，且过点 E，AEB=90，即 ACBD四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 是菱形（2）连结 OFCD 的延长线与半圆相切于点 F，OFCFFCAB，OF 即为ABD 中 AB 边上的高SABD=ABOF=84=16，点 O 是 AB 中点，点 E 是 BD 的中点，SOBE=SABD=4第 24 页（共 62 页）过点 D 作 DHAB 于点 HABCD，OFCF，FOAB，F=FOB=DHO=90四边形 OHDF 为矩形，即 DH=O
31、F=4在 RtDAH 中， sinDAB= =，DAH=30点 O， E 分别为 AB，BD 中点，OEAD，EOB=DAH=30AOE=180EOB=150弧 AE 的长= = 【点评】本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键6. （2016四川达州8 分）如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，连接AC，BC ，过点 O 作 ODAC 于点 D，过点 A 作半圆 O 的切线交 OD 的延长线于点 E，连接 BD 并延长交 AE 于点 F（1）求证：AEBC=AD AB；（2）若半圆 O 的直径为 10
32、， sinBAC=，求 AF 的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义【分析】 （1）只要证明EADABC 即可解决问题（2）作 DMAB 于 M，利用 DMAE ，得 = ，求出 DM、BM 即可解决问题【解答】 （1）证明：AB 为半圆 O 的直径，第 25 页（共 62 页）C=90 ，ODAC，CAB+AOE=90，ADE=C=90，AE 是切线，OAAE ，E+AOE=90，E=CAB，EAD ABC，AE：AB=AD：BC，AEBC=AD AB（2）解：作 DMAB 于 M，半圆 O 的直径为 10，sinBAC=，BC=ABsinBAC=6，A
33、C= =8，OEAC，AD=AC=4，OD=BC=3，sinMAD= =，DM= ，AM= = = ，BM=ABAM= ，DMAE， = ，AF= 第 26 页（共 62 页）7. （2016四川广安9 分）如图，以ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心，经过 A，C 两点且与 BC 边交于点 E，点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F，若AB=BF（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若 CF=4，DF= ，求O 的半径 r 及 sinB【考点】切线的判定【分析】 （1）连接 OA、OD，如图，根据垂径定理得 ODBC ，则D+OFD=90 ，再由AB=BF，
34、OA=OD 得到BAF= BFA，OAD=D，加上BFA=OFD，所以OAD+BAF=90，则 OAAB，然后根据切线的判定定理即可得到 AB 是O 切线；（2）先表示出 OF=4r，OD=r，在 RtDOF 中利用勾股定理得 r2+（4r ） 2=（ ）2，解方程得到 r 的值，那么 OA=3，OF=CFOC=4 3=1 ，BO=BF+FO=AB+1 然后在 RtAOB 中利用勾股定理得 AB2+OA2=OB2，即 AB2+32=（AB+1） 2，解方程得到AB=4 的值，再根据三角函数定义求出 sinB【解答】 （1）证明：连接 OA、OD，如图，点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，ODB
35、C，EOD=90，AB=BF，OA=OD ，BAF=BFA，OAD=D，而BFA=OFD，OAD+BAF=D+ BFA=90 ，即OAB=90，OAAB，AB 是O 切线；（2）解：OF=CFOC=4 r，OD=r，DF= ，在 RtDOF 中，OD 2+OF2=DF2，即 r2+（4r ） 2=（ ） 2，第 27 页（共 62 页）解得 r1=3，r 2=1（舍去） ；半径 r=3，OA=3 ，OF=CFOC=43=1，BO=BF+FO=AB+1在 RtAOB 中，AB 2+OA2=OB2，AB 2+32=（AB+1） 2，AB=4，OB=5，sinB= =8. （2016四川乐山10 分
36、）如图 13，在 中， ,以 边为直径作ABCAC交 边于点 ,过点 作 于点 ， 、 的延长线交于点 .OBCDEEDF（1）求证： 是 的切线；EFO（2）若 ,且 ,求 的半径与线段 的长. 323sin5解析：（1）证明：如图 2 所示，连结 ，OD ， .ABCA ， .OC ， .（2 分）B图2EDO CFBA图 13O FE DCBA第 28 页（共 62 页） ， .DEABOEF 是 的切线 （5 分）F（2）在 和 中，Rtt ， . 3sinC3DAF设 ，则 . ， .（6 分）ODx5x6BCx8AF ， .（7 分）2EB62 ，解得 = ，（9 分）3685xx
37、4 的半径长为 ， = （10 分）O1AE69. （2016 湖 北 宜 昌 ， 21， 8 分 ） 如图，CD 是O 的弦， AB 是直径，且 CDAB，连接 AC、AD、OD，其中 AC=CD，过点 B 的切线交 CD 的延长线于 E（1）求证：DA 平分CDO；（2）若 AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据： =3.1， =1.4， =1.7）【考点】切线的性质；弧长的计算【分析】（1）只要证明CDA=DAO， DAO=ADO 即可（2）首先证明 = = ，再证明 DOB=60得 BOD 是等边三角形，由此即可解决问题【解答】证明：（1）CD AB，CDA=BAD，又 OA=
38、OD，ADO=BAD，ADO=CDA，DA 平分 CDO（2）如图，连接 BD，AB 是直径，第 29 页（共 62 页）ADB=90，AC=CD，CAD=CDA，又 CDAB，CDA=BAD，CDA=BAD=CAD， = = ，又AOB=180 ，DOB=60，OD=OB，DOB 是等边三角形，BD=OB= AB=6， = ，AC=BD=6，BE 切 O 于 B，BEAB，DBE=ABEABD=30，CDAB，BECE，DE= BD=3，BE=BD cosDBE=6 =3 ， 的长 = =2，图中阴影部分周长之和为 2 =4+9+3 =43.1+9+31.7=26.5第 30 页（共 62
39、页）【点评】本题考查切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型10. （2016 江苏淮安，25，10 分）如图，在 RtABC 中， B=90，点 O 在边 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆经过点 C，过点 C 作直线 MN，使 BCM=2A（1）判断直线 MN 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 OA=4，BCM=60，求图中阴影部分的面积【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算【分析】（1）MN 是O 切线，只要证明 OCM=90即可（2）求出AOC 以及 BC，根据 S 阴 =S 扇形 OACSOAC 计算即可【解答】解：（1）MN 是O 切线理由：连接 OCOA=OC，OAC=OCA，BOC=A+OCA=2A，BCM=2A，BCM=BOC，B=90，BOC+BCO=90，BCM+BCO=90，OCMN，MN 是O 切线（2）由（1）可知BOC= BCM=60，AOC=120，在 RTBCO 中， OC=OA=4，BCO=30，
