1、2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 已知当 时， 与 是等价无穷小，则 ( )0x3sinfxxkc(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c = 4 (C) k=3,c =4 (D) k=3,c = 4【答案】 (C)【详解】本题涉及到的主要知识点：当 时，0xsinx:在本题中， 03ilmkxc03sincos2sinlkxxx0inlkxc 2103coslimkx x22103ososlikxx 2211
2、0044inlilkkxxcc，34lim4,3kxcc故选择(C).(2) 已知函数 在 x=0 处可导，且 =0，则 = ( )f 0f230limxffx(A) 2 (B) (C) (D) 0.0fff【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点：导数的定义 000()(lim()xffxf:在本题中， 232230 0 20li lix xfffffxf30lim0x ffff fff 故应选(B)(3) 设 是数列，则下列命题正确的是 ( ) nu(A)若 收敛，则 收敛 (B) 若 收敛，则 收敛1n21(nu21()nu1nu(C) 若 收敛，则 收敛 (D) 若 收敛，则 收敛
3、1nu21()nu 21()nu1nu【答案】(A)【详解】本题涉及到的主要知识点：级数的基本性质 若级数 收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项的和数作为一1nu项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变.在本题中，由于级数 是级数 经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当 收敛21()n1nu 1nu时， 也收敛，故（A ）正确.21()nu(4) 设 ， ， ，则 的大小关系是( ) 40lsiIxd40lncotJxd40lncosKxd,IJK(A) (B) (C) (D) JKIJII【答案】(B)【详解】本题涉及到的主要知识点：如果在区间 上， ，则,ab()fx
4、g()baafxdg在本题中，如图所示：因为 ，所以040sinco1txx又因 在 是单调递增的函数，所以lnx(,)sicosltx(,)444000lnilncslncotxddxd即 .选（B ）.IKJ(5) 设 为 3 阶矩阵，将 的第二列加到第一列得矩阵 ，再交换 的第二行与第三行得单位矩阵，记AAB， ，则 = ( ) 10P210P(A) (B) (C) (D) 121221P12P【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施AmnAAmA行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶
5、初等矩阵.n/4在本题中，由于将 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 ，故AB10,AB即 11,PB故由于交换 的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，故10BE即 故 因此， 故选(D)2,PBE12,P1122,AP(6) 设 为 矩阵， 是非齐次线性方程组 的 个线性无关的解， 为任意常数，则A43123,Ax312,k的通解为( ) x(A) (B) 2312(k2312()k(C) (D) 231)()k 231()k【答案】(C)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果 ， 是 的两个解，则 是 的解；12Axb120Ax（2）如 元线性方程组 有解，设 是相应齐次方程组 的基础解系
6、， 是 的n,t 0Ax0Axb某个已知解，则 是 的通解（或全部解） ，其中 为任意常数.120tkk xb12,tk在本题中，因为 是 的 3 个线性无关的解，那么 ， 是 的 2 个线性无关3,Ax213x的解.从而 ，即()nr()2()1rrA显然 ，因此1A1由 ，知（A ） （B）均不正确.()32r又 ，故 是方程组 的解.所以应选（C）.2323()Ax(7) 设 , 为两个分布函数，其相应的概率密度 与 是连续函数，则必为概率密度的是 1()Fx2 1()f2f( ) (A) (B) 1(f2)2()fx1F(C) (D) +x12()f1x【答案】(D)【详解】本题涉及到
7、的主要知识点：连续型随机变量的概率密度 的性质：()fx()1fxd在本题中，由于 与 均为连续函数，故它们的分布函数 与 也连续.根据概率密度的性1()f2 1()Fx2质，应有 非负，且 .在四个选项中，只有（D）选项满足x()1fxd121()()fFf 2112()()Fxdx22()xx故选（D）.(8) 设总体 X 服从参数为 的泊松分布， 为来自该总体的简单随机样本，则对(0)12,()nX于统计量 和 ，有 ( ) 1niiT12niniT(A) , (B) , (D) , 【答案】(D)【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）泊松分布 数学期望 ，方差()XP:EXD（2） ，
8、 ， ， （ 与 相互独()EcY2()cX()YDXY立）在本题中，由于 独立同分布，且 ， ，从而12,n 0ii1,2in， 111()()ni ii iETXEEX121()()n ninini i1()()inEXn1EX故 12T又 ，112(1)niiDDn，2 221()()niniTX12()1DTn故选（D）.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .(9) 设 ，则 .0lim13xttfxf【答案】 3e【详解】本题涉及到的主要知识点：重要极限公式 10li()xxe在本题中， 3100lim13lixtxtt tfx 3x
9、e所以有 .xfe(10) 设函数 ，则 .1yz1,dz【答案】 2lnx【详解】用对数求导法.两边取对数得，lnl(1)xzy故 ，l()xzxy21ln(1)zxxyy令 ， ，得1， ，(1,)2lnzx(1,)2ln1)zy从而 (,)lddx(11) 曲线 在点 处的切线方程为 .tan4ye0,【答案】 2yx【详解】方程变形为 ，方程两边对 求导得arctn()4yyex，21ye在点 处 ，从而得到曲线在点 处的切线方程为 .(0,)(0,)2yx(12) 曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转所成的旋转体的体积为 .21yx2xx2y1021yx【答案】 43【详解
10、】本题涉及到的主要知识点：设有连续曲线 ，则曲线()yfx)ab与直线 ， 及 轴围成的平面图形()yfxx绕 轴旋转一周产生的旋转体的体积 2()bxaVfdx在本题中， 222311 14().Vydxd(13) 设二次型 的秩为 1， 中各行元素之和为 3，则 在正交变换 下的标准123,TfxA fxQy形为 .【答案】 213y【详解】本题涉及到的主要知识点：任给二次型 ，总有正交变换 ，使 化为标准形,1()nijijjiifaxxPyf，其中 是 的矩阵 的特征值.221nfyy 12,n f()ijAa在本题中， 的各行元素之和为 3，即A1213121333, 13aa所以
11、是 的一个特征值.A再由二次型 的秩为 1 是 的 2 重特征值.Tx0A因此，正交变换下标准形为： .23y(14) 设二维随机变量 服从正态分布 ，则 = .,XY2,;0N2EXY【答案】 2()【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）如果随机变量 和 的相关系数 ，则称 与 不相关.Y0XYY（2）若随机变量 与 的联合分布是二维正态分布，则 与 独立的充要条件是 与 不相关.X XY（3）如果随机变量 与 相互独立，则有 ()E在本题中，由于 服从正态分布 ，说明 ， 独立同分布，故 与 也独立.由,Y2,;0NXY2期望的性质有 ，又 ，22()EXYEX，所以2YD22()()Y三
12、、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 10 分)求极限 012sin1limlxx【详解】本题涉及到的主要知识点：当 时， l()x:在本题中， 012sin1lilx20sin1limxx0 0 0cocossicos2sin21sinlimli l21nx x x x0 0si cs1sil lim.22ix xx(16) (本题满分 10 分)已知函数 具有连续的二阶偏导数， 是 的极值， .求,fuv1,f,fuv(,)zfxyf21,zxy【详解】本题涉及到的主要知识点：极值存在的必要条
13、件 设 在点 具有偏导数，且在点 处有极值，则必有(,)zfxy0(,)0(,)xy， .0(,)xfy0(,)yfx在本题中， ,z121(,)(,)(,)fxyffxyffxy211221,(,zfffff为2122212(,),(),(,),fxyffxyffxyfyfxfxy 1,2f的极值uv12,10ff21212(,),(,)(,)zfffxy(17) (本题满分 10 分)求不定积分 arcsinlxd【详解】本题涉及到的主要知识点：（1） ， ；()xt 1)()()()fxfttGCx（2） ；udvu（3） .()()()fxgfxdgx在本题中，令 , ,t2ttarc
14、sinlxd 2arcsinltd2arcsinltdt2222rsi l1t tttt 22(1)riln4dtttt，其2acinl4ttttCarcsin2lxxxC中 是任意常数.C(18) (本题满分 10 分)证明方程 恰有两个实根.44arctn30x【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）零点定理 设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即 ） ，那么在开()f,ab()fafb()0fab区间 内至少有一点 ，使(,)ab0（2）函数单调性的判定法 设函数 在 上连续，在 内可导.()yfx,(,)如果在 内 ，那么函数 在 上单调增加；(,)(fxab如果在 内 ，那么函数
15、在 上单调减少.ab0()yfx,在本题中，令 ，4()4arctn3fxx 241x当 时， ， 单调递减；3 ()f当 时， ， 单调递增.x()0fx.4()4arctn3()30f 当 时， 单调递减, , ；3x()fx3x()0fx当 时， 单调递增, ,是函数 在 上唯一的零点.x()fx,3)又因为 48(3)4arctn230f 且 limlit .3xxfx由零点定理可知， ，使 ,0,0fx方程 恰有两个实根.44arctn3x(19)(本题满分 10 分)设函数 在区间 具有连续导数， ，且满足(fx0,1(0)1f, ，求 的表达式.()()t tDDfydfdxy,
16、(01)txytxt()fx【详解】本题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程 的通解 .()PQx()()PxdPxdeQeC在本题中，因为 ，令 ，则0()t ttxDfydfy yu0()()()xtxffuftx0 0()t t tDyddffdx.20 1()()()tttffxfxtf两边对 求导，得 ,解齐次方程得t()()02fft 212()()dtCfte由 ，得 . 所以函数表达式为 .(0)1f4C24()(0)fxx(20) (本题满分 11 分)设向量组 ， ， 不能由向量组 , ,1,0T20,1T3,5T1T213T线性表出.3,4Ta(I)求 的值 ；(II)将
17、 ， ， 用 ， ， 线性表出.123123【详解】本题涉及到的主要知识点：向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是12,lb 12,ma12()(,)mlrarb (I)因为 ，所以 线性无关.1230,5123,那么 不能由 线性表示 线性相关，即123,123,123,，123,4050aa所以 5a(II)如果方程组 都有解，即 可由 线性表示.对123(1,23)jxx123,123,作初等行变换，有1233,（ ）=123123,（ ）012453041201021021540故 ， ，323135(21) (本题满分 11 分)为 3 阶实对称矩阵， 的秩为 2，且AA001
18、1(I) 求 的所有特征值与特征向量;(II) 求矩阵 .【详解】本题涉及到的主要知识点：（1） 为矩阵 A 的特征值， 为对应的特征向量(0)A（2）对于实对称矩阵，不同特征值的特征向量互相正交.（I）因 知 ，所以 是 的特征值.()2r0又 ， ，1100A10A所以按定义 是 的特征值， 是 属于 的特征向量；11(,)TA1是 的特征值， 是 属于 的特征向量.A2(,0设 是 属于特征值 的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互3123(,)Tx正交，因此解出13320,Tx3(0,1)T故矩阵 的特征值为 ；特征向量依次为 ，其中A1, 123(,0)(,1),(
19、0,)TTTkk均是不为 0 的任意常数.123,k(II)由 ，有12312(,)(,0).1112123 0(,0)(,) 0A (22)(本题满分 11 分)设随机变量 与 的概率分布分别为XYX 01P 1/32/3Y 1P / /且 .2()1X(I) 求二维随机变量 的概率分布；(,)XY(II) 求 的概率分布；Z(III) 求 与 的相关系数 .XY【详解】本题涉及到的主要知识点：（1）协方差 cov,EEY（2）相关系数 ,()XYD(I)设 的概率分布为(,)YX -1 0 10 1p12p13p1/31 2 22/31/3 1/3 1/3根据已知条件 ，即21PXY，可知
20、 ，从而0,1,PXY12231p， ，即 的概率分布为132p1223p()(II) 的所有可能取值为-1，0，1 .ZXY11,3PZXY01PZ的概率分布为ZXY(3) ， ， ，故 ，从而 .23EX0YEX(,)0CovXYEXY0XY(23)(本题满分 11 分)设二维随机变量 服从区域 上的均匀分布，其中 是由 与 所围成的三(,GG,2xyy角形区域.(I) 求 的概率密度 ；X()Xfx(II) 求条件概率密度 .|Yy【详解】本题涉及到的主要知识点：（1） 、 是连续型随机变量，边缘概率密度为 ， ；XY()(,)Xfxfyd()(,)Yffxyd（2）在 的条件下 的条件
21、概率密度 ；yX,()YYfyf（3）设 是平面上的有界区域，其面积为 .若二维随机变量 具有概率密度GA,Z -1 0 1p 1/3 1/3 1/3XY -1 0 101/30101/3 0 1/3则称 在 上服从均匀分布.1,(),(,)0xyGfxyA其 他 (,)XY(I) 的联合密度为(,)XY1,(),(,)0.xyGfxy当 时， ；01x0,xXffd当 时， ；22()()1xyyx当 或 时， .xXf所以 , 0,()212, Xxxf其 它 .(II) | ()()XYYfxyf当 时， ；当 或 时， . 01y2(1yfd0y1()0Yfy所以 |, ,()0XYxfx其 他 .
