1、中学生数学 年 月上 第 期 （高中 ）网址 ： 电子邮箱 ：思路与方法浙江省兰溪市第一中学 （）蒋志明舒林军裂项相消法实质上是把一个数列的每一项裂为两项的差 ，即化（）（）的形式 ，从而达到数列求和的目的 ，即得到（）（）的形式通过此类题型的解决 ，可以培养同学们的逆向思维 ，开发同学们的智力 ，检查同学们思维的灵活性故在高考中常常出现利用裂项相消法来求数列的前项和 、不等式证明等较难的题型笔者通过长期教学的研究 ，并加以总结 ，归纳出八大题型 ，让同学们通过对题型的了解 ，可以快速掌握其技巧 ，达到事半功倍的效果题型一等差型等差型是裂项相消法中最常见的类型 ，也是最容易掌握的设等差数列 的
2、各项不为零 ，公差为，则（）常见的有 ：（）（）；（）（）（）（）；（）（）例 求数列 （）（）的前项的和分析先把通项进行化简 ，分子通常化为常数 ，然后裂项就可以求得解数 列 的 通 项 （）（）（），（）（）（）（）（）题型二无理型该类型的特点是 ，分母为两个根式之和 ，这两个根式的平方差为常数 ，然后通过分母有理化来达到消项的目的 ，有时在证明不等式时 ，常常把分母放缩成两个根式之和 ，来达到消 项 化 简 的 目 的常 见 有 ：槡槡槡槡例 证明 ： 槡槡槡槡槡 （，）分析先把通项进行放缩后再裂项相消即可证证明因为槡槡槡槡（槡槡）（，），所以槡槡槡（槡槡）（槡槡）（槡槡） 槡又因为槡槡
3、槡 槡（槡 槡）（，），所以槡槡槡（槡中学生数学 年 月上 第 期 （高中 ）网址 ： 电子邮箱 ：思路与方法槡）（槡槡）（槡 槡）槡即不等式成立题型三指数型由于 （），因此一般地有（）（）（）例 已知数列 的首项为，点 （，）在直线上（）求数列 的通项 ；（）设数列 的 前项 和 为，（）（），求数列 的前项和分析先求数列 的通项 ，再求，然后把通项进行裂项即可解（）容易解得；（）因为（），所以 （）（）（）即（）题型四对数型由对数的运算法则可知 ：若，则 例 已 知 数 列 的 通 项 为 ，若其前项和，则 分析因为（），所以（）（），即题型五三角函数型由三角函数两角和差公式可以得到的变形
4、如下 ：（）（）等 ，可以经过构造达到裂项消项的目的例 在数和之间插入个实数 ，使得这个数构成递增的等比数列 ，将这个数的乘积记作，再令，（）求数列 的通项公式 ；（）设求数列 的前项和分析（）利用倒序相乘不难得到，即得（） （）（）（）（）（）（）， （）（）（）（）， （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）题型六阶乘和组合数公式型由阶乘的定义可以得到 ：！（）！ ，由组合数公式也可以得到 例 化简 ：（）！ ；（）（，）分析由上面所推出的结论得到 ：（）原式！（）！（）！；（）原式（）（）中学生数学 年 月上 第 期 （高中 ）网址 ： 电子邮箱 ：思路与方法题型七抽象型有些
5、抽象函数可以根据给出的性质 ，也可以进行裂项相消 ，如下面例子例 定义在 （，）上的函数（）满足 ：（）对（，），都有（）；（）已知（），（），（）（）（）（，），比较，的大小分析由 （）可知 ：令，则（）；令，则（）（），所以（）为奇函数 ，对，（，），且，都有（）（）（ ），所以（）在 （，）上是减函数又因为（ ）（）（熿燀燄燅）（熿燀燄燅）（）（），所以（）（）（）（）（）（）（）（）因此题型八混合型有些可以通过以上几种进行混合的通项 ，裂项的难度较大 ，例如 ：（）（）（）（）（）（）（）；又 如 下 面 例题 ：例 已知数列 的通项为，求和 ：分析因为（）（）（）（）（）（），所以（
6、）（）以上笔者仅仅归纳出常见的八大题型 ，对一些不常见的题型需要大胆的猜测 ，也可以从首项起开始裂项 ，然后加以归纳 ，即从特殊到一般 ，有时也可以利用待定系数法去完成裂开通项最后希望同学们要善于总结归纳 ，并加以积累 ，这样才能把自己从题海里解脱出来（责审王雷檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪）（上接第页 ）图 （）如图，当，即时取等号 ，此时直线的倾斜角为，故所求直线方程为小结解法一 ，解法二分别用直线方程的点斜式和截距式给出直线方程 ，然后建立目标函数 ，再用基本不等式求出最值 ，解法自然流畅解法三是通过转换解析几何环境到解三角形环境这样设角也比较自然本题与本文开头的联考题 ，一个以解几为背景 ，一个以平几为背景 ，题目虽然不同 ，但解法基本相同经常对这类题型不同但解法相同或相近的问题进行模式化总结与反思 ，有利于同学们今后一看到这类问题就会有法可依 ，有路可行 ，从而熟能生巧 ，开拓思路 ，提高解决问题的实力（责审王雷 ）
