1、1第三章 半导体中载流子的统计分布3.1 费米能级和载流子的统计分布3.2 本征半导体的载流子浓度3.3 杂质半导体的载流子浓度本章重点：热平衡Ec载流子复合 (电子 -空穴对消失 )EvED激发产生载流子EA热平衡时 ， 载流子的产生与复合速度相等，载流子浓度一定。EA电子在允许的量子态的分布随温度变化允许的量子态按能量的分布随温度变化半导体的导电性能强烈依赖温度载流子浓度随温度变化3.1 状态密度dEdZEg =)(状态密度：表示能带中能量 E附近单位能量间隔内量子态数：1. k 空间量子态的分布对边长为 L的晶体，波矢取分立的值：()()()=，21,021,021,0zzzyyyxxx
2、nLnknLnknLnkk空间电子允许的量子态密度为 2Vkykxkz体积为 1/L3 1/V的立方体内有 1个量子态2. 状态密度等能面是 球面 ，极值在 k=0的 导带低 附近：在 E 到 E dE 球壳内的量子态数：)2(422dkkVdZ =求出 k和 dk，带入（ 2）式，得：)3()()2(421323*dEEEhmVdZcn= )1(2)(*22ncmkhEkE +=dk等能面2故 导带低附近 E处状态密度为：)4()()2(4)(21323*cnEEhmVdEdZEg = 同样根据 价带顶附近*222)(pvmkhEkE =价带顶附近 状态密度)5()()2(4)(21323*
3、EEhmVdEdZEgvp= 算法 2、*22222)()(nzyxcmkkkhEkE+=球面等能面1)()(/2)()(/2)()(/202*202*202*2=+ kEkEhmkkEkEhmkkEkEhmknznynx）（）（）（( )cnEkEhm = )(/22*球面半径球体内的量子态数：()*2 3/2422/()3ncVmhEkE21323*)()2(4)(cnEEhmVdEdZEg = 从而获得：()cnEkEhm = )(/22*球面半径实际 Si、 Ge，导带底是 旋转椭球面 ：)(2)(2322212ltcmkmkkhEkE +=椭球体内的体积：()1/23/223448(
4、)33tl cabc m m E k E h=椭球半长轴：( )()222/ ()2/ ()tclcab mh Ek EcmhEkE= =()2/132/12)()8(4)(cltEkEhmmVsdEdZEg = 导带底共有 s个状态mdn为导带底电子状态密度有效质量 , 对 Si s=6, 对 Ge, s=421323*)()2(4)(cnEEhmVdEdZEg = 对比球形等能面得：()5()()2(4)(2/132/3cdnEkEhmVEg = s个旋转椭球31232)(tldnmmsm =()2/3*2/1222)8(nltmmms =Si、 Ge价带有两个能带与 重空穴 (mp)h和
5、轻空穴 (mp)l对应，此时（ 5）式中 为：*pm322323*)()(hplpdppmmmm +=价带顶空穴有效状态质量Si： Ge：dpm059.0 mmdp= 037.0 mmdn=价带顶附近 状态密度)6()()2(4)(21323*EEhmVdEdZEgvp= 3结论结论价带顶附近，空穴 E越高， 越大， g(E)越大。*pm*nm导带底附近，电子 E越高， 越大， g(E)越大；EcEvgcgv3.2 费米能级和载流子的统计分布费米能级和载流子的统计分布)1(exp11)(0 +=TkEEEfFnz3.2.1 费米分布函数及费米能级晶体中的单个电子，能量时大时小；热平衡态，大量电
6、子按能量存在统计分布规律；电子是费米子，服从泡利不相容原理，遵循费米统计分布。1、费米分布函数)( Efn叫 电子 的费米分布函数。满足：=iinNEf )(未被电子占据的几率即 空穴 的费米分布函数：)2(exp11)(1)(0 +=TkEEEfEfFnp所有量子态中被电子占据的量子态数等于电子总数a. 与温度、导电类型、杂质含量及能量零点选取有关。2、费米能级 EFb. 定义为：)3()(TFNFE =EF 表示：当系统处于 热平衡 也 不对外界做功 的情况下，系统增加一个电子所引起系统 自由能的变化 。c. 处于热平衡的电子系统有统一的 EF在 T0时1)(0)(21)(121)(21)
7、(=EfEEEfEEEfEEEfEEEfEEFFFFF3、讨论费米分布函数当 T 0时() 0() 1FFEE fEEE fE=01()1expnFfEE EkT=+A、 B和 C分别表 0、 300、 1000K1/2EF0ABCf(E)1E ABCa. T 0， EF是量子态是否被电子占据的界限。b. 温度不太高时，高于 EF的能级 基本 不被电子占据，低于 EF的能级 基本 被电子占据；c. T升高 , 电子占据 EEF能级的几率升高，占据EEF能级 ；d. 费米能级直观地反映电子占据量子态的情况，它标志电子填充能级的水平。 EF 越高，说明有较多高能量量子态上有电子。费米能级的意义：4
8、3.2.2 玻尔兹曼分布函数时，数学上， TkEEF 0)4()exp()exp()()(exp11)(0000TkEATkEEEfTkEEEfFBnTkEEFnF=+=费米分布玻尔兹曼分布不 受泡利不相容原理限制，费米分布 转化为 玻尔兹曼分布 ：电子占据量子态的几率极小，时，TkEEF 0物理上空穴 的玻尔兹曼分布函数：()5)exp()exp()()(exp11)(0000TkEBTkEEEfTkEEEfFBpTkEEFpF=+=费米分布玻尔兹曼分布E远低于 EF的量子态被 空穴 占据的几率 很小，这些低能态几乎被电子占据。非简并 n型半导体轻掺杂半导体EcEvEiEF(1)服从费米分布
9、的系统是简并系统，受泡利不相容原理的限制。(2)玻尔兹曼分布的系统 非简并系统，每个被占据的量子态最多只有一个电子。简并 n型半导体（重掺杂）Ge、 Si N1018cm-3EcEvEiEFEcEvEiEF或(3) 通常情况： EF位于禁带内距 Ec或 Ev远大于 k0T， 适用玻尔兹曼分布。(4) 随 E增大， fBn(E)指数减小，电子集中在导带底附近； fBp(E)指数增加，空穴多集中在价带顶附近EcEvEiEFEcEvEiEFEcEvEiEF或非简并 p型半导体轻掺杂半导体简并 p型半导体（重掺杂）Ge、 Si N1018cm-3两种分布函数两种分布函数)(exp)(kTEEEfF)e
10、xp(11)(kTEEEfF+=f(E)E01/2 1EFT=0T0Boltzmann分布z Fermi分布函数 :在(EEF)/kT 0 时, f(E)0;在(EEF)/kT 1 时, 得到经典Boltzmann分布Fermi分 布EcEvEiEFEcEvEiEF非简并 p型半导体非简并 n型半导体以上两种的半导体，电子和空穴占据导带底和价带顶的几率如何？)exp()exp()(00TkEBTkEEEfFBp=)exp()exp()(00TkEATkEEEfFBn=53.2.3 导带中电子浓度和价带中空穴浓度En0p0载流子浓度dn0/dE, dp0/dEE1-fn(E)01gc(E)gv(
11、E)EcEvEFEfn(E)01gc(E)gv(E)EcEvEF分布函数和状态密度001() () (1)V1() () (2)VccvvEBn cEEBp vEnfEgEdpfEgEd=非简并半导体导带底电子浓度价带顶空穴浓度*321/ 20 300*321/ 200 3001/ 20(2 )4 exp( )( )()/(2 )4 exp( )2ccEn FcEcxxncFxm EEnEkThxEEkTmkT E EnxedkThxedx=令得到利用 ）（得令导带底有效状态密度4)exp()2(2002/332/30*TkEENnThTkmNFccnc=）（ 3)exp()2(203230*
12、0TkEEhTkmnFcn=)exp()(0TkEEEfFBn=)exp(00TkEENnFcc=类比导带电子浓度可看成导带底 Ec处的 Nc个量子态上具有的电子数。导带价带EgEcEv01() ()VvvEBp vEpfEgEd=()*321/20 3000*321/200 3001/20(2 )4 exp( )( )()/,()(2 )4exp()2vvEpFvEvvxxnvFxmEEpEEdkThxEEkTdEE kTdxmkT E Ep xedxkThxedx= =令得到利用 )exp()exp()(00TkEBTkEEEfFBp=21323*)()2(4)( EEhmVdEdZEgv
13、p= 利用）（得令价带顶有效状态密度5)exp()2(200233230*TkEENpThTkmNvFvpv=价带空穴浓度可看成价带顶 Ev处的 Nv个量子态上具有的空穴数。6结论(1) n0和 p0随温度和 EF不同而变化(2) EF与温度和半导体掺杂情况密切相关(3) n0, p0随温度、掺杂类型和掺杂浓度而变化23, TNNvc)1exp( T)exp()exp()exp(03000000TkETpnTkENNTkEENNpnggvcvcvc=3.2.4 载流子浓度乘积 n0p0适用于 热平衡 下的 本征半导体 和 非简并杂质半导体 。乘积 n0p0与 EF无关一定半导体，取决于 T,
14、与杂质无关 。温度一定的某半导体， n0， p0成反比不同半导体，由 Eg、 T决定。3.3 本征半导体的载流子浓度本征半导体 : 没有杂质和缺陷的半导体。T=0时，不导电；T0时 , 本征激发产生载流子导电，此时n0 p0用 Ei表示本征半导体的费米能级本征半导体)1()exp()exp(00TkEENTkEENvivicc=电中性条件：对 Si、 Ge，一般情况， Ei基本在禁带中线处)2(ln432ln220)2(2)2(2032/30*32/30*=+=+=npvchTkmNhTkmNcvvcimmTkEENNTkEEEpvnc)2exp()(02100TkENNpnngvci=T一定
15、， Eg越大， ni指数下降；Eg一定， ni随 T升高而增大)2exp(02/3TkETngi7200 0exp( ) (4)icv gnp n NN E kT= 适于热平衡下的 本征半导体 和 非简并杂质半导体 。TEEgg+= )0(假定 Eg按线性变化002/32exp2)0(expkTkETngi则( )0(/1ln2/3giETTn由斜率求得关系为直线所以 1061081010101210141016101810200.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0本征载流子浓度ni(cm-3)27 0C100 0C200 0C500 0C1000 0C1000 / T
16、 (K-1)GeSiGaAsGaP半导体器件和芯片，载流子主要来源于杂质电离；欲使载流子主要源于杂质电离，掺杂浓度应高于该温度下的本征载流子浓度或半导体不能超过一定温度；本征载流子浓度随温度升高急剧上升；纯硅的温度升高 8K，本征载流子浓度增加 1倍；纯锗的温度升高 12K，本征载流子浓度增加 1倍。当温度升高到本征载流子浓度可与杂质电离的载流子浓度比拟，器件失效。总结(1) T一定， Eg越大， ni指数下降；Eg一定， ni随 T升高而迅速增大(2) 用本征材料制作的器件极不稳定，常用杂质半导体，常温下全电离，载流子浓度一定。(3)每一种半导体材料器件有一定的极限工作温度（ 本征载流子浓度
17、比杂质电离提供载流子浓度低1个数量级 ），其随 Eg增大而增加 , 随掺杂浓度增大而缓慢增加。3.4 杂质半导体的载流子浓度3.4.1 杂质能级上的电子和空穴杂质能级与能带中能级的区别：能带中的 1个能级可容纳 2个自旋相反的电子。1个杂质能级最多只能 容纳 1个电子（如前面讲过的深能级，接收多个电子对应不同能级）0() 1 1expFnEEfEkT=+0() 1 1expFpEEfEkT=+导带电子和价带空穴的费米分布函数杂质能级中费米分布函数)2(2/)exp(11)()1(2/)exp(11)(00TkEEEfTkEEEfAFAFDD+=+=ED上电子费米分布EA上空穴费米分布8施主能级
18、上的电子浓度2/)exp(1)(0TkEENEfNnFDDDDD+=电离施主浓度/)exp(210TkEENnNnDFDDDD+=+受主能级上的空穴浓度 2/)exp(1)(0TkEENEfNpAFAAAA+=电离受主浓度 /)exp(210TkEENpNpFAAAAA+=讨论：00+DDDDFnNnTkEEDDDFDNnnTkEE =+0000=AAAFApNpTkEEAAAAFNppTkEE =0033/2DDDDDFNnNnEE =+33/2DADAAFNpNpEE =3.4.2 n型半导体的载流子浓度Ef(E)EcEvEF01分布函数和能态密度gc(E)gv(E)En0p0载流子浓度d
19、n0/dE, dp0/dEn型半导体导带价带Eg1、 n型半导体的载流子浓度热平衡时，电中性条件：+=Dnpn0000 0exp( ) exp( ) (1)12exp( )/ cF Fv DcvFDEE EE NNNkT kT E E kT =+过渡区本征激发区杂质离化区中间电离区强电离区低温电离区温度(1) 杂质离化区T 低，本征激发忽略，杂质离化为主。+=Dnn000exp( ) (2)1 2exp ( ) / cF DcFDEE NNkT E E kT=+中性条件：9A. 低温弱电离区电中性条件为：,1/)exp(,0+TkEENnDFDD)3(/)exp(2)exp(00TkEENTk
20、EENDFDFcc=()2lim0lnTlim2ln22000DcFTTcDDcFEEETNNTkEEE+=+=利用)4(2exp202/10 =TkENNnDDc位于导带底和施主能级间中线处DDETTnnTkETn图，确定迅速上升。由随温度升高，/1ln)2/exp(4/30004/30EF与 T、 ND及有关DE)5(23)2ln(2)2ln(2)2ln(2000=+=cDccDFNNkdTNdTkNNkdTdETEFEDEcE0.11ND低温弱电离区 EF随温度变化关系 时， ，随 T增加， 减小；当时, ， EF最大； ND越大， EF达到极值的 T越大。 T继续增加， 。0T0FdE
21、 dT dTdEF1.50.5 0.11cD DNNe N= 0=dTdEF0FdE dT ND时，EF 降至 (Ec ED)/2之下 ; 当 EF=ED ,1/3杂质电离中间电离区 : 230DcFDEEETkE+D)/(exp)2/1.0(100TkENNnDcDi则如 10)/(exp)/2(0=TkENNDDcDT一定，某杂质要全电离，掺杂存在浓度上限！(2) 过渡区半导体处于饱和区和完全本征激发之间杂质全电离本征激发不能忽略，但非完全本征激发11)exp(00TkEENnFcc=)exp(0TkEENnicci=)exp(0TkEEnNicic=/)exp/)exp0000TkEEn
22、pTkEEnnFiiiFi=0(/2)Fi DiE E k Tarsh N n= +00pNnD+=/)exp/)exp0000TkEEnpTkEEnnFiiiFi=利用( )02Di FiNnshEEkT= 向饱和区接近2D iNn接近本征激发2D iNnFcFcFcEETkEETkEE开始发生强简并时杂质浓度：有关和且与，接近或大于DCDETNN 3.杂质带导电杂质 能带与允带连接，形成带尾，禁带变窄。本征导带价带简并导带能带边缘尾部g(E)施主能带Egg(E)导带价带施主能级Eg重掺杂时，杂质原子的电子波函数交叠，孤立能级扩展为杂质能带。杂质能带中的电子在杂质间做共有化运动而参与导电，杂
23、质带导电200 inpn =)exp(02TkENNngvci=如认为杂质全电离，则因禁带变窄 少子浓度将增加为禁带变窄量ggiiETkEnnpn=0202exp重掺杂时简并半导体的主要特点：00)1( vFFcEEEE 或掺杂浓度高，以致(4) 杂质能级形成杂质能带而使禁带变窄 ;(2) 杂质不能全电离，多子浓度小于掺杂浓度；(5) 本征载流子浓度和少子浓度因禁带变窄而增加(3) 越小，发生简并的掺杂浓度越小；DE15小结电子和空穴的 费米分布 函数适于 简并 半导体。)1()(exp11)(0TkEEEfFn+=)2()(exp11)(0TkEEEfFp+=)3()exp()(0TkEEE
24、fFBn=)4()exp()(0TkEEEfFBp=电子、空穴的 玻尔兹曼分布 函数适于 非简并 半导体。）（ 5)exp(00TkEENnFcc=）（ 6)exp(00TkEENpvFv=热平衡非简并半导体电子和空穴浓度)7()exp(2000 igvcnTkENNpn =)8(ln220cvvciNNTkEEE +=)10()2exp()(02100TkENNpnngvci=本征半导体的 Ei和载流子浓度 =TkEENnCiCi0exp杂质电离T)/ln(0 cDcFDDNNTkEENn +=+强电离区低温电离区中间电离区 EF在（ Ec ED） /2至 ED以下若干 k0T范围)2exp
25、()2/(0210TkENNnDDc=cDDcFNNTkEEE2ln220+=本征激发n0 p0 EF EiN型半导体的导电情况过渡区接近本征激发向饱和区接近很小iDnN 2/很大iDnN 2/)2/(0 iDiFnNTarshkEE +=( )02Di FiNnshEEkT= N型半导体 过渡区 的载流子浓度20000iDnpnNnp=DiDDNnNnpNn2000=iDiDnNpnNn+=+=2/02/0iDnN iDnN 更接近于饱和区00pn 更接近于本征激发00pn 121222021220)41(12)41(12+=+=DiDiDiDNnNnpNnNn一般情况少数载流子浓度n型半导
26、体p型半导体半导体类型 多子浓度 少子浓度DnNn =0 DinNnp20=ApNp =0AipNnn20=DAipADinNNnnNNnp=2020一般半导体掺一类杂质DANN ADNN 16（ 1）当增加掺杂浓度时 , 半导体中的少数种载流子浓度会减小还是增加 ?（ 2）掺杂为 ND的半导体 , 在室温下 , 其中的载流子浓度是否就是n0=ND+ni？ p0=ni?（ 3）为什么禁带宽度越大的半导体以及掺杂浓度越高的半导体 , 其相应器件的工作温度就越高 ?（ 4）一般情况下，杂质半导体的电中性条件怎样 ?问题：习题课1. 现有三块 Si半导体，已知室温下（ 300K）的空穴浓度分别为：
27、p01=2.25 1016cm-3, p02=1.5 1010cm-3, p03=2.25 104cm-3。（ 1）分别计算这三块材料的电子浓度 n01、 n02、 n03；（ 2）判别它们的导电类型；（ 3）分别计算它们的 EF。)exp(00TkEEnpiFi=解： (1) 室温时， ni=1.5 1010cm-3, 平衡时，=020pnni3401101= cmn31002105.1= cmn31603101= cmn答：3401101= cmn31002105.1= cmn31603101= cmn（ 2）型半导体故为故为本征半导体型半导体故为nnpnppnp,010302020101
28、QQQ(3) iFiiFinpTkEETkEEnp0000ln)exp(=Q由此得到三块材料的费米能级分别为：eVEEeVnpTkEEEEeVnpTkEEeVEEeVnpTkEEiFiFiiFiFiiFiFi35.035.0ln0ln37.037.0ln030010010之上在，重合，与，之下在，=答：2.在一掺硼的非简并 P型 Si中，含有一定浓度的铟，室温下测出空穴浓度 p0=1.1 1016cm-3。已知 硼浓度 NA1= 1016cm-3,其电离能，铟的电离能试求其含铟的浓度。室温下 Si的 Nv 1.04 1019cm-3。eVEEEvAA046.011= eVEEEvAA16.02
29、2=/)exp(21/)exp(210220110TkEENTkEENpFAAFAA+=)exp(00TkEENpvFv=QeVEEeVEEeVEpNTkEEAFAFvvvF018.016.0178.0133.0046.0178.0178.0ln2100=+=+=解：17已知室温下， Ge的 Nc=1.04 1019cm-3,Nv=6.0 1018cm-3，分别求在 300K和 500K时，含施主 ND=5.0 1015cm-3、受主NA=2.0 109cm-3的电子和空穴浓度。解：有效杂质浓度 N eff= ND NA ND,室温下， 杂质全电离， ni=2.4 1013cm-3所以电子浓度 n= 5.0 1015cm-3空穴浓度31121015.1= cmnnpi500K时， ni=2 1016cm-3，此时本征激发产生的载流子不可忽略，且 ND ni，所以：31631601075.12/01025.22/=+=+=cmnNpcmnNniDiD答：
