1、1关于子列问题1. 复习定义，性质定义 2.1.4 给定数列 , 21 naaa 及一个严格单调增加的正整数数列1 2, , ,kn n n ，称数列 1 2, , , ,kn n na a a 为原数列 , 21 naaa 的一个子数列，简称为子列. na 本身也是它的一个子列， na 或者只去掉 na 中的有限项得到的子列称为 na 的平凡子列，而去掉 na 中的无限项的子列称为 na 的非平凡子列，或者真子列.因为 kna 是子列 kna 的第k项，是数列 na 的第 kn 项.同时，因为数列 na 的子列 kna 的第k项不可能是 na 中的第k项 ka 之前的项，所以 kn k ，
2、1,2,k ，并且 k hn n 当且仅当k h .显然，如果 na 有上界（有下界；有界），则 kna 也是有上界（有下界；有界）的；如果 na 是单调增加（减少）的，则 kna 也是单调增加（减少）的.2. 有关结论（1）有界数列必有收敛子列.（2）任何一个数列 na 都存在单调子列.（3）如果数列 na 无上界，则必存在 na 的一个子列 kna ，使得( )kna k .如果数列 na 无下界，则必存在 na 的一个子列 kna ，使得( )kna k .（4）如果 na 收敛于a，则它的任何一个子列 kna 也收敛于a. 事实上，因为 na收敛于a，所以对任意给定的 0 ，存在自然数
3、N,使得n N 时，恒有 na a 2成立.所以当k N 时， kn k N ，所以 kna a ，所以 kna 也收敛于a.由此可知，如果 na 有一个子列发散，或者有两个子列收敛但极限不同，则 na 发散.（5）如果 2 2 1lim limn nn na a a ，则lim nn a a .证明 由 2lim nn a a 知 0 ， 1N ，使当 1Nn 时，2| |na a ；(1)同样由 2 1lim nn a a 知 0 ， 2N ，使当 2Nn 时，2 1| |na a . .(2)取 1 2max2 ,2 1N N N ，则当k N 时，如果 2k n ，那么由 12 2n
4、k N N 知 1Nn ，从而由(1) 知 2| | | |k na a a a ；如果 2 1k n ，那么由22 1 2 1n k N N 知 2n N ，从而由(2)知 2 1| | | |k na a a a .即当k N 时，总有| |ka a ，所以lim kk a a .2. 数列 na 发散的充分必要条件是 na 至少有一个子列是发散的.证明 如果 na 中存在发散子列，那么 na 本身是发散的，因为如果 na 收敛，则它的任何子列也收敛，并且极限相同. 反之，如果 na 发散，则它就是它自己的一个子列，所以至少有一个子列发散. 也可以证明它存在真子列(去掉 na 中无穷多项的
5、子列)发散. 用反证法，如果它的每个真子列都收敛，那么 2na 与 2 1na 都收敛，但极限值不同，否则 na 收敛，矛盾！再取 2na 的一个子列 4na ，将 4na 与 2 1na 按原 na 中的顺序排列得到 na 的一个子列 kna ，它不收敛，而且是 2na 的真子列.3（7）如果 na 的任何非平凡子列都收敛（注意没有假设极限相同），则 na 收敛.证明 由假设知， 2ka ， 2 1ka ， 3ka 都收敛，因为 6ka 既是 2ka 的子列，也是 3ka 的子列，所以 2 6 3lim lim limk k kk k ka a a ，同时 6 3ka 既是 2 1ka 的子列，也是 3ka 的子列，所以2 1 6 3 3lim lim limk k kk k ka a a ，所以2 2 1lim limk kk ka a .所以 na 收敛.
