1、 1 2018年考研数学 一 线性代数 真题解析 第一题 1.真题 展示： （ 2018数一 5） 下列矩阵中，与矩阵 1 1 00 1 10 0 1轾犏犏犏犏臌相似的为 _ （ A） 1 1 10 1 10 0 1轾 -犏犏犏犏臌 （ B） 1 0 10 1 10 0 1轾 -犏犏犏犏臌 （ C） 1 1 10 1 00 0 1轾 -犏犏犏犏臌 （ D） 1 0 10 1 00 0 1轾 -犏犏犏犏臌 2.真题 解答： 设 1 1 00 1 10 0 1A轾犏犏=犏犏臌， 1 1 10 1 10 0 1B轾 -犏犏=犏犏臌，则 1 2 2 21 0 1 1 1 10 1 1 0 1 10 0
2、 1 0 0 1r r c rAB-+轾轾-犏犏犏犏臌臌得 1 1 0 1 1 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1BA轾轾-犏犏=犏犏臌臌即 1B P AP-= 答案： A 3.考点分析： 该题考察的知识点是相似矩阵的定义，初等矩阵的性质。 （ 1）相似矩阵的判断主要有以下两种方法： 方法一：根据相似的定义。若矩阵 ,AB满足 1B P AP-= ，则 ,AB相似。 方法二：利用相似的传递性。若矩阵 ,AB特征值相同并且都能对角化，则 ,AB相似。 （即 AL 且 BL ，则 AB） （ 2）初等矩阵的性质： A 作行（列）变换得到 B ，等价于 A 左（右）乘初等矩阵得到 B 。
3、 4.考试点评： 相似矩阵的判断是常考题型， 历年真题 主要考察的是 方法二， 也是大部分考生比较熟悉的方法。而 18 年 这道题方法二不适用， 很多同学想不到用方法一来做这道题 。 该题考察了线性代数的基本知识，但题目新颖、灵活，对于只会按“套路”解题的同学来讲，会显得束手无策。 中等 偏难。 2 第二题 1.真题展示： （ 2018数一 6）设 ,AB为 n 阶矩阵，记 ()rX为矩阵 X 的秩， ()XY 表示分块矩阵，则 （ A） ( ) ( )r A AB r A=（ B） ( ) ( )r A BA r A=（ C） ( ) m ax ( ), ( )r A B r A r B=（
4、 D） ( ) ( )TTr A B r A B=2.真题解答： 设 C AB= ，则 AX C= 有解（ XB= 就是它的一个解），则根据 矩阵方程 解的个数与秩的关系可知， ( ) ( )r A r A C= 即 ( ) ( )r A r A AB= 答案： A 3.考点分析： 该题考察矩阵秩的性质，转化为矩阵方程解的个数与秩的关系来分析最为恰当。 4.考试点评： 线性方程组解的个数与秩的关系是线性代数基本知识，但该题考察方式也是很灵活， 需要 对问题做转化思考。 中等难度。 第三题 1.真题展示： （ 2018数一 13） 二阶矩阵 A 有两个不同特征值， 12,aa是 A 的线性无关的
5、特征向量， 2 1 2 1 2( ) ( )A a a a a+ = +，则 |A= 2.真题解答： 设 A 的特征值为 12,ll，则 2A 的特征值为 2212,ll， 2A 的特征向量与 A 相同。根据特征值与特 征 向 量 的 定 义 可 知 ， 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2()A A Aa a a a l a l a a a+ = + = + = +，得221 1 2 2( 1) ( 1) 0l a l a- + - =由于 12,aa线性无关，所以 21221010ll -= -=得 121, 1ll=- = 则 12| | 1A ll= =- 3 3.
6、考点分析： 该题考察内容比较多，包括以下知识点： （ 1）特征值的性质； （ 2）特征值、特征向量的定义； （ 3）向量组线性无关的定义。 4.考试点评： 该题是一个综合性问题，对以上知识点做了很好的融合。中等难度。 第四题 1.真题展示： （ 2018数一 20）设实二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 2 3 1 3( , , ) ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x a x= - + + + + +，其中 a是参数（ I）求 1 2 3( , , ) 0f x x x = 的解（ II）求 1 2 3( , , )f x x x 的规范形 2.真题解答： （
7、I） 1 2 31 2 3 2 3130( , , ) 0 00x x xf x x x x xx a x - + = ? =+=系数矩阵 1 1 1 1 0 20 1 1 0 1 11 0 0 0 2Aaa轾轾-犏犏=?犏犏 -臌臌当 2a 时， ( ) 3rA= ，方程组有唯一解： 123000xxx轾轾犏犏犏犏=犏犏犏犏臌臌当 2a= 时， ( ) 2rA= ，方程组有无穷解： 12300,0xx k k Rx轾轾犏犏=?犏犏臌臌（ 2）当 2a 时， 1 1 2 32 2 33 1 3y x x xy x xy x ax = - +=+=+这是可逆的线性变换， 直接得到规范形： 222
8、1 2 3f y y y= + + 当 2a= 时，二次型矩阵 2 2 21 2 3 1 2 3 2 3 1 3( , , ) ( ) ( ) ( 2 )f x x x x x x x x x x= - + + + + + 2 2 21 2 3 1 2 1 32 2 6 2 6x x x x x x x= + + - + 4 二次型矩阵 2 1 31 2 03 0 6B轾 -犏犏=-犏犏臌，得特征值为： 1 2 30 , 5 7 , 5 7l l l= = + = - 特征值为三个正数，所以规范形为： 2212f y y=+ 3.考点分析： 该题考察知识点： （ 1）求解线性方程组； （ 2）
9、 二次型的规范形。规范形是一种特殊的标准形，求二次型的标准形、规范形可利用配方法或者求特征值得到。 4.考试点评： 该题 第一问比较新颖，套了二次型的 “外套”，实际上考的是求解线性方程组 。 第二问是常规问题 ，求特征值时计算有一定难度 。 中等偏难。 第五题 1.真题展示： （ 2018 数一 21）已知 a 是常数，且矩阵 121 3 027aAa轾犏犏=犏犏 -臌可经过初等列变换化为矩阵120 1 11 1 1aB轾犏犏=犏犏 -臌（ I）求 a （ II）求满足 AP B= 的可逆矩阵 P 2.真题解答： （ I） 可知矩阵 A 与矩阵 B 等价，所以 ( ) ( )r A r B=
10、 1 2 1 3 01 3 0 0 12 7 0 0 0aAaa轾轾犏犏=?犏犏-臌臌1 2 1 20 1 1 0 1 11 1 1 0 0 2aaBa轾轾犏犏=?犏犏-臌臌所以 2a= 5 （ II） 1 0 6 3 4 4( , ) 0 1 2 1 1 10 0 0 0 0 0AB轾犏犏? - - -犏犏臌设 1112 2 23 3 3xzyP x y zx y z轾犏犏= 犏犏臌，则 13236321xxxx += - =-， 13236421yyyy += - =-， 13236421zzzz += - =-解得： 1213361201xxkx轾 轾 轾 -犏 犏 犏犏 犏 犏= -
11、+犏 犏 犏犏 犏 犏臌 臌 臌， 1223461201yyky轾 轾 轾 -犏 犏 犏犏 犏 犏= - +犏 犏 犏犏 犏 犏臌 臌 臌， 1233461201zzkz轾 轾 轾 -犏 犏 犏犏 犏 犏= - +犏 犏 犏犏 犏 犏臌 臌 臌所以 1 2 31 2 31 2 33 6 4 6 4 61 2 1 2 1 2k k kP k k kk k k轾 - - -犏犏= - + - + - +犏犏臌，其中 1k ， k ， 3k 为任意常数，且 23kk 3.考点分析： 该题考察知识点： （ 1）等价的概念及性质； （ 2）求解矩阵方程。 4.考试点评： 该题比较常规，先根据等价求参数，再求解矩阵方程，计算量比较大。中等难度。 总结与建议 1.注重基础， 提高知识应用能力 从考生作答情况看， 2018 年线代试题难度偏大。主要原因是考生知识掌握不够全面，而且只会按套路解题，不能灵活处理问题。 2.加强计算能力训练 计算能力是线代考试重点考察的一项， 2018 年 线代两道大题计算量比较大，很多考生会在计算上失分严重。因此，考生在复习过程中要克服仅满足于知晓运算过程、眼高手低的毛病，要真正动手计算，在实践中提高运算能力，最终才能保证运算结果的准确无误。
