1、 4.8 圆孔的孔口应力集中 第四章 平面问题的极坐标解答 “小孔口问题 ” 应符合两个条件： （ 1）孔口尺寸远小于弹性体的尺寸 ，这使孔口的存在所引起的应力扰动只局限于一个小的范围内； （ 2）孔边距离弹性体边界比较远（约大于 1.5倍的孔口尺寸 ），这使孔口与边界之间不发生相互干扰。 在小孔口问题中，孔口附近将发生 应力集中 现象，它具有两个特点： （ 1）孔附近的应力高度集中 ，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。 （ 2）应力集中的局部性 ，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边 1.5倍的孔口尺寸（如圆也直径）的范围内，在此范围之外，可以忽略不计。 ma
2、x应力集中系数： m axK 第四章 平面问题的极坐标解答 （ 1） 双向均布拉力 4.8 圆孔的孔口应力集中 （ 2）均布拉力和压力 （相等和不相等两种情况） （ 3）只有 x向的均布拉力。 分四种情况讨论圆孔口的一些解答 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 由于主要考虑圆孔附近的应力，故采用极坐标系求解。 以坐标原点为圆心，以远大于 r 的长度 R为半径作大圆，由应力集中的局部性可知，在大圆周上各点的应力情况与无孔时相同 ，即 0, xyyx q 代入应力分量坐标变换式 (4-7)，得大圆周上的极坐标应力分量为 0, q求解圆孔附近应力分布问题就转化为一个 新问题 ：
3、内半径为 r、外半径为 R 的圆环或圆筒在外边界受均布拉力的轴对称应力问题 1. 距圆孔较远处的应力场为双向均布拉力 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 根据 4.6节中圆环只有外压力作用时的解答式，可取内、外压力分别为 q1=0 ， q2=-q，代入得 由于 R 远大于 r ，上式可化简为 qRrrqRrr2222222211,11 )1(,)1( 2222 rqrq 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 2. 距圆孔较远处的左右两边受均布拉力 q、上下两边受均布压力 q 以坐标原点为圆心，以远大于 r 的长度 R 为半径作大圆，由应力集中的局部性可
4、知，在大圆周上各点的应力情况与无孔时相同 ，即 0, xyyx qq 代入应力分量坐标变换式 (4-7)，得大圆周上极坐标应力分量为 （外边界条件） 2s i n,2c o s qq RR 在孔边处的边界条件为 （内边界条件） 0,0 rr 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 2s i n)(2c o s)( 21 ff 或（ 1）由边界处的边界条件，假设应力分量的函数形式： （ 2）代入极坐标中应力分量与应力函数的关系，得应力函数的一般形式如下： 因此求解圆孔附近的应力分布问题转化为一个非轴对称应力问题，下面采用半逆解法来进行求解。 2c o s)(f)1(112222
5、2第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 （ 3）将应力函数代入极坐标中的相容方程，并求解常微分方程（ 欧拉方程 ）得应力函数的具体形式： 2c o s)(f代入相容方程（ 4-6） 除去 ，为欧拉方程，得解 4 3 24 3 2 2 3d d d dc o s 2 0d d d df 2 f 9 f 9 f cos 2422()Df A B C 422c o s 2 ( )DA B C A、 B、 C、 D为待定常数，带入得 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 （ 4）由应力函数求应力分量：代入方程，可得应力分量表达式。 （ 5）考察内外边界处的边界条
6、件 ，并考虑到 R 远大于 r 令 ，确定四个待定常数 A、 B、 C、 D为： 422,2,0 rqDrqCqBA 代入应力分量表达式，得最终解答式 （ 4-18） 。 0rR 2222442222c os 2 ( 1 ) ( 1 3 )c os 2 ( 1 3 )sin 2 ( 1 ) ( 1 3 ) rr q r q rr q 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 3. 距圆孔较远处的左右两边受均布拉力 q1、上下两边受均布拉力 q2 根据解的叠加原理，可将荷载分解为两个部分： （ 1）第一部分是四周受均布拉力 (q1 + q2)/2； （ 2）第二部分是左右两边受均
7、布拉力 (q1 - q2)/2和上下两边受均布压力 (q1 - q2)/2。 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得在原荷载作用下的应力分量解答。 （ 1）对于第一部分荷载，可应用前面 第 1种情况 的解答，并将其中的 q 替换为 (q1 + q2)/2； （ 2）对于第二部分荷载，可应用前面 第 2种情况 的解答，并将其中的 q 替换为 (q1 - q2)/2； 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 4. 只在左右两边受均布拉力 q 根据第三种情况，可将荷载分解为两个部分：第一部分是四周受均布拉力 q/2；
8、第二部分是左右两边受均布拉力 q/2和上下两边受均布压力 q/2； 对于第一部分荷载，可应用 前面 第 1种情况 的解答，并将其中的 q 替换为 q/2； 对于第二部分荷载，可应用 前面第 2种情况 的解答，并将其中的 q 替换为 q/2； 根据弹性力学的叠加原理，将两部分解答叠加，即得在原荷载作用下的应力分量解答式 （ 4 43） 。 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 分析第 4种情况时（只在左右两边受均布拉力 q），圆孔附近的应力状态 环向应力 1. 在 y 轴上（ f= p/2） ，环向正应力为 2. 在 x 轴上（ f=0 ） ，环向正应力为 )23211( 4
9、422 rrq 在 y 轴上，环向正应力在孔边达到最大值 3q，随着远离孔边而急剧趋近于 q ； )13(2 2222 rrq在 x 轴上，环向正应力在孔边达到最小值 q ，在 处变为 0，即在此段距离内应力变号，成为 压应力 ；此后， 随着远离孔边而又变为 拉应力 ，并逐渐趋近于 0； r3第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 3. 在 x 轴上（ f=0 ）或 y 轴上（ f= p/2 ），分析可得，在距离圆孔为 1.5倍孔口尺寸时（ =4r ），由于圆孔引起的应力扰动已小于 q 值的 5%，可忽略不计。 第四章 平面问题的极坐标解答 4.8 圆孔的孔口应力集中 1.小
10、孔口的应力集中现象（圆孔、非圆孔） 共同的特点 ： （ 1） 集中性 -孔口附近应力 远处的应力，孔口附近应力 无孔时的应力。 （ 2） 局部性 -应力集中区域很小，约在距孔边 1.5倍孔径范围内。此区域外的应力扰动，一般 ，如图所示， M 点相对于基准点 B的沉陷为 : 半平面体表面的沉陷 ,M 点 （ s， p/2） 为其向下的铅直位移 222= l nMBsrFsuuEpp p 2 , ( 1 )E E (1 )第四章 平面问题的极坐标解答 本章小结 02101ff（ 1）平衡微分方程 （ 4-1） uuuuuu11（ 4-2） （ 2）几何方程 第四章 平面问题的极坐标解答 本章小结
11、（ 4）边界条件：对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常均为坐标面，边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分简单。 （ 3）物理方程（平面应力问题） EEE)1(2)(1)(1（ 4-3） 第四章 平面问题的极坐标解答 本章小结 2、极坐标中按应力函数求解，应力函数应满足： （ 1）区域内满足极座标中的相容方程： （ 2）在边界上满足应力边界条件（假定全部为应力边界条件）； 011222222（ 4-6） （ 3）如为多连体，还须满足位移单值连续条件； 当不计体力时，由应力函数求应力分量的表达式： )1(1122222（ 4-5） 接触边界条件 对称性 第四章 平面问题的极坐标解答 本章小结 3、轴对称应力和相应的位移 （ 3）位移（平面应力问题）：教材中公式 （ 4-12） （ 1）应力函数： DCBA 22 lnln （ 4-10） （ 2）应力分量： 02)ln23(2)ln21(22CBACBA（ 4-11） 第四章 平面问题的极坐标解答 例 :设有一楔形体，其中心角为 2a，下端无限长，在顶端受到集中力偶作用，单位宽度上的力偶矩为 M，楔形体的厚度取为单位长，如图所示，不计体力。（ 1）假设应力函数 = f(f)，在极坐标系下求解应力分量；（ 2）根据上述结果，求半无限大平面体在上边界上受集中力偶 M作用时的应力分量。
