1、 1 利用波尔共振仪研究受迫振动 实验报告 一、 实验目的与要求 1研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频、相频特性。 2研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，观察共振现象。 3学习用频闪法测定运动物体的某些量，如相位差。 二、 实验原理 1、 受迫振动和策动力 物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为策动力。如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动。此时，振幅保持恒定，振幅的大小与策动力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。在受迫振动状态下，系统除了受到策动力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。所以在稳定状态时物体
2、的位移与策动力变化 相位不同 ，而是存在一个相位差。当策动力频率与系统的固有频率相同 时，系统 产生共振，振幅最大，相位差为 90。 2、 振动方程求解 实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机构振动中的一些物理现象。当摆轮受到周期性策动力矩 0M=M cos t 的作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为 d-bdt ），其运动方程为 202 M c o s tddJ k bd t d t （ 1） 式中， J为摆轮的转动惯量， k 为弹性力矩， M0为强迫力矩的幅值，为策动力角 频率。令 20 kJ ， 2 bJ
3、 ， 0Mm J 则式（ 1）变为 2 202 2 c o sdd mtd t d t （ 2） 2 当 cos 0mt 时，式（ 2）即为阻尼振动方程。 当 cos 0mt 且 0 ，则式（ 2） 脱化为简谐运动方程， 2 202 0ddt （ 3）0 为系统的固有频率。 式（ 2）通解为 12c o s ( ) c o s ( )t fe t t （ 4） 由（ 4）可见受迫振动分为两部分： 通解第一项 1 cos( )t fet 与初始条件有关，经过一定时间后衰减消失。 通解第二项 2 cos( )t 表示 策动力矩对摆轮做功，向振动体传送能量，最后达到一个稳定的运动状态 。 其中 2
4、22 2 2 20 4m （ 5） 2202arcta n （ 6） 由（ 5） （ 6） 可 知， 稳定状态下受迫振动运动状况 取决于策动力矩 M ，频率 ，系统的固有频率 0 和阻尼系数 这 四个因素，而与振动的初始状态无关。 由 22 2 2 20 4 0 极值条件可得当策动力角 频率 220 2 时，产生共振， 有最大值。 若共振时角 频率 、 振幅 、相位差 分别用 ,r r r 表示，则 220 2r （ 7） 22022rm （ 8） 220a rc ta n 2r （ 9） 式（ 7） （ 8）表明， 越小，共振时圆频率越接近固有频率，振幅 r 也越大。 3、 幅频特性曲线和相
5、频特性曲线 3 以0x 为自变量，（ 5）式化为 2 222 2 20 2014mxx （ 10） （ 6）式化为0 22arctan 1xx （ 11） （ 7）式化为22012rx（ 12） 因此 当 220 时， 不同阻尼系数对应的幅频特性曲线都应在0 1x时取极值 ，如图 1；而相频特性曲线应相交于 (1, )2 ，如图 2。 三、 实验仪器 BG-2 型波尔共振仪 ： 4 BG-2型波尔共振仪由振动仪与电器控制箱两部分组成。振动仪部分如图 3所示，铜质圆形摆轮安装在机架上。弹簧的一端与摆轮的轴相联，另一端可以固定在机架支柱上。在弹簧弹性力的作用下， 摆轮可绕轴自由往复摆动。在摆轮的外
6、围有一圈槽型缺口，其中一个 凹槽 更长。机架上有一个光电门， 与电气控制箱 相联接， 通过记录长凹槽来测量摆轮的振动周期 ，通过记录短凹槽数来 测量摆轮的振幅（角度值） 。在机架下方有一对带有铁芯的线圈，利用电磁感应原理 使 摆轮受到 电磁阻尼力作用。为使摆轮作受迫振动，在电动机轴上装有偏心轮，通过连杆机构带动摆轮，在电动机轴上装有带刻线的有机玻璃转盘，它随电机一起转动，通过它可以从角度读数盘读出相位差 。调节控制箱上的十圈电机转速调节旋钮，可以 在实验范围（ 30 45转 /min）内连续调节 电机 转速 。由于电路中采用特殊稳速装置、电动机采用惯性很小的带有测速发电机的特种电机，所以转速极
7、为稳定。电机的有机玻璃转盘上装有两个挡光片。在角度读数盘中央上方（ 90处）也装有光电门（策动力矩信号），并与控制箱相连，以测量策动力矩的周期。 受迫振动时摆轮 与外力矩的相位差是利用小型闪光灯来测量的。闪光灯受摆轮信号光电门控制，每当摆轮上长型凹槽通过平衡时，光电门被挡光，引起闪光。在稳定情况时，在闪光灯照射下可以看到有机玻璃指针好像一直“停在 ” 某一刻度处，这一现象称为频闪现象，所以此数值可方便地直接读出，误差不大于 2。 四、 实验内容 1、调节实验仪器使转盘铅直，转动时与支架等无摩擦。 2、在空气阻尼下测量摆轮摆幅与周期关系，并计算阻尼系数： （ 1）将阻尼开关旋至“ 0”，用手转动
8、相位差读数盘有机玻璃挡光杆使之处于水平位置。 （ 2）用手将摆轮转到 160 o 后松开手，记录摆轮周期 T和对应的幅角值 。 3.测量不同电磁阻尼 档 时的电磁阻尼、幅频特性曲线和相频特性曲线： （ 1）将阻尼开关旋至“ 1”，用手转动相位差读数盘有机玻璃挡光杆使之处于水平位置。 （ 2）用手将摆轮转到 160 o 后松开手，记录摆轮周期 T和对应的幅角值 。 （ 3）打开电机电源开关，改变电机转速（策动力矩频率） ， 当受迫振动稳定后，读取摆轮的振幅值并利用闪光灯测定受迫振动位移与策动力相位差 （ 测量范围以20 160 为准， 电机转速改变 量 可根据 等间隔选取） 。 5 4.观测过阻
9、尼，欠阻尼，临界阻尼时振幅变化 ： 打开电机开关， 固定电机频率，测量不同阻尼 档 下的振幅随时间变化规律。 五、 实验数据记录及处理 1、 在空气阻尼下测量摆轮摆幅与周期关系 序号 n 振幅 / 周期 T/s 序号 n 振幅 / 周期 T/s 1 147 1.602 51 73 1.574 2 145 1.601 52 72 1.574 3 143 1.601 53 71 1.574 4 142 1.600 54 70 1.573 5 140 1.599 55 69 1.574 6 138 1.599 56 68 1.572 7 136 1.598 57 68 1.572 8 134 1.5
10、97 58 67 1.572 9 133 1.597 59 66 1.572 10 131 1.596 60 65 1.571 11 129 1.595 61 64 1.571 12 127 1.595 62 63 1.571 13 125 1.594 63 62 1.571 14 123 1.594 64 61 1.571 15 122 1.593 65 60 1.570 16 120 1.592 66 60 1.570 17 119 1.592 67 59 1.570 18 117 1.591 68 58 1.570 19 114 1.591 69 58 1.569 20 111 1.58
11、9 70 57 1.569 21 110 1.589 71 56 1.569 22 108 1.588 72 56 1.569 23 107 1.587 73 55 1.568 24 105 1.587 74 54 1.568 25 104 1.586 75 54 1.568 26 102 1.586 76 53 1.568 27 101 1.585 77 53 1.568 28 99 1.584 78 52 1.568 29 98 1.583 79 51 1.567 30 96 1.584 80 50 1.567 31 95 1.583 81 50 1.568 32 94 1.583 82
12、49 1.566 33 93 1.582 83 48 1.566 34 91 1.581 84 48 1.567 6 35 90 1.581 85 46 1.564 36 89 1.580 86 46 1.566 37 88 1.580 87 46 1.566 38 86 1.580 88 45 1.566 39 85 1.579 89 45 1.566 40 84 1.579 90 44 1.566 41 83 1.578 91 43 1.565 42 82 1.578 92 42 1.565 43 81 1.577 93 42 1.565 44 80 1.577 94 41 1.565 4
13、5 79 1.577 95 40 1.565 46 78 1.576 96 40 1.565 47 77 1.575 97 39 1.565 48 77 1.575 98 39 1.564 49 75 1.575 99 38 1.564 50 74 1.575 100 37 1.564 线性拟合得 ： 42( 3 . 5 6 0 . 0 2 ) 1 0 ( 1 . 5 4 9 1 0 . 0 0 0 2 ) , 0 . 9 9 5 2 3TR ； 对 T求和得1nnnitT，即开始记录所经过的时间，以 nt 为自变量，振幅为纵坐标按 tBAe 进行拟合得到： (1 4 8 . 8 0 . 3
14、) , (1 1 4 . 4 0 . 4 )A B s 根据（ 4）式可知 311 ( 8 .7 4 0 .0 3 ) 1 0 sB 因此空气阻尼系数 31(8 .7 4 0 .0 3 ) 1 0 s 2、 测量 电磁 阻尼下 摆轮摆幅与周期关系和 阻尼系数 1) 电磁阻尼“ 1” 档 电磁阻尼的测量： 序号 n 振幅 / 周期 T/s 序号 n 振幅 / 周期 T/s 1 125 1.597 10 49 1.568 2 112 1.592 11 44 1.567 3 102 1.588 12 40 1.565 4 92 1.583 13 36 1.564 5 82 1.580 14 32 1
15、.564 6 74 1.576 15 29 1.562 7 67 1.573 16 26 1.562 8 60 1.571 17 23 1.561 9 54 1.570 7 同空气阻尼测量拟合得 (1 3 9 . 2 0 . 3 ) , (1 5 . 0 8 0 . 0 5 )A B s 则 211 (6 .6 3 0 .0 2 ) 1 0 sB 幅频特性和相频特性的测量： n T/s / / n T/s / / 1 1.495 40 165 11 1.592 129 104 2 1.512 49 157 12 1.596 132 96 3 1.531 62 149 13 1.599 131
16、87 4 1.541 74 147 14 1.602 129 79 5 1.554 88 140 15 1.605 113 60 6 1.562 96 135 16 1.610 85 44 7 1.568 105 131 17 1.614 76 37 8 1.575 112 125 18 1.621 63 31 9 1.583 121 120 19 1.630 53 25 10 1.589 126 109 20 1.638 48 22 2) 电磁阻尼“ 2” 档 电磁阻尼的测量： 序号 n 振幅 / 周期 T/s 序号 n 振幅 / 周期 T/s 1 101 1.584 8 44 1.564
17、2 89 1.579 9 39 1.563 3 79 1.576 10 35 1.561 4 70 1.572 11 31 1.560 5 62 1.570 12 28 1.558 6 55 1.568 13 24 1.557 7 49 1.565 同空气阻尼测量拟合得 (1 2 7 . 6 0 . 5 ) , (1 3 . 2 5 0 . 0 7 )A B s 则 211 (7 .5 5 0 .0 4 ) 1 0 sB 幅频特性和相频特性的测量： n T/s / / n T/s / / 1 1.501 42 157 13 1.593 110 89 2 1.513 50 155 14 1.59
18、6 108 80 3 1.520 54 152 15 1.599 102 72 4 1.530 60 148 16 1.603 94 60 5 1.540 70 143 17 1.607 80 51 6 1.551 80 135 18 1.611 72 44 8 7 1.562 90 127 19 1.615 67 39 8 1.569 97 122 20 1.620 60 35 9 1.576 102 113 21 1.626 54 32 10 1.581 106 107 22 1.636 46 28 11 1.585 108 101 23 1.644 41 26 12 1.589 110
19、94 3) 电磁阻尼“ 3” 档 电磁阻尼的测量： 序号 n 振幅 / 周期 T/s 序号 n 振幅 / 周期 T/s 1 101 1.589 8 33 1.563 2 86 1.583 9 28 1.562 3 74 1.579 10 23 1.559 4 63 1.573 11 19 1.557 5 54 1.570 12 15 1.554 6 46 1.568 13 12 1.551 7 39 1.565 14 10 1.547 同空气阻尼测量拟合得 (1 2 0 . 8 1 . 4 ) , ( 9 . 5 3 0 . 1 5 )A B s 则 111 (1 .0 5 0 .0 2 )
20、1 0 sB 幅频特性和相频特性的测量： n T/s / / n T/s / / 1 1.505 43 151 14 1.583 89 92 2 1.515 49 148 15 1.587 88 84 3 1.526 55 144 16 1.590 87 80 4 1.535 61 140 17 1.593 86 74 5 1.545 68 132 18 1.596 82 67 6 1.552 74 127 19 1.600 78 61 7 1.558 78 122 20 1.604 73 56 8 1.563 81 117 21 1.609 68 49 9 1.567 83 114 22 1
21、.614 61 45 10 1.570 86 110 23 1.621 55 40 11 1.573 87 105 24 1.627 51 34 12 1.575 88 103 25 1.633 48 28 13 1.578 89 100 即使对于 3档 电磁阻尼也仍然满足 2 32 10 ，因此可认为 220 ，满足近似条件0r ，而 0 变化范围小于 3%，因此 3条幅频特性曲线应该近似都在 x=1处取极大值 。9 幅频特性 曲线作图如下： 都在 x=1.00附近取得极大值，与预期情况相符。 相频特性作图如下： 三条曲线相交于 (1.001,95)附近，与预期值（ 1.000,90） 有少
22、量误差。 10 3、 观测过阻尼，欠阻尼，临界阻尼时振幅变化 为了控制变量方便对比， 5次实验都保持策动力周期不变，初始振幅为 0。 电磁阻尼“ 1” 档 ： 电磁阻尼“ 2” 档 ： 11 电磁阻尼“ 3” 档 ： 电磁阻尼“ 4” 档 ： 12 电磁阻尼“ 5” 档 ： 可以看出， 5个档位都是欠阻尼情况，振幅并没有立即达到预定值，而是围绕 预期 平衡时的 振幅上下波动 。根据（ 4）式可知，这是由于衰减中的非平衡部分影响所致 。 对比上述 5幅图，最明显的变化趋势是，随着阻尼的逐渐增大，非平衡部分衰减更快，可以看出，非平衡部分所造成的波动幅度随着阻尼的增大而减小。预期观察到的另外一个趋势
23、是，同为欠阻尼时，随着阻尼的逐渐增大，振动达到平衡所需时间应该逐渐变短。 在观察时间内，阻尼 1档 显然没有达到平衡，阻尼 2档 220个周期后达到了平衡，阻尼 3档 没有能达到平衡，阻尼 4档 在约 150个周期后达到了平衡，阻尼 5档 在 75个周期后就达到了平衡，近似满足规律。但是 由于环境和仪器本身存在微扰， 会导致振动偏离平衡态，例如阻尼 4档 中， 100个周期附近短暂达到了 平衡，但是并没能保持，又例如，达到平衡一段时间后振幅又偏离平衡值，所以实验结果与预期有一定差距。 13 六、 实验讨论 1、 误差分析 1) 摆幅 和周期 的 测量 误差 实验要求静止时摆轮的长凹槽与光电门对
24、齐， 这就要求初始的仪器调节要尽量耐心细致。 但是 由于人工对齐时 不可避免 有视差，另外长凹槽也有一定线度， 所以光电门计数 与摆轮回到平衡位置并不完全对应。估算偏差在 0.1到 0.3范围内，振幅较大时可以忽略不计，当振幅较小时，如电磁阻尼测量的最后几个数据，相对误差在 1%数量级，有一定影响。假设偏差的线度只有 mm数量级，而摆轮经过平衡位置时速度最快，速度在m/s数量级，那么 此偏差造成的时间测量误差在 0.001s左右，对周期测量的影响不大。 另假设电气箱的计算会带来延迟，由于每次摆轮经过光电门计数后都要加上此延迟，因此计数间隔基本不变，因此对实验测定的影响可以忽略不计。 2) 相频
25、特性曲线交点的误差 相频特性曲线的理论交点是 (1.000,90 ),而实际交点大致是 (1.001,95 )，横坐标的相对误差为 0.1%，纵坐标的误差为 5。由于实验所用频闪法误差在 2以内，即使加上估读有 1误差，仍然在误差范围以外，因此认为主要是 横坐标的误差带来的曲线平移造成。横坐标为0x ，其中 由仪器直接测出 T后换算而得，相对误差很小； 0 采用将摆幅代入空气阻尼下摆幅与周期的拟合关系计算和换算而得，一方面，该公式算得结果的不确定度接近 1%，另一方面认为周期仅仅与摆幅有关 ，也有一定误差。而根据相频特性曲线和式（ 11）计算可知，在 x=1附近， x相差 1%，纵坐标相差 至
26、少 15。由此可见， 在现有实验条件下，相频特性曲线在 x=1附近并不能达到预期的精度，这也就导致了预期交点的偏移。 2、 阻尼系数测量方法的讨论 本次实验采用曲线拟合 0 te 来计算阻尼系数，其中1nnnitT，这就要求数据记录时不能有遗漏 或错误 ， 而当测量组数非常多的时候，难免带入误差。 另一种方法是根据 0 te 导出 ln ln ( )mn m n T ，即1 ( ln ln )() mnm n T ，然后使用做差法求平均。当已知数据中有部分缺漏或错误，此方法可以合理规避。但由于周期需要取平均近似，而实验中周期 变化范围达 3%，因此14 结果的不确定度会比上一种方法大很多。 3
27、、 阻尼力矩 的讨论 实验 仪器 中使用 电磁感应原理，利用 环绕线圈的 铁芯产生磁场，摆轮转动时切割磁场线首先产生感生电动势 V，随之产生感应电流 I， 摆轮中的电子在磁场中运动受到洛伦兹力，等效于摆轮受到 阻尼力矩 L。 对于磁场均匀，摆轮的运动关于磁场的对称线对称的理想情况，那么根据 ,dV I V L Idt ，可知 dL dt ，即 dLbdt 中 b为定值，符合实验要求。但由于磁场边缘不均匀，磁场分布复杂，摆轮的运动未必和磁场拥有共同的对称线，实际的 b值会有一定浮动，这也是实验的误差 来源 之一。 4、 摆幅公式的验证 根据平衡时摆幅公式 2 222 2 20 2014mxx 可
28、知 222 2 20 2014x x m ，其中 0Mm J ，由于理想状态下电机策动力矩和摆轮转动惯量应该为恒定值，所以对于不同阻尼和周期的振动， m应该也为定值。将数值代入 222 2 20 2014xx 计算得，阻尼“ 1” 档 时， m的平均值为 67.3，标准差 1.9；阻尼“ 2” 档 时， m的平均值为 66.0，标准差 1.3；阻尼“ 3” 档 时， m的平均值为 72.5，标准差 1.9。 各档 m的不确定度在 2%3%，与阻尼的不确定度相近，但是不同阻尼之间偏差较大。因而可以认为，摆轮的运动基本符合摆幅公式，但是实验仪器的精度有待提高，改变电磁阻尼档位等因素对电机策动力矩 有一定影响。
